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1、2.1.1 指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算学习目标 1.理解根式的概念及分数指数幂的含义.2.会进行根式与分数指数幂的互化.3.掌握根式的运算性质和有理数指数幂的运算性质.知识点一 根式的定义1.n 次方根的定义一般地，如果 xna，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n1，且 nN*.2.n 次方根的性质(1)当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个负数.这时，a 的 n次方根用符号表示.na(2)当 n 是偶数时，正数的 n 次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数 a 的正的 n 次方根用符号表示，负的 n 次方根用符号表示.正的 n 次方
2、根与负的 n 次方根可以合并nana写成(a0).na(3)0 的任何次方根都是 0，记作0.n0(4)负数没有偶次方根.3.根式的定义式子叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数.na4.两个等式(1)()na(nN*).na(2)Error!nan知识点二 分数指数幂(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：(a0，m，nN*，且 n1).m nanam(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：(a0，m，nN*, 且 n1).mnanm a1(3)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义.思考 (1)分数指数幂能否理解为 个 a 相乘？m namn(2)在分数指数幂与根式的
3、互化公式中，为什么必须规定 a0?m nanam答 (1)不能.不可以理解为 个 a 相乘，事实上，它是根式的一种新写法.m namn(2)若 a0,0 的正分数指数幂恒等于 0，即0，无研究价值.namm na若 a0.知识点三 有理数指数幂的运算性质(1)arasars(a0，r，sQ)；(2)(ar)sars(a0，r，sQ)；(3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ).知识点四 无理数指数幂无理数指数幂 a(a0， 是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用.题型一 根式的运算例 1 求下列各式的值.(1)；(2)；(3)；323432838(4)，x
4、(3,3).x22x1x26x9解 (1)2.323(2).4324323(3)|3|3.838(4)原式|x1|x3|，x12x32当3x1 时，原式1x(x3)2x2.当 1x3 时，原式x1(x3)4.因此，原式Error!反思与感悟 1.解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值.2.开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论.跟踪训练 1 化简下列各式.(1)；(2)；(3).52541044ab4解 (1)2.525(2)|10|10.4104(3)|ab|Error!4ab4题型二
5、根式与分数指数幂的互化例 2 将下列根式化成分数指数幂形式.(1)； (2) ；3a4aa a a(3)； (4)()2.3a2a33aab3解 (1)a aa.3a4a31 41 127(2)原式aaa a.21 41 81 87(3)原式aaa.2 33 213 6(4)原式(a )2abab.31 213 27 63 2反思与感悟 在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：和，其中字母 a 要使式子有意义.m nanammnanm a11nam跟踪训练 2 用分数指数幂表示下列各式：(1) (a0)；3a6a(2) (a，b0)；3ab2 ab3(3)(b
6、0)；22433()b(4)(x0).13x5x22解 (1)原式a (a)31 61(a) (a)(a)(a0).31 61 21(2)原式323 23 2baab327 25 ba(a，b0).157 322()ab57 66a b(3)原式(b) (b0).2 1 2 3 4 3 b91(4)原式x (x0).31 54 311 xx531x3 5题型三 分数指数幂的运算例 3 (1)计算：0.0640(2)3160.75|0.01|；31(78)3421(2)化简： (a0).3329 aa3a73a13解 (1)原式(0.43)1(2)4(24)0.75(0.12)0.411 0.1
7、.31211161814380(2)原式1 913171 13()()3 2322323 aaaaa01.937 13 6 666 a反思与感悟 指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.跟踪训练 3 计算或化简：(1)(0.002)10(2)1()0；(338)2 321523(2).31133513222()()aaaa解 (1)原式(1)12 3(338)2 3(1500)211052(500)10(2)1(
8、278)2 321 5 1010201.49551679(2)原式133111 513322222()()() aaaa(a4)a2.15131 03222()()aaa21题型四 条件求值例 4 已知 aa3，求下列各式的值.21 21(1)aa1；(2)a2a2；(3).33 2211 22aaaa解 (1)将 aa3 两边平方，得 aa129，21 21即 aa17.(2)对(1)中的式子平方，得 a2a2249，即 a2a247.(3)33 2211 22aaaa1111 1222211 22() ()aaa+a+aaaaaa118.反思与感悟 1.条件求值是代数式求值中的常见题型，一
9、般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件，整体代入等，可以简化解题过程.本题若通过3(a0)解出 a 的值代入求值则非常复杂.11 22aa解决此类问题的一般步骤是：2.注意运用平方差公式、立方和公式、立方差公式对代数式进行变形，如：(1)ab(a)2(b)2(ab)(ab).21 21 21 21 21 21(2)ab(a )3(b )3(a b )(aa b b).31 31 31 312 331 312 3跟踪训练 4 已知 aa15(a0)，求下列各式的值：(1)a2a2；(2)aa；(3)a3a3.21 21解 (1)方法一 由 aa15 两边平方，
10、得 a22aa1a225，即 a2a223.方法二 a2a2a22aa1a22aa1(aa1)2225223.(2)(aa)2aa12523，21 21|aa|，aa.21 21321 213(3)a3a3(aa1)(a2aa1a2)(aa1)(a22aa1a23)(aa1)(aa1)235(253)110.因忽略对指数的讨论及被开方数的条件致误例 5 化简：(1a)(a1)2(a).21 21错解 原式(1a)(a1)1(a)(a).41 41正解 因为(a)存在，21所以a0，故 a11)的结果是( )12x2A.12x B.0C.2x1 D.(12x)2答案 C解析 2x1，12x0.|
11、12x|2x1.12x24.化简的结果是_.x3x答案 x5.已知 10m2,10n3，则 103mn_.答案 83解析 103mn .103m10n10m310n233831.掌握两个公式：(1)()na(nN*)；(2)n 为奇数且 nN*，a，n 为偶数且nanannN*，|a|Error!nan2.根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解.一、选择题1.下列等式一定成立的是( )A.a aa B.aa 0313 23131C.(am)n D.amanamnnma答案 D解
12、析 由指数运算的性质可知 D 正确.2.化简 的结果是( )3a aA.a B. C.a2 D.a3a答案 B解析 (aa) (a) a.3a a21 313 231 21 a3.化简(a22a2)(a2a2)的结果为( )A.1 B.1C. D.a21a21a21a21答案 C解析 (a22a2)(a2a2)(aa1)2(aa1)(aa1)aa1aa1a aa1 a aa1 .a21a214.若(12x) 有意义，则 x 的取值范围是( )34A.xR B.xR 且 x12C.x D.x1212答案 D解析 (12x)，12x0，431412x3得 x .125.化简(a，b0)的结果是(
13、)a3b23ab2ab43baA. B.ab C. D.a2bbaab答案 C解析 原式a3b2(ab2) (a1b2b a )13121313 .1121275 24 7(3)(2)3232333 333()aba babab6.已知 xx5，则的值为( )21 21x21xA.5 B.23 C.25 D.27答案 B解析 x xx1(xx)2252223.故选 B.x21x1x21 21二、填空题7.28_.214021211 502 3答案 232解析 原式12223.1212228.计算：()022(2 )_.1421答案 118解析 原式1 ( )1 .14942114321189.设 ， 是方程 5x210x10 的两个根，则 22_，(2)_.答案 21415解析 利用一元二次方程根与系数的关系，得 2， .15则 22222 ，(2)22 .145110.设 2x8y1，9y3x9，则 xy_.答案 27解析 由 2x8y1，得 2x23y3，所以 x3y3.由 9y3x9，得 32y3x9，所以 2yx9.由联立方程组，解得 x21，y6，所以 xy27.三、解答题11.计算下列各式的值：(1)(0.027) 256(2)310；31(614)213 422 3(2)736；333243194333(3)(a0，b0).861 5
