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1、21.2.421.2.4 一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系( (第二课时第二课时) )导学探究导学探究 1一元二次方程的一般形式是_. 2. 一元二次方程的求根公式是_.3. 判别式与一元二次方程根的情况： 4. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有两个实数根x1，x2与系数 a,b,c 的关系是什么？典例探究典例探究1已知一元二次方程两根的关系求参数或参数的范围总结：已知一元二次方程两根 x1，x2 的不等关系求原方程中的字母参数时，一般考虑韦达定理和根的判别式，尤其是根的判别式不要忘记，这是保证方程有根的基本条件.练 1已知 x1，x2 是关于 x 的一元二次方程
2、 x2（2k+1）x+k2+2k=0 的两个实数根，且x1，x2 满足 x1x2x12x220，求 k 的取值范围.【例 2】（2015丹江口市一模）已知关于 x 的方程 x22（m+1）x+m23=0（1）当 m 取何值时，方程有两个实数根？（2）设 x1、x2是方程的两根，且（x1x2）2x1x2=26，求 m 的值总结：1. 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）根的情况与判别式的关系如下：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根24bac是一元二次方程20(0)axbxca的根的判别式，设2=4bac，则（1）当0时，_； （2）当
3、=0时，_ （3）当0时，原方程_.【例 1】已知关于 x 的方程2120,3xkx 设方程的两个根为 x1,x2，若12122()x x ,xx求 k 的取值范围.如果 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个实数根，则有1212,bcxxxxaa 这是著名的韦达定理.2. 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）两实数根 x1，x2又有如下关系：1212,bcxxxxaa ，所以已知关于 x1，x2 的关系等式可以求原方程中的字母参数.3. 注意使用1212,bcxxxxaa 的前提是原方程有根，所以必须保证判别式0.练 2（2015广水市模拟）已知 x1、x2是一元
4、二次方程 2x22x+m+1=0 的两个实数根（1）求实数 m 的取值范围；（2）如果 x1、x2满足不等式 7+4x1x2x12+x22，且 m 为负整数，求出 m 的值，并解出方程的根3根据一元二次方程求含两根的代数式的值总结：在应用一元二次方程的根与系数的关系解题时，先要把一元二次方程化为它的一般形式，以便确定各项的系数和常数的值.如果待求式中没有出现两根之和或两根之积的形式，注意适当变形.常见变形如下：练 3（2015合肥校级自主招生）已知：关于 x 的方程 x2+2xk=0 有两个不相等的实数根（1）求 k 的取值范围；夯实基础夯实基础一、选择题1.（2011 江苏南通，7，3 分）
5、已知 3 是关于x的方程x25xc0 的一个根，则这个方程的另一个根是【例 3】（2015大庆）已知实数 a，b 是方程 x2x1=0 的两根，求 + 的值 注意1212,bcxxxxaa 中两根之和、两根之积的符号，即和是 ，积是 ，不要记混.（1）222 121212(xx )2x xxx（2）22 121212()(xx )4x xxx（3）12121211xx xxx x（4）222 21121212121212(xx )2x xxxxx xxx xx x（5）1(x1)21 212（x +1）=x x +(x +x )+1（6）22 12121212(xx )(xx )4x xxx（
6、2）若 ， 是这个方程的两个实数根，求的值.2B. 2C. 5D. 6A1 B1 C1 或1 D 2 A5 B5 C1 D1二、填空题4（2015泸州）设 x1、x2是一元二次方程 x25x1=0 的两实数根，则 x12+x22的值为_5（2013 贵州省黔西南州）已知 x=1 是一元二次方程 x2+ax+b=0 的一个根，则代数式a2+b2+2ab 的值是 6.（2015日照）如果 m，n 是两个不相等的实数，且满足 m2m=3，n2n=3，那么代数式2n2mn+2m+2015=_三、解答题7（2015梅州）已知关于 x 的方程 x2+2x+a2=0（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数
7、 a 的取值范围；（2）当该方程的一个根为 1 时，求 a 的值及方程的另一根9（2015南充）已知关于 x 的一元二次方程（x1）（x4）=p2，p 为实数（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）p 为何值时，方程有整数解（直接写出三个，不需说明理由）10（2015华师一附中自主招生）已知 m，n 是方程 x2+3x+1=0 的两根11（2015孝感校级模拟）已知 x1，x2是一元二次方程（a6）x2+2ax+a=0 的两个实数根，是否存在实数 a，使x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出 a 的值；若不存在，请你说明2. （2011 湖北荆州，9，3 分）关于x的方程0) 1(2)
8、 13(2axaax有两个不相等的实根1x、2x，且有axxxx12211，则a的值是3.（2013 四川泸州）设12,x x是方程2330xx的两个实数根，则2112xx xx 的值为（ ）8. 已知，关于 x 的方程xmmxx2222的两个实数根1x、2x满足12xx，求实数m的值.（1）求（m+5） 的值（2）求+的值理由12（2014广东模拟）已知关于 x 的方程 x22（k1）x+k2=0 有两个实数根 x1、x2（1）求 k 的取值范围；（3）求（x11）（x21）的最小值13.（2010黄州区校级自主招生）已知方程 x22x+m+2=0 的两实根 x1，x2 满足|x1|+|x2
9、|3，试求 m 的取值范围求：（1）m 的值；（2）ABC 的面积典例探究答案：所以 k 为任意实数，方程都有两个不相等的实数根.综上，k 的取值范围是 k-1.点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系.注意：对于含参数的一元二次方程，已知两根关系求参数的范围时，除了用到韦达定理之外，还要考虑根的判别式.练 1【解析】根据根与系数的关系得出 x1+x2=2k+1，x1x2=k2+2k，变形后代入即可得出关于 k 的不等式，求出不等式的解集即可解：关于 x 的一元二次方程 x2（2k+1）x+k2+2k=0 有两个实数根 x1，x2，x1+x2=2k+1，x1x2=k2+2k，（2）求证：x1
10、+x2=2（k1），；14.（2015黄冈中学自主招生）已知关于 x 的方程（m21）x23（3m1）x+18=0 有两个正整数根（m 是正整数）ABC 的三边 a、b、c 满足，m2+a2m8a=0，m2+b2m8b=0【例 1】分析：先考虑判别式0，根据题意得2803k ，这说明 k 取任意实数，方程都有两个不相等的实数根，再利用根与系数的关系得 x1+x2=3k，x1x2=-6，代入12122()x xxx即可求得 k 的取值范围.解：根据题意，得22184( 2)033kk ，x1+x2=3k，x1x2=-6，且12122()x xxx，2 36k ，解得 k-1.x1x2x12x22
11、0 成立，x1x2（x12+x22）0，即 x1x2（x1+x2）22x1x20，k2+2k（2k+1）22（2k+1）0，点评：本题考查了根与系数的关系的应用，解此题的关键是能得出关于 k 的不等式【例 2】【解析】（1）根据一元二次方程根的判别式的意义得到 4（m+1）24（m23）0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得 x1+x2=2（m+1），x1x2=m23，代入（x1x2）2x1x2=26，计算即可求解解：（1）根据题意，得=4（m+1）24（m23）0，解得 m2；（2）当 m2 时，x1+x2=2（m+1），x1x2=m23则（x1x2）2x1x2=（x1+x2）25
12、x1x2=2（m+1）25（m23）=26，即 m28m+7=0，解得 m1=12，m2=72，所以 m1=1，m2=7点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式练 2【解析】（1）根据判别式的意义得到=（2）242（m1）0，然后解不等式；解：（1）根据题意得=（2）242（m1）0，7+4x1x2x12+x22，7+6x1x2（x1+x2）2，m 为负整数，m=2 或 m=1，k 或 k1.（2）先根据根与系数的关系得 x1+x2=1，x1x2=，把 7+4x1x2x12+x22变形得7+6x1x2（x1+x2）2，所以 7+61，解得 m3，于是得到 m 的取
13、值范围3m ，由于 m 为负整数，所以 m=2 或 m=1，然后把 m 的值分别代入原方程，再解方程解得 m ；（2）根据题意得 x1+x2=1，x1x2=，7+61，解得 m3，3m ，当 m=2 时，方程变形为 2x22x1=0，解得 x1=，x2=；当 m=1 时，方程变形为 x2x=0，解得 x1=1，x2=0点评：本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与=b24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当=0 时，方程有两个相等的两个实数根；当0 时，方程无实数根也考查了根与系数的关系解：实数 a，b 是方程 x2x1=0 的两根，a+b
14、=1，ab=1，练 3【解析】（1）由方程 x2+2xk=0 有两个不相等的实数根，可以求出0，由此可求出 k 的取值范围；解：（1）=4+4k，方程有两个不等实根，0，即 4+4k0k1（2）由根与系数关系可知 +=2，=k，点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法夯实基础答案：一、选择题1. B2. B3.【解析】由已知得 x1+x23，x1x23，则故选 B点评：本题着重考查一元二次方程根与系数关系的应用，同时也考查了代数式变形、求值的方法【例 3】【解析】根据根与系数的关系得到 a+b=1，ab=1，再利用完全平方公式变形得到+ =，然后利用整体代入的方法进行计算 + =3点评：本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x1+x2= ，x1x2= （2）欲求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可=，原式21212 212)( xxxxxx3)3(2)3(25二、填空题4【解析】首先根据根与系数的关系求出 x1+x2=5，x1x2=1，然后把 x1
