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1、湖南省湖南省 2008 年普通高等学校单独招生统一考试年普通高等学校单独招生统一考试数学试卷数学试卷时量 150 分钟，满分 150 分 参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么)()()(BPAPBAP如果事件 A、B 相互独立，那么)()()(BPAPBAP如果事件 A 在 1 次实验中发生的概率是 P，那么 n 次独立重复实验中恰好发生 k 次的概率knkk nnPPCkP)1 ()(球的表面积公式，体积公式，其中 R 表示球的半径24SR球3 34RV球得分评卷人 复评人一选择题（本大题共一选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分，在每小分，在每小 题
2、给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1函数(x1)的反函数为 y=,则等于 （ 2(x2x 1) 2ylog1( )fx1(2)f） A3B2C0D-22设集合，则集合的子集个数最多有（ xA(x,y) y2B(x,y) ya,aRABI） A1 个B2 个C3 个D4 个 3 从双曲线虚轴的一个端点看两个顶点的视角为直角，则双曲线的离心率为 （ ）A B2 C D1 22 224过 P（1，1）作圆的弦 AB，若，则 AB 的方程是（ 224xy1 2APBA uuu ruu u r）A y=x+1 B.y=x +2 C.y= -x+2 D.y=
3、 -x-2绝密5在展开式中，的系数是 （ 310(1x )(1x)5x） A B C297 D2072972526函数的单调递增区间是 （ y2sin(2x)3）A B5k,k1212(kz)511k,k1212(kz)C D k,k36(kz)2k,k63(kz)7若，则 b 的取值范围是 （ nnblim 1()11b ）AB CD1b2111b221b210b28设，则 y=的最小值为 （ 0x149 x1x） A24B25C26D1 9如图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，现在用四种颜色给 这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，
4、则有多少 种不同的涂色方法 （ ） A24 种 B72 种 C84 种 D120 种10平面的一条斜线 与平面交于点 P，Q 是 上一定点，过点ll Q 的动直线与 垂直，那么与平面交点的轨迹是 （ mlm ） A直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 抛物线（第 9 题图）得分评卷人 复评人二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分分 ，共，共 25 分，把答案分，把答案 填在答题卡中对应题号后的横线上）填在答题卡中对应题号后的横线上）11 .3(1i)( 2i) i 12不等式的解集为 11(sinx2)0x1x1g13设 M 是椭圆上的动点，和分别是椭圆的左
5、、右顶点，则22 143xy1A2A的12MAMAuuuu ruuuu r最小值等于 .14.设是定义在 R 上的奇函数，且，则 f(x)f(x3) f(x)1 gf( 1)2f(2008) 15将一个钢球置于由 6 根长度为m 的钢管焊接成的正四面体的钢架内，那么，这个钢2球的最大体积为 .3（m）三解答题三解答题(本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)得分评卷人 复评人16 （本小题满分 12 分）已知的外接圆的半径为,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，又向量ABC2，,且m(sinAs
6、inC,ba)u u r2n(sinAsinC,sinB)4rmnu u rr（I）求角 C; （II）求三角形 ABC 的面积 S 的最大值得分评卷人 复评人17 （本小题满分 12 分）湖南省某单位从 5 名男职工和 3 名女职工中任意选派 3 人参加省总工会组织的“迎奥运， 争奉献”演讲比赛 （I）求该单位所派 3 名选手都是男职工的概率; （II）求该单位男职工、女职工都有选手参加比赛的概率；（III）如果参加演讲比赛的每一位选手获奖的概率均为，则该单位至少有一名选手获1 3 奖的概率是多少？得分评卷人 复评人18. （本小题满分 12 分）把边长为 2 的正三角形 ABC 沿 BC
7、上的高 AD 折成直二面角，设折叠后 BC 的中点为 P. （I）求异面直线 AC，PD 所成的角的余弦值; （II）求二面角 CABD 的大小;（III）在 AB 上是否存在一点 S，使得？若存在，试确定 S 的位置，若不存AC 面PSD在，试说明理由.得分评卷人 复评人19 （本小题满分 12 分）设函数2f(x)x(xa)（I）证明： 是函数在区间上递减的必要而不充分的条件；a3f(x)(1,2)（II）若时，恒成立，且，求实数 a 的取值范围x0, a1 2f(x)2af(0)0得分评卷人 复评人20 （本小题满分 13 分）已知曲线 C 上的动点 M 到 y 轴的距离比到点 F（1，
8、0）的距离小 1. （I）求曲线 C 的方程;（II）过 F 作弦 PQ、RS，设 PQ、RS 的中点分别为 A、B，若，求最0PQ RSuuu ruu u rABuuu r小时，弦 PQ、RS 所在直线的方程;（III）是否存在一定点 T，使得？若存在，求出 P 的坐标，若不存在，AFTBFTuuu ruu ruuu r试说明理由.得分评卷人 复评人21 （本小题满分 14 分）数学社区提供已知曲线 C：，C 上的两点 A、的横坐标分别为 2 与，2f(x)3x1nAna (n1,2,3,)，数列满足（且，） 设区间1a4 nxn 1ntxf(x1)113t01t2t1，当时，曲线 C 上存
9、在点，使得点处的切线与nnnD1,a(a1)nxDnnnp (x ,f(x )np平行nAA（I）建立与的关系式；nxna（II）证明：是等比数列；n(x1) tlog1（III）当对一切恒成立时，求 t 的范围n 1DnDnN参考答案参考答案一一选择题（每小题选择题（每小题 5 分）分）题号题号12345678910答案答案ABDCDBCBCA二二填空题（每小题填空题（每小题 5 分）分）11 12。 13。-1 14。 15。3i 1x x 1 26三三解答题解答题2 分16.02sinsin) sinsin)()sin04mnm nACACbaBu rru r rQg解：(I )（且 2
10、R=，由正弦定理得：2 2222()()()0224 2acbbaRRR化简得： 4 分222cabab由余弦定理：2222coscababC12cos1cos520,63CCCC L LQL L分分22222()(2 sin)662()9IIababcRCababababab QL L当且仅当a=b时取“=“分11 分133sin3242SabCab所以，12 分max33,2SABC此时，为正三角形17解：（I）记事件 A=“该单位所派的选手都是男职工” 1 分则 P（A）= 3 分3 5 3 85 28C C（II）记事件 B=“该单位男职工、女职工选手参加比赛” 4 分则 P（B）=7
11、 分2112 5353 33 8845 56C CC C CC（III）设该单位至少有一名选手获奖的概率为 P，则3332111191233327PPPPL LL L12233 333（1）+（2）+（3）9分11=C （1-）C （1-）（）C （）分33或12 分32191327PP 03 3（0）=1-C （）18 （解法一） （I）取 AB 的中点为 Q，连接 PQ，则，所以，为 AC 与 BDPQACPDPQ所成角2 分ACDABDQ面面CDBD又 CD=BD=1，而 PQ=1，DQ=12 2PD4 分2222cos24PDPQOQDPQPD PQ（II）过 D 作，连接 CR，DR
12、ABACDABDQ面面CDABD 面CRAB6 分CRDCABD就是二面角的平面角在，Rt ADB中3 2DR ABAD BDDR8 分2 3tan3CDCRDDR9 分CABD2 3二面角的大小为arct an3（解法二） （I）如图，以 D 为坐标原点，DB、AD、DC 所在直线分别为 x,y,z 轴建立直角坐标系。则 A（） ，C（0，0，1） ，B（1，0，0） ，P（） ，D（0，0，0）0,3,011,0,22，2 分(0, 3,1)ACuuu r11( ,0, )22PD uuu r2cos,4AC DPAC DP AC DPuuu r uuu ruuu r uuu rguuu
13、r uuu r所以，异面直线 AC 与 BD 所成角的余弦值为4 分2 4（II）面 DAB 的一个法向量为5 分1(0,0,1)n u r设面 ABC 的一个法向量，则2( , , )nx y zu u r,取，7 分12030030n ACyzn ABxyu r uuu rgu u r uuu rg2(3,3,3)n u u r则8 分12 11221cos,7n nn n nu r u u ru r rgu r u u r9 分CABD21二面角的大小为arccos7（III）不存在。若存在 S 使得 AC，则，与（I）矛盾。故不存在12PSD 面ACPD分19解：（I）在区间上递减，其导函数1 分fQ （x）(1,2)22f (x)3x4axa4 分22(1)0430(2)081201323326faafaaaaaa 故是函数在区间上递减的必要而不充分的条件5 分a3f(x)(1,2)（II）2( )()f xx xaQ6 分af (
