《2010届高考数学复习必备试题几何概型及随机模拟》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2010届高考数学复习必备试题几何概型及随机模拟（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、几何概型及随机模拟几何概型及随机模拟一一 【课标要求课标要求】 1了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概 率，初步体会几何概型的意义； 2通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程 二二 【命题走向命题走向】 本讲内容在高考中所占比较轻，纵贯近几年的高考对概率要求降低，但本讲内容使新加 内容，考试涉及的可能性较大 预测 2010 年高考： （1）题目类型多以选择题、填空题形式出现， ； （2）本建考试的重点内容几何概型的求值问题，我们要善于将实际问题转化为概率模 型处理。 三三 【要点精讲要点精讲】 1随机数的概念 随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个
2、范围内任何一个数的机会是均等的。2随机数的产生方法 （1）利用函数计算器可以得到 01 之间的随机数； （2）在 Scilab 语言中，应用不同的函数可产生 01 或 ab 之间的随机数。 3几何概型的概念 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样 的概率模型为几何概率模型； 4几何概型的概率公式：P（A）=。积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A5几种常见的几何概型 （1）设线段 l 是线段 L 的一部分,向线段 L 上任投一点.若落在线段 l 上的点数与线段 L 的长度成正比,而与线段 l 在线段 l 上的相对位置
3、无关,则点落在线段 l 上的概率为： P=l 的长度/L 的长度 （2）设平面区域 g 是平面区域 G 的一部分,向区域 G 上任投一点,若落在区域 g 上的点 数与区域 g 的面积成正比,而与区域 g 在区域 G 上的相对位置无关,则点落在区域 g 上概率为：P=g 的面积/G 的面积 （3）设空间区域上 v 是空间区域 V 的一部分,向区域 V 上任投一点.若落在区域 v 上的 点数与区域 v 的体积成正比,而与区域 v 在区域 v 上的相对位置无关,则点落在区域 V 上的概 率为： P=v 的体积/V 的体积 四四 【典例解析典例解析】 题型 1：线长问题例 1 （09 山东山东 11）
4、在区间1,1上随机取一个数x,cos2x的值介于 0 到1 2之间的概率为 （ ）A1 3B2 C 1 2D 2 3【解析】在区间-1，1上随机取一个数 x,即 1,1x 时,要使cos2x的值介于 0 到21之间,需使223x 或322x213x 或213x，区间长度为32，由几何概型知cos2x的值介于 0 到21之间的概率为31 232.故选 A.答案 A例 2 （20092009 辽宁卷文）辽宁卷文）ABCD 为长方形，AB2，BC1，O 为 AB 的中点，在长方形 ABCD 内随机取一点，取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为（ ）A4B14 C8D18 【解析】长方形面积为 2,
5、以 O 为圆心,1 为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为2因此取到的点到 O 的距离小于 1 的概率为224取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为14答案 B例 3假设车站每隔 10 分钟发一班车，随机到达车站，问等车时间不超过 3 分钟的概率 ？解：以两班车出发间隔 ( 0， 10 ) 区间作为样本空间 S，乘 客随机地到达，即在这个长度 是 10 的区间里任何一个点都 是等可能地发生，因此是几何概率问题。 要使得等车的时间不超过 3 分钟，即到达的时刻应该是图中 A 包含的样本点，p= 0.3 。的长度的长度 Sa 103题型 2：面积问题 例 4投镖游戏中的靶子由边长为 1 米的
6、四方板构成，并将 此板分成四个边长为 1/2 米的小方块。实验是向板中投镖，事件 A 表示投中阴影部分为成功，考虑事件 A 发生的概率。 分析与解答：类似于引例 1 的解释，完全可以把此引例中的 实验所对应的基本事件组与大的正方形区域联系在一起，既事件 组中的每一个基本事件与大正方形区域中的每一个点一一对应， 则事件 A 所包含的基本事件就与阴影正方形中的点一一对应，这0 S 10样我们用阴影正方形的面积除以大正方形的面积表示事件 A 的概率是合理的。这一点我们完 全可以用引例 1 的方法验证其正确性 解析：P（A）=（1/2）2/12=1/4。 例 5 （CB 对讲机问题） （CB 即 Ci
7、tizenBand 市民波段的英文缩写）两个 CB 对讲机持有 者，莉莉和霍伊都为卡尔货运公司工作，他们的对讲机的接收范围为 25 公里，在下午 3:0O 时莉莉正在基地正东距基地 30 公里以内的某处向基地行驶，而霍伊在下午 3：00 时正在基 地正北距基地 40 公里以内的某地向基地行驶，试问在下午 3：0O 时他们能够通过对讲机交 谈的概率有多大？ 解：设 x 和 y 分别代表莉莉和霍伊距某地的距离，于是400 ,300yx则他俩所有可能的距离的数据构成有序点对(x,y),这里 x，y 都在它们各自的限制范围内，则所有这样的有序 数对构成的集合即为基本事件组对应的几何区域，每一 个几何区
8、域中的点都代表莉莉和霍伊的一个特定的位置，他们可以通过对讲机交谈的事件仅当他们之间的距离 不超过 25 公里时发生（如右图）因此构成该事件的点 由满足不等式2522 yx的数对组成，此不等式等价于62522 yx右图中的方形区域代表基本事件组，阴影部分代 表所求事件，方形区域的面积为 1200 平方米公 里，而事件的面积为， 462525412于是有。41. 0902 4800625 12004/625p例 6(意大利馅饼问题)山姆的意大利馅饼屋中设有一个投镖靶 该靶为正方形板边长 为 18 厘米，挂于前门附近的墙上，顾客花两角伍分的硬币便可投一镖并可有机会赢得一种 意大利馅饼中的一个，投镖靶
9、中画有三个同心圆，圆心在靶的中心，当投镖击中半径为 1 厘 米的最内层圆域时可得到一个大馅饼；当击中半径为 1 厘米到 2 厘米之间的环域时，可得 到一个中馅饼；如果击中半径为 2 厘米到 3 厘米之间的环域时，可得到一个小馅饼，如果击 中靶上的其他部分，则得不到谄饼，我们假设每一个顾客都能投镖中靶，并假设每个圆的周 边线没有宽度，即每个投镖不会击中线上，试求一顾客将嬴得： （a）一张大馅饼， （b）一张中馅饼， （c）一张小馅饼， （d）没得到馅饼的概率 解析：我们实验的样本空间可由一个边长为 18 的正方形表示。右图表明 R 和子区域 r1、r2、r3和 r,它们分别表示得大馅饼、中馅饼、
10、小馅饼或没得到馅饼的事件；01. 032418) 1 ()()(22 1 1 的面积的面积 Rrrpa03. 03243 18) 1 ()2()()(222 2 2 的面积的面积 Rrrpb；05. 03245 18)2()3()()(222 3 3 的面积的面积 Rrrpc；。91. 03243 18)3(324)()(22 4 4 的面积的面积 Rrrpd题型 3：体积问题 例 7 （1）在 400 毫升自来水中有一个大肠杆菌,今从中随机取出 2 毫升水样放到显微镜 下观察,求发现大肠杆菌的概率。 解析：由于取水样的随机性,所求事件的概率等于水样的体积与总体积之比，即 2/400=0.00
11、5。 （2）如果在一个 5 万平方公里的海域里有表面积达 40 平方公里的大陆架贮藏着石油,假 如在这海领域里随意选定一点钻探,问钻到石油的概率是多少? 解析：由于选点的随机性,可以认为该海域中各点被选中的可能性是一样的,因而所求概 率自然认为等于贮油海域的面积与整个海域面积之比,即等于 40/50000=0.0008。例 8在线段0，1上任意投三个点，问由 0 至三点的三线段，能构成三角形与不能构成三角形这两个事件中哪一个事件的概率大。 解析：设 0 到三点的三线段长分别为 x,y,z，即相应的 z右端点坐标为 x,y,z，显然这三条线 1 C1,0zyx段构成三角形的充要条件是： A D
12、。xzyyzxzyx,在线段0，1上任意投三点 x,y,z。与立方体 0 1 y，中的点 1 10 x10 y10 z),(zyx一一对应，可见所求“构成三角形”的概率，等价于 x B 边长为 1 的立方体 T 中均匀地掷点，而点落在 区域中的概率；这也就是落在图中由xzyyzxzyx,ADC，ADB，BDC，AOC，AOB，BOC 所围成的区域 G 中的概率。由于 , 1)(TV，21121 3131)(33GV21)(/ )(TVGVp由此得，能与不能构成三角形两事件的概率一样大。题型 4：随机模拟例 9随机地向半圆（为正常数）内掷一点，点落在园内任何区域202yaxxa的概率与区域的面积
13、成正比，求原点与该点的连线与轴的夹角小于的概率.x/4解析：半圆域如图设原点与该点连线与轴夹角小于A x/4由几何概率的定义。22211 42( )1 2aaAP A a 的面积 半园的面积11 2例 10随机地取两个正数和，这两个数中的每一个都不超过 1，试求与之和不xyxy超过 1，积不小于 0.09 的概率.解析：，不等式确定平面域。01, 01xyS则发生的充要条件为不A 1,0.09xyxyA01, 10.09xyxy等式确定了的子域，SA故：0.90.10.9( )(1)AP Axdxx的面积 S的面积0.40.18ln30.2例 11. 曲线 y=-x2+1 与 x 轴、y 轴围
14、成一个区域 A，直线 x=1、直线 y=1、x 轴围成一个正 方形，向正方形中随机地撒一把芝麻，利用计算机来模拟这个试验，并统计出落在区域 A 内 的芝麻数与落在正方形中的芝麻数 答案：如下表，由计算机产生两例 01 之间的随机数，它们分别表示随机点（x,y）的坐 标。如果一个点（x,y）满足 y-x2+1，就表示这个点落在区域 A 内，在下表中最后一列相应 地就填上 1，否则填 0。 xy计数0.5988950.9407940 0.5122840.1189611 0.4968410.7844170 0.1127960.69063410.3596000.3714411 0.1012600.65
15、05121 0.9473860.9021270 0.1176180.30567310.5164650.22290710 y xy xa/4x1yy1y0.90.10yy0.5963930.9696950五五 【思维总结思维总结】 1几何概率是考研大纲上要求的基本内容，也是近年来新增考察内容之一； 2有关几何概率的题目难度不大，但需要准确理解题意，利用图形分析问题。本讲将 着重介绍如何利用图形解决几何概率的相关问题； 3学好几何概率对于解决后续均匀分布的问题有很大帮助。 4关于几何概型： （1）我们是就平面的情形给出几何概型的，同样的方法显然也适用于直线或空间的情 形，只需将“面积”相应地改变为“长度”、“体积”； （2）几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一
