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1、立体几何立体几何21.21.小明想利用树影测树高，他在某一时刻测得长为 1m 的竹竿影长 0.9m，但当他马上测树高时, 因树靠近一幢建筑物,影子不全落在地面上，有一部分影子上了墙如图所示.他测得留在地面部分的影子长 2.7m, 留在墙壁部分的影高 1.2m, 求树高的高度（太阳光线可看作为平行光线）_.42 米解析：解析：树高为 AB，影长为 BE，CD 为树留在墙上的影高，1.21,0.9CD CECECE=1.08米，树影长 BE=2.7 1.083.78米，树高 AB=1 0.9BE=4.2米。2222如图,正四面体 ABCD（空间四边形的 四条边长及两对角线的长都相等）中,E F分别
2、是棱,AD BC的中点, 则EF和AC所成的角的大小是_.解析：解析：设各棱长为 2，则 EF=2，取 AB 的中点为 M，2cos.2MFE即.42323OX，OY，OZ是空间交于同一点O的互相垂直的三条直 线，点P到这三条直线的距离分别为 3，4，7，则OP长 为_.解析：解析：在长方体OXAYZBPC 中，OX、OY、OZ是相交的三条互相垂直的三条直线。又PZOZ，PYOY，PXOX，有 OX2+OZ2=49，OY2=OX2=9， OY2+OZ2=16，ABCDEFABEDC得 OX2+OY2+OZ2=37，OP=372424设直线a上有 6 个点，直线b上有 9 个点，则这 15 个点
3、，能确定_个不同的平面.解析：解析： 当直线a，b共面时，可确定一个平面； 当直线a，b异面时，直线a与b上 9 个点可确定 9 个不同平面，直线b与a上 6 个点可确定 6 个不同平面，所以一点可 以确定 15 个不同的平面25.25. 在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点求证：EF 和 AD 为异面直线.解析：解析：假设 EF 和 AD 在同一平面内，（2 分），则 A，B，E，F；（4 分）又 A，EAB，AB，B，（6 分）同理 C（8 分）故 A，B，C，D，这与 ABCD 是空间四边形矛盾。EF 和 AD 为异面直线26.26. 在空间四边形 ABCD 中
4、，E，H 分别是 AB，AD 的中点，F，G 分别是 CB，CD 的中点，若AC + BD = a ，ACBD =b，求22EGFH.解析：解析：四边形 EFGH 是平行四边形，（4 分）22EGFH=222()EFFG=22211()(2 )22ACBDab27.27. 如图，在三角形ABC 中， ACB=90，AC=b,BC=a,P 是ABC 所在平面外一点， PBAB，M 是 PA 的中点，ABMC，求异面直 MC 与 PB 间的距离.解析：解析：作 MN/AB 交 PB 于点 N（2 分） PBAB，PBMN。（4 分）又 ABMC，MNMC（8 分）MN 即为异面直线 MC 与 PB
5、 的公垂线段，（10 分）其长度就是 MC 与 PB 之间的距离，则得 MN=1 2AB=221.2ab28.28. 已知长方体 ABCDA1B1C1D1中, A1A=AB， E、F 分别是 BD1和 AD 中点.（1）求异面直线 CD1、EF 所成的角；（2）证明 EF 是异面直线 AD 和 BD1的公垂线.ABCDE GPABCM（1）解析：解析：在平行四边形11BADC中，E 也是1AC的中点，1/EFC D，（2 分）两相交直线 D1C 与 CD1所成的角即异面直线 CD1与 EF 所成的角.（4 分）又A1A=AB，长方体的侧面1111,ABB A CDDC都是正方形，D1CCD1
6、异面直线 CD1、EF 所成的角为 90.（7 分）（2）证：设 AB=AA1=a, D1F=,42 2BFADaEFBD1.（9 分）由平行四边形11BADC，知 E 也是1AC的中点，且点 E 是长方体 ABCDA1B1C1D1的对称中心，（12 分）EA=ED，EFAD，又 EFBD1，EF 是异面直 线 BD1与 AD 的公垂线.（14 分）29.29. ABC 是边长为 2 的正三角形，在ABC 所在平面外有一点 P，PB=PC=7 2，PA=3 2，延长 BP 至 D，使BD=7，E 是 BC 的中点，求 AE 和 CD 所成角的大小和这两条直线间的距离.解析：解析：分别连接 PE
7、 和 CD，可证 PE/CD，（2 分）则 PEA 即是 AE 和 CD 所成角（4 分）在 RtPBE 中，PB=7 2，BE=1，PE=3 2。在AEP 中，AE=3，cosAEP39344 3232=1 2FBFE C BADACBDAEP=60，即 AE 和 CD 所成角是 60（7 分）AEBC，PEBC，PE/DC，CDBC，CE 为异面直线 AE 和 CD 的公垂线段，（12 分） 它们之间的距离为 1（14 分）30.30. 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N 分别是正方体的棱1,A AAB，BC，1,CC11,C D11D A的中点，试证：E，F，G
8、，H，M，N 六点共面解析：解析：EN/MF，EN 与 MF 共面，（2 分）又EF/MH，EF 和 MH 共面（4 分）不共线的三点 E，F，M 确定一个平面，（6 分）平面与重合，点 H。（8 分）同理点 G（10 分）故 E，F，G，H，M，N 六点共面31.31.三个互不重合的平面把空间分成六个部份时，它们的交线有（ ）A1 条B2 条C3 条D1 条 或 2 条D解析：解析：分类：1）当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，有两条交线； 2）当三个 平面交于一条直线时，有一条交线，故选 D3232两两相交的四条直线确定平面的个数最多的是（ ）A4 个B5 个C6 个D8 个解析：解析
9、：C 如四棱锥的四个侧面，2 46C 个。33.33.在空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上分别取 E、F、G、H 四点如果 EF 与 HG 交于点 M，则（ ）AM 一定在直线 AC 上BM 一定在直线 BD 上CM 可能在 AC 上，也可能在 BD 上DM 不在 AC 上，也不在 BD 上解析：解析：平面 ABC平面 ACD=AC，先证 M平面 ABC，M平面 ACD，从而 MACA 34.34. 用一个平面去截正方体。其截面是一个多边形，则这个多边形的边数最多是 .解析：解析：6 条35.35. 已知：./,aPQbPAbaba)12.(:分求证PQ本题主要考查用平面公
10、理和推论证明共面问题的方法.解析：解析：PQa,PQ 与a确定一个平面.,Pa点直线pbbp,QPQa重合与又Q36.36. 已知ABC三边所在直线分别与平面 交于P、Q、R三点，求证： P、Q、R三点共线。 （12 分）本题主要考查用平面公理和推论证明共线问题的方法解析：解析：A、B、C 是不在同一直线上的三点过 A、B、C 有一个平面又ABPAB且,Q.,lplP则设内内又在既在点 .,:三点共线同理可证RQPlRlQ37.37. 已知：平面,/,accAabba且平面求证：b、c 是异面直线解析：解析：反证法：若 b 与 c 不是异面直线，则 bc 或 b 与 c 相交.,)2(/,/.
11、/) 1 (是异面直线矛盾这与即又则相交于若矛盾这与若cbAbbABAAbaBBcbAbabacacbQ38.38. 在空间四边形 ABCD 中，AD=BC=2，E、F 分别是 AB、CD 的中点，EF=3，求 AD 与 BC所成角的大小（本题考查中位线法求异面二直线所成角）解析：解析：取 BD 中点 M，连结 EM、MF，则ooQ60,12021 2311 2cos, 3, 121/, 121,/222所成角的大小为异面直线由余弦定理得中在且且BCADEMFMFEMEFMFEMEMFEFMEFBCMFBCMFADEMADEM39.39. 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M、N 分
12、别为棱 AA1和 BB1的中点，求异面直线 CM 与 D1N 所成角的正弦值.(14 分)（本题考查平移法，补形法等求异面二直线所成角）解析：解析：取 DD1中点 G，连结 BG，MG，MB，GC 得矩形 MBCG，记 MCBG=0则 BG 和 MC 所成的角为异面直线 CM 与 D1N 所成的角.954sin91cos)()23(2222BOCBOCaBCaaACMAMC设正方体的棱长为Q而 CM 与 D1N 所成角的正弦值为 95440.40. 如图，P 是正角形 ABC 所在平面外一点，M、N 分别是 AB 和 PC 的中点，且 PA=PB=PC=AB=a。（1）求证：MN 是 AB 和 PC 的公垂线（2）求异面二直线 AB 和 PC 之间的距离解析：解析：（1）连结 AN，BN，APC 与BPC 是全等的正三角形，又 N 是 PC 的中点AN=BN又M 是 AB 的中点，MNAB同理可证 MNPC又MNAB=M，MNPC=NMN 是 AB 和 PC 的公垂线。（2）在等腰在角形 ANB 中，aABANMNaABaBNAN22)21(,2322Q即异面二直线 AB 和 PC 之间的距离为a22.
