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1、初三数学直线形初三数学直线形 三角形知识精讲三角形知识精讲一. 本周教学内容:直线形、三角形知识归纳 (一)相交线和平行线1. 直线、射线和线段点、直线是几何学的基本概念,不定义,线与线相交于点。直线的性质:直线的性质是用公理给出的,即经过两点有一条直线,并且只有一条直线。简称“两点 确定一条直线” 。由它可推出,两条直线相交,只有一个交点。在直线上某一点和它一旁的部分叫做射线,这一点叫做射线的端点。直线上任意两点和它们之间的部 分叫做线段,这两点叫做线段的端点。把一条线段二等分的点叫做线段的中点。线段的性质:在所有联接两点的线中,线段最短。2. 角有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公
2、共端点叫做角的顶点,这两条射线叫做角的边。角 还可这样定义,把一条射线 OA,绕着它的端点 O,从原来的位置 OA 旋转到另一个位置 OB,这时 OA 和 OB 就生成了一个角,记作AOB,其中 OA、OB 分别叫做角的始边和终边,点 O 叫做角的顶点。角的度量:目前角的度量采用角度制,即把一个周角分成 360 等份,每一份叫做 1 度的角,记作 1, 并且 160,160。在这种度量下,1 周角360,1 平角180,1 直角90。角的分类:(1)锐角:小于直角的角叫做锐角。 (注意:0锐角90)(2)直角:平角的一半叫做直角。(3)钝角:大于直角而小于平角的角叫做钝角。相互关联的角:(1)
3、对顶角:如果一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,那么这两个角叫做对顶角。(2)余角:如果两个角的和是一个直角,那么这两个角叫做互为余角。(3)补角:如果两个角的和是一个平角,那么这两个角叫做互为补角。(4)邻补角:有公共的顶点和一条公共边,且另外两边互为反向延长线的两个角叫做互为邻补角。相互关联的角的性质:(1)对顶角相等。(2)同角或等角的余角相等。(3)同角或等角的补角相等。角的平分线:从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线叫做这个角的平分线。它是到 角的两边距离相等的点的集合。即(1)角平分线上的任意一点,到这个角的两边距离相等;(2)到一个角的两边距离相等的点,在
4、这个角的平分线上。3. 两条直线垂直若两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,叫做这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫 做另一条直线的垂线。垂线的性质:(1)平面内,经过一点有一条并且只有一条直线与已知直线垂直。(2)直线外一点与直线上各点连结的所有线段中,垂线段最短。线段的垂直平分线:过线段的中点且与线段垂直的直线叫做这条线段的垂直平分线,这是到线段的两 个端点距离相等的点的集合。即(1)线段垂直平分线上的任意一点,到这条线段的两个端点距离相等。(2)到一条线段的两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。4. 平行线在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。平行线的性质:(1)平
5、行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。(2)两直线平行,同位角相等。(3)两直线平行,内错角相等。(4)两直线平行,同旁内角互补。(5)夹在两条平行线间的平行线段相等。(6)平行线等分线段定理。(7)平行线分线段成比例定理等。平行线的判定:(1)根据平行线的定义判定。(2)同位角相等,两直线平行。(3)内错角相等,两直线平行。(4)同旁内角互补,两直线平行。(5)平行于同一条直线的两条直线互相平行。(6)平行线分线段成比例定理的逆定理。5. 同一平面内,两条直线的位置关系平行相交6. 距离两点间的距离:连结两点的线段的长度,叫做这两点间的距离。点到直线的距离:从直线外一点到这
6、条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离。如果点在直线上,则点到此直线的距离为零。两条平行线的距离:两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线的 距离。7. 基本作图(1)作一个角等于已知角;(2)作已知角的平分线;(3)经过一点作已知直线的垂线;(4)作已知线段的垂直平分线;(5)过直线外一点作它的平行线。(二)三角形1. 三角形的分类(1)按边的相等关系分类如下:不等边三角形等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形(2)按角的大小分类如下:直角三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形2. 三角形的主要线段和特殊点(1)三角形的主要线段三角形的角平分线:三角形一个角
7、的平分线和这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫 做三角形的角平分线。三角形的中线:在三角形中,连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。三角形的高:从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线, 简称三角形的高。三角形的中位线:连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形的中位线平行于第三边, 并且等于它的一半。(2)三角形的特殊点三角形的外心:三角形各边的垂直平分线相交于一点,这点称为三角形的外心(即三角形外接圆的圆 心) 。外心到三角形各顶点的距离相等。三角形的内心:三角形三个内角的平分线相交于一点,这个点称为三角形的内心(即三角形
8、内切圆的 圆心) 。内心到三角形各边的距离相等。三角形的重心:三角形的三条中线相交于一点,这点称为三角形的重心。它到顶点的距离等于到对 边中点的距离的两倍。因此,把重心与三角形的顶点分别连结,可将原三角形分割成三个面积相等的三角 形。三角形的垂心:三角形三边上的高所在直线相交于一点,这点称为三角形的垂心。锐角三角形的垂 心在三角形内;钝角三角形的垂心在三角形的外部;直角三角形的垂心与直角顶点重合。想一想,三角形 的垂心有什么性质?3. 关于三角形边、角的关系关于边的关系:(1)三角形两边之和大于第三边;(2)三角形两边之差小于第三边。关于角的关系:(1)三角形三个内角的和等于 180;(2)三
9、角形的每一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;(3)三角形的每一个外角大于和它不相邻的任何一个内角;(4)三角形的外角和等于 360。关于边、角的关系:在同一个三角形中,等边对等角;等角对等边。还可以证明:较长的边所对的角也较大;较大的角所 对的边也较长。4. 全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。全等三角形的性质:(1)全等三角形的对应元素(边、角或线段)对应相等;(2)如果两个三角形都与同一个三角形全等,那么这两个三角形全等;全等三角形的判定:两个三角形具备以下条件之一的就全等:(1)三边对应相等,即(S、S、S)(2)两边及其夹角对应相等,即(S、A、S)(3)两角及其夹边对
10、应相等,即(A、S、A)(4)两角和其中一角的对边对应相等,即(A、A、S)对于两个直角三角形全等,还可以用斜边和一条直角边对应相等(即 HL)来判定。5. 等腰三角形和等边三角形等腰三角形的性质:(1)等腰三角形的两个底角相等;(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合;(3)等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是底边的垂直平分线。等腰三角形的判定:(1)根据等腰三角形的定义判定;(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形。等边三角形的性质:(1)具有等腰三角形的性质;(2)等边三角形的每一角都是 60,各边相等;(3)等边三角形的外心、内心、垂心、重心互相重合成一点,称为等
11、边三角形的中心。若等边三角形的边长为 a,则其外接圆半径,内切圆半径,一边上的高Ra3 3ra3 6,其面积为。ha3 23 42a等边三角形的判定:(1)根据等边三角形的定义判定;(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;(3)有一个角为 60的等腰三角形是等边三角形。6. 直角三角形直角三角形的性质:(1)直角三角形中,两个锐角互余;(2)勾股定理:直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方;(3)直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,斜边大于直角边;(4)射影定理:在直角三角形 ABC 中,若于 D,则,CCD AB90o,ACADAB2,;(注:用时给予必要的推理)BCBDBA2
12、CDADDB2(5)在直角三角形中,如果一个锐角等于 30,那么它所对的直角边等于斜边的一半。一般地,利用税角三角函数可进行边、角之间的变换。直角三角形的判定:(1)根据直角三角形的定义判定;(2)勾股定理的逆定理:如果三角形中的两条较短边的平方和等于较长边的平方,那么这个三角形 是直角三角形;(3)如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。7. 轴对称和轴对称图形(1)把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么这两个图形叫做关于这 条直线对称,两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点,这条直线叫做对称轴。两个图形关于直线 对称也称轴对称。如果一个
13、图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这 条直线就是它的对称轴。轴对称的性质:(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形;(2)如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线;(3)两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上。由轴对称的性质可以认识轴对称图形的性质。8. 几何作图(1)根据已知条件求作三角形;(2)作一图形关于一直线的对称图形。例 1. 如图,观察下表中三角形个数变化规律,填表并回答下面问题。图形 横截线条数 0 1 2 三角形个数 (1)当三角形中的横截线有 n 条时,写出图中三角形的个数
14、y 与 n 之间的关系式;(2)如果图中三角形个数是 102 个,则图中应有多少条横截线?分析:分析:(1)读者应重点思考的是横截线条数 n 与图中三角形的个数 y 之间是如何对应的。n 0 1 2 n y 61 62 63 6(n1) (2)只要令,求出 n 的值即可。61102()n 说明:说明:根据题目要求,不重不漏地把对象的个数算出来,是应掌握的有关“计数”问题的基本技能, 关键是弄清图形中量与量之间的对应关系。例 2. 已知:ABC 中,a5,c7(1)求 b 边长的取值范围;(2)若ABC 是锐角三角形,且 b 边长也为整数,求 b 边的长。解:解:(1)由三角形边的性质:有,即c
15、abca212b(2)是锐角三角形,且Q ABCac,即cabca22222474b而 b 为整数,5、6、7、8b说明:说明:此题的解法可用如图直观加以说明。在以 B 点为圆心的半圆中,半径为 7,BC5。A B BCA C BC21,当 A 点在上时,的是钝角;当 A 点在上时,的是钝角;A A01ABCACBA A2ABCABC只有当 A 点在上时,是锐角三角形。A A12ABC例 3. 阅读下题及证明过程:已知:如图,D、E 分别是 BC、AD 上一点,求证:EBEC ABEACE BAECAE证明:证明:在和中AEBAECQEBECABEACEAEAE 第一步AEBAEC第二步 BA
16、ECAE问上面的证明过程是否正确?若正确,请写出每一步推理的根据;若不正确,请指出错在哪一步,并 写出你认为正确的证明过程。分析与解答:分析与解答:上面的证明过程不正确。错在第一步(为什么?) 。正确的证明思路是欲证,只要证 ABAC,亦证。具体的证明过ABEACE ABCACB 程请自己完成。说明:说明:本例题属于阅读理解题,它对同学数学基础知识的理解与掌握的程度进行了考查。在纠正错误 的同时,给出正确的解答,体现了数学的综合素质。例 4. 在中,AB 的垂直平分线 ED 交 AC 于 D,求证ABCBABCB120oADDC1 2分析:分析:在中,因为直线 ED 垂直平分 AB,若连结 BD,则 ADBD。这样欲证,ABCADDC1 2只要证。DBDC