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1、第十七章第十七章 反比例函数反比例函数1711 反比例函数的意义反比例函数的意义一、教学目标一、教学目标 1使学生理解并掌握反比例函数的概念 2能判断一个给定的函数是否为反比例函数,并会用待定系数法求函数解析式 3能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式,体会函数的模型思想 二、重、难点二、重、难点 1重点:重点:理解反比例函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式 2难点:难点:理解反比例函数的概念 3难点的突破方法:难点的突破方法: (1)在引入反比例函数的概念时,可适当复习一下第 11 章的正比例函数、一次函数 等相关知识,这样以旧带新,相互对比,能加深对反比例函数概念的理解(2)注意
2、引导学生对反比例函数概念的理解,看形式,等号左边是函数 y,等xky 号右边是一个分式,自变量 x 在分母上,且 x 的指数是 1,分子是不为 0 的常数 k;看自变 量 x 的取值范围,由于 x 在分母上,故取 x0 的一切实数;看函数 y 的取值范围,因为k0,且 x0,所以函数值 y 也不可能为 0。讲解时可对照正比例函数 ykx(k0) ,比 较二者解析式的相同点和不同点。(3)(k0)还可以写成(k0)或 xyk(k0)的形式xky 1 kxy三、例题的意图分析三、例题的意图分析 教材第 46 页的思考题是为引入反比例函数的概念而设置的,目的是让学生从实际问题 出发,探索其中的数量关
3、系和变化规律,通过观察、讨论、归纳,最后得出反比例函数的 概念,体会函数的模型思想。 教材第 47 页的例 1 是一道用待定系数法求反比例函数解析式的题,此题的目的一是要 加深学生对反比例函数概念的理解,掌握求函数解析式的方法;二是让学生进一步体会函 数所蕴含的“变化与对应”的思想,特别是函数与自变量之间的单值对应关系。 补充例 1、例 2 都是常见的题型,能帮助学生更好地理解反比例函数的概念。补充例 3 是一道综合题,此题是用待定系数法确定由两个函数组合而成的新的函数关系式,有一 定难度,但能提高学生分析、解决问题的能力。 四、课堂引入四、课堂引入 1回忆一下什么是正比例函数、一次函数?它们
4、的一般形式是怎样的? 2体育课上,老师测试了百米赛跑,那么,时间与平均速度的关系是怎样的? 五、例习题分析五、例习题分析 例 1见教材 P47分析:因为 y 是 x 的反比例函数,所以先设,再把 x2 和 y6 代入上式求出xky 常数 k,即利用了待定系数法确定函数解析式。 例 1 (补充)下列等式中,哪些是反比例函数(1) (2) (3)xy21 (4) (5)3xy xy225 xyxy23(6) (7)yx431xy分析:根据反比例函数的定义,关键看上面各式能否改写成(k 为常数,xky k0)的形式,这里(1) 、 (7)是整式, (4)的分母不是只单独含 x, (6)改写后是,分子
5、不是常数,只有(2) 、 (3) 、 (5)能写成定义的形式xxy31例 2 (补充)当 m 取什么值时,函数是反比例函数?23)2(mxmy分析:反比例函数(k0)的另一种表达式是(k0) ,后一种写法xky 1 kxy中 x 的次数是1,因此 m 的取值必须满足两个条件,即 m20 且 3m21,特别注 意不要遗漏 k0 这一条件,也要防止出现 3m21 的错误。 解得 m2例 3 (补充)已知函数 yy1y2,y1与 x 成正比例,y2与 x 成反比例,且当 x1 时, y4;当 x2 时,y5 (1)求 y 与 x 的函数关系式 (2)当 x2 时,求函数 y 的值 分析:此题函数 y
6、 是由 y1和 y2两个函数组成的,要用待定系数法来解答,先根据题意 分别设出 y1、 y2与 x 的函数关系式,再代入数值,通过解方程或方程组求出比例系数的 值。这里要注意 y1与 x 和 y2与 x 的函数关系中的比例系数不一定相同,故不能都设为 k, 要用不同的字母表示。略解:设 y1k1x(k10) ,(k20) ,则,代入数值求得 k12,xky2 2xkxky2 1k22,则,当 x2 时,y5xxy22 六、随堂练习六、随堂练习 1苹果每千克 x 元,花 10 元钱可买 y 千克的苹果,则 y 与 x 之间的函数关系式为 2若函数是反比例函数,则 m 的取值是 28)3(mxmy
7、3矩形的面积为 4,一条边的长为 x,另一条边的长为 y,则 y 与 x 的函数解析式为 4已知 y 与 x 成反比例,且当 x2 时,y3,则 y 与 x 之间的函数关系式是 , 当 x3 时,y 5函数中自变量 x 的取值范围是 21 xy七、课后练习七、课后练习 已知函数 yy1y2,y1与 x1 成正比例,y2与 x 成反比例,且当 x1 时,y0; 当 x4 时,y9,求当 x1 时 y 的值 答案:答案:y41712 反比例函数的图象和性质(反比例函数的图象和性质(1)一、教学目标一、教学目标 1会用描点法画反比例函数的图象 2结合图象分析并掌握反比例函数的性质 3体会函数的三种表
8、示方法,领会数形结合的思想方法 二、重点、难点二、重点、难点 1重点:重点:理解并掌握反比例函数的图象和性质 2难点:难点:正确画出图象,通过观察、分析,归纳出反比例函数的性质 3难点的突破方法:难点的突破方法: 画反比例函数图象前,应先让学生回忆一下画函数图象的基本步骤,即:列表、描点、连线,其中列表取值很关键。反比例函数(k0)自变量的取值范围是 x0,所以xky 取值时应对称式地选取正数和负数各一半,并且互为相反数,通常取的数值越多,画出的 图象越精确。连线时要告诉学生用平滑的曲线连接,不能用折线连接。教学时,老师要带 着学生一起画,注意引导,及时纠错。 在探究反比例函数的性质时,可结合
9、正比例函数 ykx(k0)的图象和性质,来帮 助学生观察、分析及归纳,通过对比,能使学生更好地理解和掌握所学的内容。这里要强 调一下,反比例函数的图象位置和增减性是由反比例系数 k 的符号决定的;反之,双曲线 的位置和函数性质也能推出 k 的符号,注意让学生体会数形结合的思想方法。 三、例题的意图分析三、例题的意图分析 教材第 48 页的例 2 是让学生经历用描点法画反比例函数图象的过程,一方面能进一步 熟悉作函数图象的方法,提高基本技能;另一方面可以加深学生对反比例函数图象的认识, 了解函数的变化规律,从而为探究函数的性质作准备。 补充例 1 的目的一是复习巩固反比例函数的定义,二是通过对反
10、比例函数性质的简单 应用,使学生进一步理解反比例函数的图象特征及性质。 补充例 2 是一道典型题,是关于反比例函数图象与矩形面积的问题,要让学生理解并掌握反比例函数解析式(k0)中的几何意义。xky k四、课堂引入四、课堂引入 提出问题: 1一次函数 ykxb(k、b 是常数,k0)的图象是什么?其性质有哪些?正比例 函数 ykx(k0)呢? 2画函数图象的方法是什么?其一般步骤有哪些?应注意什么? 3反比例函数的图象是什么样呢? 五、例习题分析五、例习题分析 例 2见教材 P48,用描点法画图,注意强调: (1)列表取值时,x0,因为 x0 函数无意义,为了使描出的点具有代表性,可 以“0”
11、为中心,向两边对称式取值,即正、负数各一半,且互为相反数,这样也便于求 y 值 (2)由于函数图象的特征还不清楚,所以要尽量多取一些数值,多描一些点,这样 便于连线,使画出的图象更精确(3)连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接,切忌画成折线 (4)由于 x0,k0,所以 y0,函数图象永远不会与 x 轴、y 轴相交,只是无 限靠近两坐标轴例 1 (补充)已知反比例函数的图象在第二、四象限,求 m 值,并32) 1(mxmy指出在每个象限内 y 随 x 的变化情况?分析:此题要考虑两个方面,一是反比例函数的定义,即(k0)自变量 x1 kxy的指数是1,二是根据反比例函数的性质:当图
12、象位于第二、四象限时,k0,则 m10,不要忽视这个条件略解:是反比例函数 m231,且 m1032) 1(mxmy又图象在第二、四象限 m10解得且 m1 则2m2m例 2 (补充)如图,过反比例函数(x0)的图xy1象上任意两点 A、B 分别作 x 轴的垂线,垂足分别为 C、D, 连接 OA、OB,设AOC 和BOD 的面积分别是 S1、S2, 比较它们的大小,可得( )(A)S1S2 (B)S1S2 (C)S1S2 (D)大小关系不能确定分析:从反比例函数(k0)的图象上任一点 P(x,y)向 x 轴、y 轴作垂线xky 段,与 x 轴、y 轴所围成的矩形面积,由此可得 S1S2 ,故选
13、 BkxyS21六、随堂练习六、随堂练习1已知反比例函数,分别根据下列条件求出字母 k 的取值范围xky3(1)函数图象位于第一、三象限 (2)在第二象限内,y 随 x 的增大而增大2函数 yaxa 与(a0)在同一坐标系中的图象可能是( )xay3在平面直角坐标系内,过反比例函数(k0)的图象上的一点分别作 x 轴、xky y 轴的垂线段,与 x 轴、y 轴所围成的矩形面积是 6,则函数解析式为 七、课后练习七、课后练习1若函数与的图象交于第一、三象限,则 m 的取值范围是 xmy) 12(xmy32反比例函数,当 x2 时,y ;当 x2 时;y 的取值范围是 xy2; 当 x2 时;y
14、的取值范围是 3 已知反比例函数yaxa()226,当x 0时,y 随 x 的增大而增大,求函数关系式答案:答案:3 xya25,51712 反比例函数的图象和性质(反比例函数的图象和性质(2)一、教学目标一、教学目标 1使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质 2能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题 3深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系,体会数形结合及转化的思想方法 二、重点、难点二、重点、难点 1重点:重点:理解并掌握反比例函数的图象和性质,并能利用它们解决一些综合问题 2难点:难点:学会从图象上分析、解决问题 3难点的突破方法:难点的突破方法: 在前一节的基础上,可适当
15、增加一些较综合的题目,帮助学生熟练掌握反比例函数的 图象和性质,要让学生学会如何通过函数图象分析解析式,或由函数解析式分析图象的方 法,以便更好的理解数形结合的思想,最终能达到从“数”和“形”两方面去分析问题、 解决问题。 三、例题的意图分析三、例题的意图分析 教材第 51 页的例 3 一是让学生理解点在图象上的含义,掌握如何用待定系数法去求解 析式,复习巩固反比例函数的意义;二是通过函数解析式去分析图象及性质,由“数”到 “形” ,体会数形结合思想,加深学生对反比例函数图象和性质的理解。 教材第 52 页的例 4 是已知函数图象求解析式中的未知系数,并由双曲线的变化趋势分 析函数值 y 随 x 的变化情况,此过程是由“形”到“数” ,目的是为了提高学生从函数图象 中获取信息的能力,加深对函数图象及性质的理解。 补充例 1 目的是引导学生在解有关函数问题时,要数形结合,另外,在分析反比例函 数的增减性时,一定要注意强调在哪