2007年全国卷Ⅱ理科数学试卷和答案试题

2007 年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国卷Ⅱ)理科数学理科数学（必修（必修+选修选修ⅡⅡ））注意事项：注意事项： 1． 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 4 页，总分 150 分，考试时间 120 分钟． 2． 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定 的位置上． 3． 选择题的每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上． 4． 非选择题必须使用 0.5 毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹 清楚 5． 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域 或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效． 6． 考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．第第ⅠⅠ卷（选择题）卷（选择题）本卷共本卷共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的．合题目要求的． 参考公式：参考公式：如果事件互斥，那么 球的表面积公式AB，()( )( )P ABP AP B24πSR如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径AB，R球的体积公式()( )( )P A BP A P Bgg如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 Ap34π3VR次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示球的半径nAkR( )(1)(012)kkn k nnP kC ppkn ，，，… ，一、选择题一、选择题1．（ ）sin210 oA．B．C．D．3 23 21 21 22．函数的一个单调增区间是（ ）sinyxA．B．C．D．  ，3，，32，3．设复数满足，则（ ）z12iizz A．B．C．D．2i 2i 2i2i 4．下列四个数中最大的是（ ）A．B．C．D．2(ln2)ln(ln2)ln2ln25．在中，已知是边上一点，若，则（ ABC△DAB123ADDBCDCACBuuu ruuu r uuu ruu u ruu u r，）A．B．C．D．2 31 31 32 36．不等式的解集是（ ）2104x xA．B．C．D．( 21) ，(2)，( 21)(2)U，，(2)(1) U，，7．已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角111ABCABC1AB11ACC A的正弦值等于（ ）A．B．C．D．6 410 42 23 28．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）2 3ln4xyx1 2A．3B．2C．1D．1 29．把函数的图像按向量平移，得到的图像，则（ exy (2 3)，a( )yf x( )f x ）A．B．C．D．3e2x3e2x2e3x2e3x10．从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要 求星期五有 2 人参加，星期六、星期日各有 1 人参加，则不同的选派方法共有（ ） A．40 种B．60 种C．100 种D．120 种11．设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使12FF，2222xy abA且，则双曲线的离心率为（ ）1290F AFo 123AFAFA．B．C．D．5 210 215 2512．设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，F24yxABC，，FAFBFC 0uu u ruu u ruuu r则（ ）FAFBFCuu u ruu u ruuu rA．9B．6C．4D．3第第ⅡⅡ卷（非选择题）卷（非选择题）本卷共本卷共 10 题，共题，共 90 分分 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分．分．13．的展开式中常数项为 ． （用数字作答）8 21(12)xxx14．在某项测量中，测量结果服从正态分布．若在内取值的概2(1)(0)N，(01)，率为 0.4，则在内取值的概率为 ．(0 2)，15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 cm ．216．已知数列的通项，其前项和为，则 ．52nan nnS2limnnS n →三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17． （本小题满分 10 分）在中，已知内角，边．设内角，周长为．ABC△A2 3BC Bxy（1）求函数的解析式和定义域；( )yf x（2）求的最大值．y 18． （本小题满分 12 分） 从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取 1 件，假设事件：“取出的 2 件A产品中至多有 1 件是二等品”的概率．( )0.96P A （1）求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率；p（2）若该批产品共 100 件，从中任意抽取 2 件，表示取出的 2 件产品中二等品的件数，求的分布列．19． （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，SABCDABCD 侧棱底面分别为的中点．SD⊥ABCDEF，，ABSC， （1）证明平面；EF∥SAD （2）设，求二面角的大小．2SDDCAEFDAEBCFSD20． （本小题满分 12 分）在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．xOyO34xy（1）求圆的方程；O（2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求OxAB，PPAPOPB，，的取值范围．PA PBuu u r uu u rg21． （本小题满分 12 分）设数列的首项．{}na1 13(01)2 3 42n naaan，，，，，，…（1）求的通项公式；{}na（2）设，证明，其中为正整数．32nnnbaa1nnbbn22． （本小题满分 12 分）已知函数．3( )f xxx（1）求曲线在点处的切线方程；( )yf x(( ))M tf t，（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．0a ()ab，( )yf x( )abf a 2007 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（必修理科数学试题（必修+选修选修ⅡⅡ）参考答案）参考答案评分说明：评分说明： 1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的 主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则． 2． 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内 容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分 数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3． 解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4． 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题一、选择题 1．D2．C3．C4．D5．A6．C 7．A8．A9．C10．B11．B12．B 二、填空题二、填空题13．14．15．16．420.824 25 2三、解答题三、解答题17．解：（1）的内角和，由ABC△ABC 得．00ABC，，20B 应用正弦定理，知，2 3sinsin4sinsinsinBCACBxxA ．2sin4sinsinBCABCxA因为，yABBCAC所以，224sin4sin2 3 03yxxx（2）因为14 sincossin2 32yxxx，54 3sin2 3xx所以，当，即时，取得最大值．xxy6 318．解：（1）记表示事件“取出的 2 件产品中无二等品” ，0A表示事件“取出的 2 件产品中恰有 1 件二等品” ．1A则互斥，且，故01AA，01AAA01( )()P AP AA0121 22()()(1)C(1)1P AP Apppp 于是．20.961p 解得（舍去） ．120.20.2pp ，（2）的可能取值为．012，，若该批产品共 100 件，由（1）知其二等品有件，故100 0.220．2 80 2 100C316(0)C495P．11 8020 2 100C C160(1)C495P．2 20 2 100C19(2)C495P所以的分布列为012P316 495160 49519 495 19．解法一：（1）作交于点，则为的中点．FGDC∥SDGGSD连结，又，1 2AGFGCD∥，CDAB∥故为平行四边形．FGAEAEFG∥，，又平面平面．EFAG∥AG SADEF ，SAD所以平面．EF∥SAD （2）不妨设，则为等2DC 42SDDGADG，，△ 腰直角三角形．AEBCFSDHGM取中点，连结，则．AGHDHDHAG⊥又平面，所以，而，AB⊥SADABDH⊥ABAGAI所以面．DH ⊥AEF 取中点，连结，则．EFMMHHMEF⊥ 连结，则．DMDMEF⊥ 故为二面角的平面角DMHAEFD．2tan21DHDMHHM所以二面角的大小为．AEFDarctan2解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系．Dxyz设，则( 0 0)(0 0)A aSb，，，，，(0)(00)B aaCa，，，，，，，0022 2aa bE aF，，，，，．02bEFa uuu r，，取的中点，则．SD0 02bG，，02bAGa uuu r，，平面平面，EFAGEFAGAGuuu ruuu r，∥，SADEF ，SAD所以平面．EF∥SAD（2）不妨设，则．(10 0)A ，，11(110)(010)(0 0 2)100122BCSEF，，，，，，，，，，，，，，中点EF1 1 1111( 101)02 2 2222MMDEFMD EFMDEF  uuu u ruuu ruuu u r uuu rg，，，，，，，，，，⊥又，，1002EAuu u r，，0EA EFEAEFuu u r uuu rg，⊥所以向量和的夹角等于二面角的平面角．MDuuu u rEAuu u rAEFD．3cos3MD EAMD EA MD EAuuu u r uu u ruuu u r uu u rguuu u r uu u rg，所以二面角的大小为．AEFD3arccos3AAEBCFSDGMyzx20．解：（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，OrO34xy即．421 3r 得圆的方程为．O224xy（2）不妨设．由即得1212(0)(0)A xB xxx，，，，24x ．( 2 0)(2 0)AB ，，，设，由成等比数列，得()P xy，PAPOPB，，，222222(2)(2)xyxyxyg即．222xy( 2) (2)PA PBxyxy  uu u r uu u rgg，，22242(1。