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1、前台后库前台后库 2008 年数列大题难易排序年数列大题难易排序数列是高考解答题必考的，看看 2008 年的各地高考试卷，数列占据着重要的位置，有多份试卷用数列作为试卷的压轴大题，算是“镇卷之宝”吧！总体看来，数列在高考试卷解答题中算是居后的位置，起着区分、选拔考生的功能.1.（江西卷 19） （本小题满分 12 分）数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等比数列，且，nanannS nb113,1ab数列是公比为 64 的等比数列，. nab2264b S （1）求；,nna b（2）求证.121113 4nSSSL解：解：（1）设的公差为，的公比为，则为正整数，nad nbqd，3(
2、1)nand1n nbq依题意有13 6 3 (1)22642(6)64nnnd ad nd abqqbqS bd q 由知为正有理数，故为的因子之一，(6)64d qqd61,2,3,6解得2,8dq故132(1)21,8nnnannb（2）35(21)(2)nSnn n L121111111 1 32 43 5(2)nSSSn nLL11111111(1)2324352nnL11113(1)22124nn 【说明说明】 只要静下心来做，相信一般的学生都可以做出来，考查了等差、等比数列的基础知识.第一问相比而言,比第二问还要复杂一些,求数列bn时拐了一道弯，但只要按步骤来，问题会迎刃而解.这
3、对占在三号位置的解答题来说，可以稳定学生的情绪.这也算是江西学生的幸运哦.2.（全国二 20） （本小题满分 12 分）设数列的前项和为已知， nannS1aa13nnnaS*nN（）设，求数列的通项公式；3nnnbS nb（）若，求的取值范围1nnaa*nNa解：解：（）依题意，即，113nnnnnSSaS123nnnSS由此得4 分1 132(3 )nn nnSS 因此，所求通项公式为，6 分13(3)2nn nnbSa*nN（）由知，13(3)2nn nSa*nN于是，当时，2n1nnnaSS1123(3) 23(3) 2nnnnaa，122 3(3)2nna12 14 3(3)2nn
4、nnaaa ，2 2321232n na g当时，2n21312302nnnaaag9a又2113aaa综上，所求的的取值范围是12 分a9，【说明说明】本题主要考查数列通项公式的求法、等比数列前 n 项和公式以及数列单调性的应用. 作为倒数第三题，在大题中算是占据了中等的地位，起到过渡的作用.比起其他试卷的数列解答题，算是容易题了.3.（四川卷 20） （本小题满分 12 分）设数列的前项和为，已知 nannS21n nnbabS（）证明：当时，是等比数列；2b 12nnan（）求的通项公式. na解：解：由题意知，且12a 21n nnbabS1 1121n nnbabS 两式相减得112
5、1n nnnb aaba即 12nnnaba（）当时，由知2b 122nnnaa于是11 2221 2nnn nnanan122nnan又，所以是首项为 1，公比为 2 的等比数列。1 11 210na 12nnan（）当时，由（）知，即2b 1122nn nan11 2nnan当时，由由得2b 11 11122222nnn nnababb 22n nbbab122n nb ab因此1 1112222nn nnab abb 2 1 2nbbb得121 122222nnnn ab bnb【说明说明】 这是第一道考查“会不会”的问题如若不会，对不起，请先绕道走对大多数考生 而言，此题是一道拦路虎可
6、能比压轴题还让人头痛原因是两个小题分别考到了两种重要的递 推方法递推数列中对递推方法的考查，有 30 年历史了，现在只是陈题翻新而已不过此题对 考生有不公平之嫌大中城市参加过竞赛培训的优生占便宜了解题有套方为高啊4.（山东卷 19) (本小题满分 12 分)将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： na1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a记表中的第一列数构成的数列为，为数列的前项1247aaaa L， nb111banS nbn和，且满足221(2)nnnnbnb SS（）证明数列成等差数列，并求数列的通项公式；1nS nb（）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到
7、右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数当时，求上表中第行所有项的和814 91a (3)k k解：解：（）证明：由已知，当时，又，2n221nnnnb b SS12nnSbbbL所以，1 2 12()1()nnnnnnSS SSSS112()1nnnnSS SS1111 2nnSS又所以数列是首项为 1，公差为的等差数列1111Sba1nS1 2由上可知，1111(1)22nnnS 2 1nSn所以当时，2n1222 1(1)nnnbSSnnn n 因此1122(1)nn bnn n ， ，（）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为，且q0q 因为，12 131212782L所以表中第 1
8、 行至第 12 行共含有数列的前 78 项，故在表中第 31 行第三列， na81a因此又，所以2 81134 91abq g132 13 14b 2q 记表中第行所有项的和为，(3)k kS则(1)2(1 2 )2(1 2 )(3)1(1)1 2(1)kk kkbqSkqk kk k g【说明说明】 此题改革了传统数列呈现形式，充分考查了考生采集和处理信息的能力，体现了新课程标准的理念.但其难度并不大.5.（天津卷 20） （本小题满分 12 分）在数列中，且（） na11a 22a 11(1)nnnaq aqa2,0nq（）设（） ，证明是等比数列；1nnnbaa*nN nb（）求数列的通
9、项公式；na（）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的3a6a9aq*nNna3na6na等差中项解：解：（）证明：由题设（） ，得11(1)nnnaq aqa2n ，即，11()nnnnaaq aa1nnbqb2n 又，所以是首项为 1，公比为的等比数列1211baa0q nbq（）解法：由（），211aa，32aaq， （） 2 1nnaaq2n 将以上各式相加，得（） 2 11n naaqqL2n 所以当时，2n 1 1,.1,1 11nnqqqanq 上式对显然成立1n （）解：由（） ，当时，显然不是与的等差中项，故1q 3a6a9a1q 由可得，由得， 3693aaaa
10、5228qqqq0q 3611qq 整理得，解得或（舍去） 于是3 23()20qq32q 31q 32q 另一方面，211 3 3(1)11nnnnnqqqaaqqq151 6 6(1)11nnnnnqqqaaqqq由可得，36nnnnaaaa*nN所以对任意的，是与的等差中项*nNna3na6na【说明说明】 本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式，n考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法6（辽宁卷 21） （本小题满分 12 分）在数列，中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列（|na|nb1nnnaba，11nnnbab，）n*N （）求
11、 a2，a3，a4及 b2，b3，b4，由此猜测an、bn的通项公式，并证明你的结论；（）证明：11221115 12nnababab解：解：（）由条件得2 1112nnnnnnbaaab b中由此可得2 分2233446912162025ababab中中中中中猜测4 分2(1)(1)nnan nbn中用数学归纳法证明：当 n=1 时，由上可得结论成立假设当 n=k 时，结论成立，即，2(1)(1)kkak kbk中那么当 n=k+1 时，2 222 1122(1)(1)(1)(2)(2)k kkkk kaabakk kkkbkb 中所以当 n=k+1 时，结论也成立由，可知对一切正整数都成立 7 分2(1)(1)nnan nb n中（）11115 612abn2 时，由（）知9 分(1)(21)2(1)nnabnnnn故112211111111 62 2 33 4(1)nnabababn n11 111111 62 23341nn11 11115 62 216412n综上，原不等式成立 12 分【说明说明】 本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力第一问中猜测an、bn的通项公式是问题的瓶颈，这一
