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1、初三数学相似三角形知识精讲初三数学相似三角形知识精讲一. 本周教学内容：相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是：1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比， 了解黄金分割。2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。相似三角
2、形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的 综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在 10%左右，有时也单独成题，形成创新与探 索型试题；有利于培养学生的综合素质。（二）重要知识点介绍：1. 比例线段的有关概念：在比例式：中， 、 叫外项， 、 叫内项， 、 叫前项，a bc dabcdadbcac()b、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果 b=c，那么 b 叫做 a、d 的比例中项。把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，使 AC2=ABBC，叫做把线段 AB 黄金分割，C 叫做线段 AB 的黄金 分割点。2. 比例性质：基本性质：a
3、bc dadbc合比性质：a bc dab bcd d等比性质： a bc dm nbdnacm bdna b ()03. 平行线分线段成比例定理：定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1l2l3。则，AB BCDE EFAB ACDE DFBC ACEF DF推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平 行于三角形的第三边。4. 相似三角形的判定：两角对应相等，两个三角形相似两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似三边对应成比例，两三角形相似如果一个直角三
4、角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那 么这两个直角形相似平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似5. 相似三角形的性质相似三角形的对应角相等相似三角形的对应边成比例相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方【典型例题典型例题】例 1. （1）在比例尺是 1：8000000 的中国行政区地图上，量得 A、B 两城市的距离是 7.5 厘米， 那么 A、B 两城市的实际距离是_千米。
5、（2）小芳的身高是 1.6m，在某一时刻，她的影子长 2m，此刻测得某建筑物的影长是 18 米，则此建 筑物的高是_米。解：解：这是两道与比例有关的题目，都比较简单。（1）应填 600 （2）应填 14.4。例 2. 如图，已知 DEBC，EFAB，则下列比例式错误的是：_AAD ABAE ACBCE CFEA FB.CDE BCAD BDDEF ABCF CB.分析：分析：由，可知， 、 、 都正确。而不能得到，DEBCEFABABDDE BCAD BD故应选 C。利用平行线分线段成比例定理及推论求解时，一定要分清谁是截线、谁是被截线， 中很显然是两平行线段的比，因此应是利用三角相似后对应边
6、成比CDE BC例这一性质来写结论，即DE BCAD ABAE AC例 3. 如图，在等边ABC 中，P 为 BC 上一点，D 为 AC 上一点，且APD=60，BPCDABC12 3，求的边长解：解：ABC 是等边三角形C=B=60又PDC=1+APD=1+60APB=1+C=1+60PDC=APBPDCAPBPC ABCD PB设 PC=x，则 AB=BC=1+x，x xx12 3 12AB=1+x=3。ABC 的边长为 3。例 4. 如图：四边形 ABEG、GEFH、HFCD 都是边长为 a 的正方形，（1）求证：AEFCEA（2）求证：AFB+ACB=45分析：分析：因为AEF、CEA
7、 有公共角AEF故要证明AEFCEA只需证明两个三角形中，夹AEF、CEA 的两边对应成比例即可。证明：证明：（1）四边形 ABEG、GEFH、HFCD 是正方形AB=BE=EF=FC=a，ABE=90，AEaECa22，AE EFa aEC AEa a222 22AE EFEC AE又CEA=AEFCEAAEF（2）AEFCEAAFE=EAC四边形 ABEG 是正方形ADBC，AG=GE，AGGEACB=CAD，EAG=45AFB+ACB=EAC+CAD=EAGAFB+ACB=45例 5. 已知：如图，梯形 ABCD 中，ADBC，AC、BD 交于点 O，EF 经过点 O 且和两底平行，交
8、AB 于 E， 交 CD 于 F求证：OE=OF证明：证明：ADEFBC，OE BCAE ABOE ADEB ABOE BCOE ADAE ABEB ABAB AB 1111 BCADOE同理：111 BCADOF11 OEOFOE=OF从本例的证明过程中，我们还可以得到以下重要的结论：ADEFBCADBCOE111ADEFBCOEOFEF1 2ADEFBCADBCOE1111 1 22EFOF即112 ADBCEF这是梯形中的一个性质，由此可知，在 AD、BC、EF 中，已知任何两条线段的长度，都可以求出第三 条线段的长度。例 6. 已知：如图，ABC 中，ADBC 于 D，DEAB 于 E
9、，DFAC 于 F求证：AE AFAC AB分析：分析：观察 AE、AF、AC、AB 在图中的位置不宜直接通过两个三角形相似加以解决。因此可根据图中 直角三角形多，因而相似三角形多的特点，可设法寻求中间量进行代换，通过，可得：，于是得到，同理ABDADEAB ADAD AEADAEAB2可得到，故可得：，即ADAFACAEABAFACAE AFAC AB2证明：证明：在ABD 和ADE 中，ADB=AED=90BAD=DAEABDADEAB ADAD AEAD2=AEAB同理：ACDADF可得：AD2=AFACAEAB=AFACAE AFAC AB例 7. 如图，D 为ABC 中 BC 边上的
10、一点，CAD=B，若 AD=6，AB=8，BD=7，求 DC 的长。分析：分析：本题的图形是证明比例中项时经常使用的“公边共角”的基本图形，我们可以由基本图形中得 到的相似三角形，从而得到对应边成比例，从而构造出关于所求线段的方程，使问题得以解决。解：解：在ADC 和BAC 中CAD=B，C=CADCBACAD ABDC ACAC BC又AD=6，AD=8，BD=7DC ACAC DC73 4即DC AC AC DC3 473 4解得：DC=9例 8. 如图，在矩形 ABCD 中，E 是 CD 的中点，BEAC 于 F，过 F 作 FGAB 交 AE 于 G，求证：AG2=AFFC证明：证明：
11、在矩形 ABCD 中，AD=BC，ADC=BCE=90又E 是 CD 的中点，DE=CERtADERtBCEAE=BEFGABAE BEAG BFAG=BF在 RtABC 中，BFAC 于 FRtBFCRtAFBAF BFFB FCBF2=AFFCAG2=AFFC例 9. 如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，若BCD 的平分线 CHAB 于点 H，BH=3AH，且四边形 AHCD 的面 积为 21，求HBC 的面积。分析：分析：因为问题涉及四边形 AHCD，所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加 以解决。解：解：延长 BA、CD 交于点 PCHAB，CD 平分BCDCB=C
12、P，且 BH=PHBH=3AHPA：AB=1：2PA：PB=1：3ADBCPADPBC：SSPADPBC 19SSPCHPBC1 2：四边形SSPADAHCD 27四边形SAHCD 21SPAD 6SPBC 54SSHBCPBC1 227一、填空题：1. 已知，则_ab ab 2 29 5ab： 2. 若三角形三边之比为 3：5：7，与它相似的三角形的最长边是 21cm，则其余两边之和是_cm3. 如图，ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BC=6，则 DE=_；ADE 与ABC 的面积之 比为：_。4. 已知线段 a=4cm，b=9cm，则线段 a、b 的比例中项 c 为_cm。
13、5. 在ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DEBC，如果 AD=8，DB=6，EC=9，那么 AE=_6. 已知三个数 1，2，请你添上一个数，使它能构成一个比例式，则这个数是_37. 如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，EFBC，若 AD=12cm，BC=18cm，AE：EB=2：3，则 EF=_8. 如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，A=90，BDCD，AD=6，BC=10，则梯形的面积为：_二、选择题：1. 如果两个相似三角形对应边的比是 3：4，那么它们的对应高的比是_A. 9：16B. ：23C. 3：4D. 3：72. 在比例尺为 1：m 的某市地图上，规划出
14、长 a 厘米，宽 b 厘米的矩形工业园区，该园区的实际面积是 _米2A. B. C. D. 104m ab1042m ababm 104abm24103. 已知，如图，DEBC，EFAB，则下列结论：AE ECBE FCAD BFAB BCEF ABDE BCCE CFEA BF其中正确的比例式的个数是_A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个4. 如图，在ABC 中，AB=24，AC=18，D 是 AC 上一点，AD=12，在 AB 上取一点 E，使 A、D、E 三点为 顶点组成的三角形与ABC 相似，则 AE 的长是_A. 16B. 14C. 16 或 14D. 16 或 95. 如图，在 RtABC 中，BAC=90，D 是 BC 的中点，AEAD，交 CB 的延长线于点 E，则下列结论正 确的是_A. AEDACBB. AEBACDC. BAEACED. AECDAC三、解答题：1. 如图，ADEGBC，AD=6，BC=9，AE：AB=2：3，求 GF 的长。2. 如图，ABC 中，D 是 AB 上一点，且 AB=3AD，B=75，CDB=60，求证：ABCCBD。3. 如图，BE 为ABC 的外接圆 O 的直径，C
