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1、初三数学直线形初三数学直线形 三角形知识精讲三角形知识精讲一. 本周教学内容：直线形、三角形知识归纳 （一）相交线和平行线1. 直线、射线和线段点、直线是几何学的基本概念，不定义，线与线相交于点。直线的性质：直线的性质是用公理给出的，即经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简称“两点 确定一条直线” 。由它可推出，两条直线相交，只有一个交点。在直线上某一点和它一旁的部分叫做射线，这一点叫做射线的端点。直线上任意两点和它们之间的部 分叫做线段，这两点叫做线段的端点。把一条线段二等分的点叫做线段的中点。线段的性质：在所有联接两点的线中，线段最短。2. 角有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公
2、共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。角 还可这样定义，把一条射线 OA，绕着它的端点 O，从原来的位置 OA 旋转到另一个位置 OB，这时 OA 和 OB 就生成了一个角，记作AOB，其中 OA、OB 分别叫做角的始边和终边，点 O 叫做角的顶点。角的度量：目前角的度量采用角度制，即把一个周角分成 360 等份，每一份叫做 1 度的角，记作 1， 并且 160，160。在这种度量下，1 周角360，1 平角180，1 直角90。角的分类：（1）锐角：小于直角的角叫做锐角。 （注意：0锐角90）（2）直角：平角的一半叫做直角。（3）钝角：大于直角而小于平角的角叫做钝角。相互关联的角：（1）
3、对顶角：如果一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。（2）余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角。（3）补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角。（4）邻补角：有公共的顶点和一条公共边，且另外两边互为反向延长线的两个角叫做互为邻补角。相互关联的角的性质：（1）对顶角相等。（2）同角或等角的余角相等。（3）同角或等角的补角相等。角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线叫做这个角的平分线。它是到 角的两边距离相等的点的集合。即（1）角平分线上的任意一点，到这个角的两边距离相等；（2）到一个角的两边距离相等的点，在
4、这个角的平分线上。3. 两条直线垂直若两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，叫做这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫 做另一条直线的垂线。垂线的性质：（1）平面内，经过一点有一条并且只有一条直线与已知直线垂直。（2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。线段的垂直平分线：过线段的中点且与线段垂直的直线叫做这条线段的垂直平分线，这是到线段的两 个端点距离相等的点的集合。即（1）线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段的两个端点距离相等。（2）到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。4. 平行线在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行线的性质：（1）平
5、行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。（2）两直线平行，同位角相等。（3）两直线平行，内错角相等。（4）两直线平行，同旁内角互补。（5）夹在两条平行线间的平行线段相等。（6）平行线等分线段定理。（7）平行线分线段成比例定理等。平行线的判定：（1）根据平行线的定义判定。（2）同位角相等，两直线平行。（3）内错角相等，两直线平行。（4）同旁内角互补，两直线平行。（5）平行于同一条直线的两条直线互相平行。（6）平行线分线段成比例定理的逆定理。5. 同一平面内，两条直线的位置关系平行相交6. 距离两点间的距离：连结两点的线段的长度，叫做这两点间的距离。点到直线的距离：从直线外一点到这
6、条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。如果点在直线上，则点到此直线的距离为零。两条平行线的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的 距离。7. 基本作图（1）作一个角等于已知角；（2）作已知角的平分线；（3）经过一点作已知直线的垂线；（4）作已知线段的垂直平分线；（5）过直线外一点作它的平行线。（二）三角形1. 三角形的分类（1）按边的相等关系分类如下：不等边三角形等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形（2）按角的大小分类如下：直角三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形2. 三角形的主要线段和特殊点（1）三角形的主要线段三角形的角平分线：三角形一个角
7、的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫 做三角形的角平分线。三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。三角形的高：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线， 简称三角形的高。三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形的中位线平行于第三边， 并且等于它的一半。（2）三角形的特殊点三角形的外心：三角形各边的垂直平分线相交于一点，这点称为三角形的外心（即三角形外接圆的圆 心） 。外心到三角形各顶点的距离相等。三角形的内心：三角形三个内角的平分线相交于一点，这个点称为三角形的内心（即三角形
8、内切圆的 圆心） 。内心到三角形各边的距离相等。三角形的重心：三角形的三条中线相交于一点，这点称为三角形的重心。它到顶点的距离等于到对 边中点的距离的两倍。因此，把重心与三角形的顶点分别连结，可将原三角形分割成三个面积相等的三角 形。三角形的垂心：三角形三边上的高所在直线相交于一点，这点称为三角形的垂心。锐角三角形的垂 心在三角形内；钝角三角形的垂心在三角形的外部；直角三角形的垂心与直角顶点重合。想一想，三角形 的垂心有什么性质？3. 关于三角形边、角的关系关于边的关系：（1）三角形两边之和大于第三边；（2）三角形两边之差小于第三边。关于角的关系：（1）三角形三个内角的和等于 180；（2）三
9、角形的每一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（3）三角形的每一个外角大于和它不相邻的任何一个内角；（4）三角形的外角和等于 360。关于边、角的关系：在同一个三角形中，等边对等角；等角对等边。还可以证明：较长的边所对的角也较大；较大的角所 对的边也较长。4. 全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应元素（边、角或线段）对应相等；（2）如果两个三角形都与同一个三角形全等，那么这两个三角形全等；全等三角形的判定：两个三角形具备以下条件之一的就全等：（1）三边对应相等，即（S、S、S）（2）两边及其夹角对应相等，即（S、A、S）（3）两角及其夹边对
10、应相等，即（A、S、A）（4）两角和其中一角的对边对应相等，即（A、A、S）对于两个直角三角形全等，还可以用斜边和一条直角边对应相等（即 HL）来判定。5. 等腰三角形和等边三角形等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合；（3）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边的垂直平分线。等腰三角形的判定：（1）根据等腰三角形的定义判定；（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形。等边三角形的性质：（1）具有等腰三角形的性质；（2）等边三角形的每一角都是 60，各边相等；（3）等边三角形的外心、内心、垂心、重心互相重合成一点，称为等
11、边三角形的中心。若等边三角形的边长为 a，则其外接圆半径，内切圆半径，一边上的高Ra3 3ra3 6，其面积为。ha3 23 42a等边三角形的判定：（1）根据等边三角形的定义判定；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角为 60的等腰三角形是等边三角形。6. 直角三角形直角三角形的性质：（1）直角三角形中，两个锐角互余；（2）勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；（3）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，斜边大于直角边；（4）射影定理：在直角三角形 ABC 中，若于 D，则，CCD AB90o，ACADAB2，；（注：用时给予必要的推理）BCBDBA2
12、CDADDB2（5）在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。一般地，利用税角三角函数可进行边、角之间的变换。直角三角形的判定：（1）根据直角三角形的定义判定；（2）勾股定理的逆定理：如果三角形中的两条较短边的平方和等于较长边的平方，那么这个三角形 是直角三角形；（3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。7. 轴对称和轴对称图形（1）把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形叫做关于这 条直线对称，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点，这条直线叫做对称轴。两个图形关于直线 对称也称轴对称。如果一个
13、图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这 条直线就是它的对称轴。轴对称的性质：（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。由轴对称的性质可以认识轴对称图形的性质。8. 几何作图（1）根据已知条件求作三角形；（2）作一图形关于一直线的对称图形。例 1. 如图，观察下表中三角形个数变化规律，填表并回答下面问题。图形 横截线条数 0 1 2 三角形个数 （1）当三角形中的横截线有 n 条时，写出图中三角形的个数
14、y 与 n 之间的关系式；（2）如果图中三角形个数是 102 个，则图中应有多少条横截线？分析：分析：（1）读者应重点思考的是横截线条数 n 与图中三角形的个数 y 之间是如何对应的。n 0 1 2 n y 61 62 63 6（n1） （2）只要令，求出 n 的值即可。61102()n 说明：说明：根据题目要求，不重不漏地把对象的个数算出来，是应掌握的有关“计数”问题的基本技能， 关键是弄清图形中量与量之间的对应关系。例 2. 已知：ABC 中，a5，c7（1）求 b 边长的取值范围；（2）若ABC 是锐角三角形，且 b 边长也为整数，求 b 边的长。解：解：（1）由三角形边的性质：有，即c
15、abca212b（2）是锐角三角形，且Q ABCac，即cabca22222474b而 b 为整数，5、6、7、8b说明：说明：此题的解法可用如图直观加以说明。在以 B 点为圆心的半圆中，半径为 7，BC5。A B BCA C BC21，当 A 点在上时，的是钝角；当 A 点在上时，的是钝角；A A01ABCACBA A2ABCABC只有当 A 点在上时，是锐角三角形。A A12ABC例 3. 阅读下题及证明过程：已知：如图，D、E 分别是 BC、AD 上一点，求证：EBEC ABEACE BAECAE证明：证明：在和中AEBAECQEBECABEACEAEAE 第一步AEBAEC第二步 BA
16、ECAE问上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的根据；若不正确，请指出错在哪一步，并 写出你认为正确的证明过程。分析与解答：分析与解答：上面的证明过程不正确。错在第一步（为什么？） 。正确的证明思路是欲证，只要证 ABAC，亦证。具体的证明过ABEACE ABCACB 程请自己完成。说明：说明：本例题属于阅读理解题，它对同学数学基础知识的理解与掌握的程度进行了考查。在纠正错误 的同时，给出正确的解答，体现了数学的综合素质。例 4. 在中，AB 的垂直平分线 ED 交 AC 于 D，求证ABCBABCB120oADDC1 2分析：分析：在中，因为直线 ED 垂直平分 AB，若连结 BD，则 ADBD。这样欲证，ABCADDC1 2只要证。DBDC
