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1、第三章第三章 直线与方程直线与方程本章教材分析本章教材分析直线与方程是平面解析几何初步的第一章,用坐标法研究平面上最简单的图形直线.本章首先在平面直角坐标系中,介绍直线的倾斜角、斜率等概念;然后建立直线的方程: 点斜式、斜截式、两点式、截距式等;通过直线的方程,研究直线间的位置关系:平行和垂直, 以及两条直线的交点坐标、点到直线的距离公式等.解析几何研究问题的主要方法是坐标法,它是解析几何中最基本的研究方法.坐标法的基 本特点是,首先用代数语言(坐标及其方程)描述几何元素及其关系,将几何问题代数化;解决代 数问题,得到结果;分析代数结果的几何含义,最终解决几何问题.本章自始至终贯穿数形结合的思
2、想.在图形的研究过程中,注意代数方法的使用;在代数 方法的使用过程中,加强与图形的联系.直线是最基本、最简单的几何图形，它既能为进一步学习做好知识上的必要准备，又 能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础.只有学好本章才能为第四 章的圆与方程做好准备和铺垫.教学中一定要注重由浅及深的学习规律，多采用变式教学， 同时渗透常用的数学思想方法（数形结合、分类讨论、类比、推广、特殊化、化归等）,体 现由特殊到一般的研究方法，化难为易、化抽象为具体，深入浅出的引导学生自己发现规 律，大胆质疑、积极思考、合作探究、激发他们学习的兴趣，教师合理诱导并且及时鼓励， 使同学们能愉快的、轻松的学习
3、，并且提高他们应用所学知识解决问题（尤其是实际问题） 的能力，真正体现出“在用中学，在学中用，为用而学，学而能用”，这一点也正符合新课 标的要求和精神.本章教学时间约 9 课时，具体分配如下（仅供参考）：3.1.1倾斜角与斜率约 1 课时3.1.2两直线平行与垂直的判定约 1 课时3.2.1直线的点斜式方程约 1 课时3.2.2直线的两点式方程约 1 课时3.2.3直线的一般式方程约 1 课时3.3.1两条直线的交点坐标约 1 课时3.3.2两点间的距离约 1 课时3.3.3 及 3.3.4点到直线的距离及两条平行线间的距离约 1 课时本章复习约 1 课时3.1 直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角
4、与斜率3.1.1 倾斜角与斜率倾斜角与斜率一、教材分析一、教材分析直线是最基本、最简单的几何图形，它既能为进一步学习作好知识上的必要准备，又 能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础.事实上，只有透彻理解并 熟练掌握直线的倾斜角和斜率这两个基本概念，学生才能对直线及其位置进行定量的研究. 对直线的倾斜角和斜率，必须要求学生理解它们的准确涵义和作用，掌握它们的导出，并 在运用上形成相应的技能和熟练的技巧.本小节从一个具体的一次函数与它的图象入手，引入直线的倾斜角概念，注重了由浅 及深的学习规律，并体现了由特殊到一般的研究方法.引导学生认识到之所以引入直线在平 面直角坐标系中的倾斜
5、角和斜率概念，是进一步研究直线方程的需要. 二、教学目标二、教学目标 1知识与技能知识与技能 （1）正确理解直线的倾斜角和斜率的概念. （2）理解直线倾斜角的唯一性. （3）理解直线斜率的存在性. （4）斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式. 2过程与方法过程与方法 引导帮助学生将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角 的正切即斜率问题（代数问题）进行解决，使学生不断体会“数形结合”的思想方法. 3情感、态度与价值观情感、态度与价值观 （1）通过直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观 察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价
6、能力. （2）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想， 培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神. 三、教学重点与难点三、教学重点与难点 教学重点教学重点:直线的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式. 教学难点教学难点:斜率公式的推导. 四、课时安排四、课时安排 1 课时 五、教学设计五、教学设计 （一）导入新课（一）导入新课 思路思路 1.如图 1 所示，在直角坐标系中，过点 P 的一条直线绕 P 点旋转，不管旋转多少 周，它对 x 轴的相对位置有几种情形？教师引入课题：直线的倾斜角和斜率.图 1思路思路 2.我们知道,经过两
7、点有且只有(确定)一条直线.那么,经过一点 P 的直线 l 的位置能 确定吗?这些直线有什么联系和区别呢?教师引入课题：倾斜角与斜率.（二）推进新课、新知探究、提出问题（二）推进新课、新知探究、提出问题 怎样描述直线的倾斜程度呢？ 图 2 中标出的直线的倾斜角 对不对？如果不对，违背了定义中的哪一条？图 2 直线的倾斜角能不能是 0？能不能是锐角？能不能是直角？能不能是钝角？能不能 是平角？能否大于平角？ 日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？ 正切函数的定义域是什么？ 任何直线都有斜率么？ 我们知道两点确定一条直线，那么已知直线上两点坐标，如何才能求出它的倾斜角 和斜率呢？如：已知 A(2，
8、3)、B(1，4)，则直线 AB 的斜率是多少? 活动活动:与交角有关.当直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准,x 轴正向与直线 l 向上方 向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角. 可见：平面上的任一直线都有唯一的一个倾斜角，并且倾斜角定了，直线的方向也就 定了. 考虑正方向. 动手在坐标系中作多条直线，可知倾斜角的取值范围是 0180.在此范围内， 坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角，而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向. 倾斜角直观地表示了直线对 x 轴正方向的倾斜程度. 规定：当直线和 x 轴平行或重合时，直线倾斜角为 0，所以倾斜角的范围是 0 180. 联想小时候玩
9、的滑梯，结合坡度比给出斜率定义，直线斜率的概念. 倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用 k 表示，即 k=tan. 教师介绍正切函数的相关知识. 说明：直线与斜率之间的对应不是映射，因为垂直于 x 轴的直线没有斜率. （倾斜角是 90的直线没有斜率） 已知直线 l 上的两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且直线 l 与 x 轴不垂直，如何求直线 l 的斜率？教学时可与教材上的方法一样推出. 讨论结果讨论结果:用倾斜角. 都不对.与定义中的 x 轴正方向、直线向上方向相违背. 直线的倾斜角能是 0，能是锐角，能是直角，能是钝角，不能是平角，不能大于平 角.
10、有，常用的有坡度比. 90的正切值不存在. 倾斜角是 90的直线没有斜率.过两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线的斜率公式 k=.1212 xxyy （三）应用示例（三）应用示例 思路思路 1 例 1 已知 A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线 AB,BC,CA 的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还 是锐角. 活动活动:引导学生明确已知两点坐标,由斜率公式代入即可求得 k 的值; 而当 k=tan0 时,倾斜角 是钝角; 而当 k=tan0 时,倾斜角 是锐角; 而当 k=tan=0 时,倾斜角 是 0.解解:直线 AB 的斜率 k1=0,所以它的倾斜角 是锐角;7
11、1直线 BC 的斜率 k2=-0.50,所以它的倾斜角 是钝角; 直线 CA 的斜率 k3=10,所以它的倾斜角 是锐角. 变式训练变式训练已知 A(1,3),B(0,2),求直线 AB 的斜率及倾斜角.33解解:kAB=,3013233直线倾斜角的取值范围是 0180, 直线 AB 的倾斜角为 60.例 2 在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为 1,-1,2 及-3 的直线 a,b,c,l. 活动活动:要画出经过原点的直线 a,只要再找出 a 上的另外一点 M.而 M 的坐标可以根据直 线 a 的斜率确定.解解:设直线 a 上的另外一点 M 的坐标为(x,y),根据斜率公式有：1=,
12、所以 x=y.00 xy可令 x=1,则 y=1,于是点 M 的坐标为(1,1).此时过原点和点 M(1,1),可作直线 a. 同理,可作直线 b,c,l. 变式训练变式训练 1.已知直线的倾斜角，求直线的斜率： (1)=0；（2）=60；(3)=90. 活动活动:指导学生根据定义直接求解. 解：解：(1)tan0=0， 倾斜角为 0的直线斜率为 0.(2)tan60=，倾斜角为 60的直线斜率为.33(3)tan90不存在，倾斜角为 90的直线斜率不存在. 点评：点评：通过此题训练，意在使学生熟悉特殊角的斜率.2.关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的( )A.任一条直线都有倾斜角，也
13、都有斜率 B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C.平行于 x 轴的直线的倾斜角是 0 或 ；两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等 D.直线斜率的范围是(，) 答案：答案：D思路思路 2 例 1 求经过点 A(-2,0)，B(-5,3)的直线的斜率和倾斜角.解：解：kAB=1，即 tan=-1，)2(503 又0180， =135. 该直线的斜率是-1，倾斜角是 135. 点评：点评：此题要求学生会通过斜率公式求斜率，并根据斜率求直线的倾斜角. 变式训练变式训练求过下列两点的直线的斜率 k 及倾斜角 . （1）P1(-2,3)，P2(-2,8)； （2）P1(5,-2)，P2(-2,-2).
14、解：解：（1）P1P2与 x 轴垂直，直线斜率不存在，倾斜角 =90.（2）k=tan=0，直线斜率为 0，倾斜角 =0.52)2(2 例 2 已知三点 A、B、C，且直线 AB、AC 的斜率相同，求证:这三点在同一条直线上. 证明：证明：由直线的斜率相同，可知直线 AB 的倾斜角与 AC 的倾斜角相等，而两直线过 公共点 A， 所以直线 AB 与 AC 重合，因此 A、B、C 三点共线. 点评：点评：此题反映了斜率公式的应用，即若有共同点的两直线斜率相同，则可以判断三 点共线. 变式训练变式训练1.若三点 A(2,3)，B(3,2)，C(,m)共线，求实数 m 的值.21解：解：kAB=-1
15、，kAC=，2332 2213mA、B、C 三点共线，kAB=kAC.=-1.m=. 2213m 292.若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab0)共线，则+的值等于_.a1 b1答案：答案：21例 3 已知三角形的顶点 A(0,5)，B(1,-2)，C(-6,m)，BC 的中点为 D，当 AD 斜率为 1 时， 求 m 的值及|AD|的长. 分析：分析：应用斜率公式、中点坐标公式、两点间距离公式.解：解：D 点的坐标为(-,)，25 22mkAD=1.m=7.D 点坐标为(-,). 025522m25 25|AD|=.225)255()25(22变式训练变式训练过点 P(1，1)的直线 l 与 x 轴和 y 轴分别交于 A、B 两点，若 P 恰为线段 A 的中心， 求直线 l 的斜率和倾斜角.答案：答案：k=-1,倾斜角为.43（四）知能训练（四）知能训练 课本本节练习 1、.（五）拓展提升（五）拓展提升 已知点 A(-2,3)，B(3,2)，过点 P(0,-2)的直线 l 与线段 AB 有公共点，求直线 l 的斜率 k 的取 值范围. 分析：分析：利用数形结合同时注意直线斜率不存在的特殊情形.答案：答案：(-,)(-,+).34 25（六）课堂小结（六）课堂小结 通过本节学习，要求大家： （1）掌握已知直线的倾斜角求斜率; （2）直线倾斜角的概念及
