向量性质的思维延伸与拓展创新

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1、第 1 页 共 11 页向量性质的思维延伸与拓展创新内蒙古杭锦后旗奋斗中学 桂科 邮编：015400 指导老师：母进先作为新课程改革，高中数学教材显著的变化就是“向量”的引入，它将“数”与“形” 融于一体，具有代数形式和几何形式的双重身份，决定了它成为中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介。通过对向量性质的思维延伸，可使我们更为深刻的认识向量，理解向量，更为灵活的运用向量来解决数学中其他领域的问题，达到事半功倍的效果。本课题将从向量共线性质、向量“回路”的应用、以及性质等方面进行思维延伸，来梳理和佐证这一认知，以飨读者。cos,aeae一、摆脱范围限制，让向量共线性质得以延伸首先，我们回

2、顾一下有关向量共线的一些性质：当 ， 时，a1(,)xyb2(,)xy有 ， ，定比分点坐标公式：ab1210xy200在我们做有关向量的题型当中，总是局限于在向量的环境中求解有关向量问题，如已知向量 、 的坐标及大小，求 、 的夹角或已知 的坐标，证明其是否ab、 、abc共线等等，而不能够在数学的其他领域中灵活运用，这种对我们的思索过于局限、教条，使我们对数学中各领域知识与知识间产生了隔阂。如何才能将向量的共线性巧妙的运用到数学的其它领域中，解决疑难问题，使问题化繁为简、简化我们的运算量呢？我们可以思维延伸，根据向量共线的性质，巧妙的挖掘题目中的条件以及结论，把原来的某些图形向量化，或自行

3、构造向量共线的条件，然而利用向量的某些特定的性质，就可以使解题思路更加明确，避免诸如做辅助线等不容易掌握的技巧，从而解决问题，省时省力，而且还开拓我们的解题思维，使我们的解题效率大大提高。I构造共线条件，巧解等差数列例 1：（96 年高考）等差数列 的前 项和为 30，前 2 项和为 100，它的前 3namm和为（）m解：由题易知 ，1()2nSd对比直线 ，故点 共线ykxb23(,)(,)(,)mmmSSPP第 2 页 共 11 页即 ，所以 解得123P 3210mS3120mS评注：此题巧妙构造共线条件，利用向量共线时的定比分点坐标公式，解出此题，方法独特、新颖，使人的思维得以拓展，

4、创新。II利用共线条件，妙证三点共线例 2：（2001 年高考）若抛物线 的焦点为 ，经过焦点为 的直2(0)ypxFF线交抛物线于 两点，点 在抛物线的准线上，且 轴，证明直线 经过原AB、 C/BCxAC点 。O证明：设 ，22112(,)(,),(0)yyFp则 ，21212(,)(,)pFABy由 与 共线得 ，2121()()0y整理得 ，21yp又 ，且 ，12(,)(,)OACy211()0py所以 与 共线，即直线 经过原点 。BAO评注：本题通过证明 与 共线得到直线 经过原点 ，充分体现了平面向C量与解析几何知识的整合，是应用向量解决问题的一个重要方面，也是近几年高考命题的

5、一个热点和趋势。III求线段定比 的值例 3：已知平行四边形 一边 的中点为 ，一边 上有一点 ，且 分ABCDEADF的比为 ， 与 交于点 ，求 分 的比 的值。AD:mnFEKCFABC O xy第 3 页 共 11 页解：()112mBADBCAnnFEK12mBFABCn又 与 共线，所以有： 。BFK1122mn评注：在求定比时，运用向量共线的思想，利用向量共线的充要条件，便会很快解出问题答案，此方法新颖独特，构思巧妙，通俗易懂，同时也开阔了我们的思路与视眼。IV确定点的位置例 4：如图所示，在 中， 。 点是 边上靠近 点的ABC5,6ABCMAC一个三等分点，试问在线段 上是否

6、存在点 使得 ？MP解析：以 为原点， 所在直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系。x， ，所以 。5ABC6(0,)3,4(6,0)BA则 ，由于 点是 边上靠近 点(3,4)OC的一个三等分点，所以 ，于是 ，1(,)3M8(,)3M因此 上存在点 使得 ，则设BPB，且 ，即 ，P018(4,),)3所以 ，(6,),6C由于 ，所以 ，得 ，解得 ，由于BM0CPB8()03276，所以在线段 上不存在点 使得 。270,16PCBM评注：本题是存在性问题，若用一般的平面几何方法求解，将非常复杂，但利用PBMAyCxDBCFmnEK第 4 页 共 11 页共线向量，巧妙地将向量 的坐

7、标调出，从而得到 的坐标，然后根据垂直关系，BPCP利用数量积为零得到问题的答案。V：证明等式例 5：若 ，求证： 。22()()0xyabxyabxyab证明：所给条件即 ，若设 ，则2 (,)(,)ab，由于 ， （其中22,xyxy cos为向量 的夹角） ，所以 ，而式中等号成立的条件是、 22abxy，即 或 ，也就是向量 共线，这时有 。cos1 0 、 ab评注：从所给条件的特点出发，构造恰当的向量，利用向量共线的条件解决某些代数证明问题，思维独特，过程简单，充分体现了用向量解题的优越性。二、向量“回路”在空间中的妙用我们对向量“回路”很熟悉，即 ，但总认为abcd它形同摆设，没

8、有多大用处，只能用于进行简单的向量加法，很少有人能将其熟练应用于立体几何中。对于解决空间中有关距离、夹角或证明一些关系等问题时，我们一般情况都是通过添加辅助线、辅助体，或平移等方法进行求解。但这需要我们进行大量的思考，耗费时间与精力。很显然我们是局限了思维，没能将思维得以延伸拓展。如果我们稍加用心，将向量“回路” 左右平方，得到abcd，不就柳暗花明，打开另一番新的天地吗？222()()abcdcbcdb它与实数的性质相类似：若干个向量的和平方，等于这些向量的平方和加上每两个向量的数量积。运用它的好处是可以节省大量的思考时间，简单、便捷，能够让我们以最快的速度进行求解相关问题。1求空间直线夹角

9、：例 6：如右上图，四棱锥 中， 底面 ， ，底面PABCDPABCDP为直角梯形。 ， ， 。点 在棱 上，且ABCD/ 3EA。2PE求证：异面直线 与 所成的角。 BADECABCDabcd第 5 页 共 11 页 ACBe解： PBACDPB面又 D面,902,345360 603154ABPABPDCDCDA 在等腰直角三角形 中， 3,B2()APAP22CDCA代入数据，可得 9又 cosA1cos602CD所以，异面直线 与 所成的角为 。PA2练习：求空间两点距离如图所示，长方体 的棱长 ， ， ，求对1CBaAB|Db1|Ac角线 的长度.1AC3练习：证明空间直线垂直在四

10、面体 中，已知 ,用向量方法证明： 。BDDA, BC三、公式 的延伸与拓展创新|cos,aeae公式 作为空间向量的数量积的三条性质之一，在上新授课时我|们总认为：这条性质没有什么“本质上”的用处，没有其它两条性质用的广泛，有点像“房间里的摆设”配角。但在后来的学习和做题当中，我越发觉得它在数学前后知识的连贯中起着非常越重要的作用。教材概念的引入：已知向量 和轴 l， 是 l 上与 l 同方向的单位向量，作点 AaABeBC1 1D第 6 页 共 11 页在 l 上的射影 ，作点 B 在 l 上的射影 则 叫向量 在轴 l 上或在 方向上的ABABe正射影，简称射影。 可以证明得， （证明略

11、，图如右所示。ea,cos|）I思维延伸：利用 ，推导点到直线的距离公式cos,aeae如图所示，求 到已知直线 的距离。0(,)Pxy:0lAxByC分析：我们容易求得直线 的法向量 ，该方向上的单位向量 ，利用l(,)n ne用 可求得距离。cos,aeae解： ，其方向向量为 ，:0lAxByC(,)mBA令其法向量为 ，则有 ，(,1)nq0n代入数据得 ，即 (,)A法向量所在直线的单位向量 ，ne又 cos,QPePCAxBy即0022(,),)cs, yAxByndeQ 02AxByC思维拓展：如果在空间坐标系中，是否也有点到平面的距离公式，并可用向量推导呢？空间点到面的距离公式

12、：如图所示，求 到已知平面 的距离1(,)Pxy000:()()()AxByCz分析：根据点到直线距离的推导，我们很容易得平面 的法向量 ，该方向n,AB上的单位向量 ，利用 便可求得距离。encos,aeae解：平面 ，00:,()AxByCzDAxByCz lOyx0(,)Pxy(,)QyRn1(,)Pxyzn(,)Qxyz0P第 7 页 共 11 页其法向量为 n(,)ABC法向量所在直线的单位向量 en又 ， QPecos,QP ,den11112222(,)(,)AxByCzDABCxyzII思维延伸：利用 ，推导射影定理、正弦定理、余弦定理cos,aeae如图所示， ，记 轴方向上

13、单位向量为 ，我们将等式向 轴方向AByjy投影得： jCjjcs,cos,ACjCBj cos,os()ini2j Ab,csisiBjBa由整理得： siniab 1我们知道 就是正弦定理的一个部分。 1射影定理和余弦定理证明见。利用向量，既推导了定理，同时也揭示了三个定理间的内在联系。将延伸拓展后的二与三 ，有机的融合起来，便形成了本课题中最大的突破：思维的拓展与创新 “面积向量”的引入。四、思维拓展与创新：“面积向量”的定义与应用1 “面积向量”的定义从中我们可以看到，运用“线向量”可以很便捷的推导出数学平面中常用的一些结论，简单而且易懂。但它有一定的局限性，所以经我创新拓展后，引入了

14、“面AABACA xAAjba第 8 页 共 11 页积向量” （简称“面量” ）的概念。运用它，我们可以推导立体几何中面与面间面与面、面与角、面与体的一些关系，从而省去了大量的证明过程。线段的定义：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段；向量的定义：既有大小又有方向的量，即一条带有箭头的有向线段；根据线段与向量的定义，我们可以通过面积从而定义“面量”面积的定义：平面内物体表面或平面图形的大小叫做它们的面积；面量的定义：平面内有大小又有方向的物体表面或平面图形，即一个带有箭头的有向面积面量的方向：由面积内任意一点向面积的一侧进行发散的方向面量的大小：以平行四边形为例，定义： sin,Sabab2由于引入的“面量”没有具体的证明方法，所以我们将通过一些常理，间接的证明“面量”的正确性与存在性。已知长方体 ，按照常识我们知道 。ABCD ,ABDCADBCSS那么，运用“面量”能否说明这个常识呢？如果可以，那么便间接的证明了 “面量”的存在性与正确性。 DCBABADSS左右平方，得： 22DCCBADS222 2BABACBABDBCADSS长方体 每相