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1、2.10 函数的最值知识梳理求函数最值的常用方法有：（1）配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值；（2）判别式法：若函数y=f（x）可以化成一个系数含有y 的关于 x 的二次方程 a（y）x2+ b（y）x+c（y）=0，则在 a（y）0 时，由于 x、y 为实数，故必须有=b2（y）4a（y）c（y）0，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的 x 值.（3）不等式法：利用平均值不等式取等号的条件确定函数的最值.（4）换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.（5）数
2、形结合法：利用函数图象或几何方法求出函数的最值.（6）函数的单调性法.点击双基1.函数 f（x）=的最大值是)1 (11 xxA. B. C. D.54 45 43 34解析：1x（1x）=1x+x2=（x ）2+ ，21 43 43f（x）= ，f（x）max= .)1 (11 xx34 34答案：D2.若 x2+y2=1，则 3x4y 的最大值为A.3B.4C.5D.6解析：x2+y2=1，可设 x=cos，y=sin.3x4y=3cos4sin=5sin（+ ）5.答案：C3.函数 y=x（x0）的最大值为_.x答案：414.设 x0，y0 且 3x+2y=12，则 xy 的最大值是_.
3、解析：x0，y0，3x2y（）262xy6（当且仅当 3x2y 时等号成223yx 立）.答案：65.函数 y=|x1|+|x3|的最小值是_.解析：在数轴上，设 1、3、x 对应的点分别是A、B、P，y=|x1|+|x3|=|PA|+|PB|AB|=2.答案：2典例剖析【例 1】 （2004 年上海，18）某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为 x、y（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为 8 m2，问 x、y 分别为多少时用料最省？（精确到 0.001 m）x y解：由题意得 xy+ x =8，21 2xy= （0x4）.xx 482 x8 4x2
4、于是，框架用料长度为L=2x+2y+2（）=（ +）x+2=4.22x 232x16)223(16246 当且仅当（ +）x=，即 x=84时，等号成立.232x1622342此时，x2.343，y=22.828.2故当 x 为 2.343 m，y 为 2.828 m 时，用料最省.【例 2】 设 f（t）= ),4020(41),200(1121N NN Nttttttg（t）= t+（0t40，tN*）.31 343求 S=f（t）g（t）的最大值.解：当 0t20 时，S=（ t+11）（ t+）= （t+22）21 31 343 61（t43）.=10.5，又 tN，t=10 或 11
5、 时，Smax=176.22243当 20t40 时，S=（t+41） （ t+）= （t41）31 343 31（t43）.t=20 时，Smax=161.综上所述，S 的最大值是 176.【例 3】 设 0a1，x 和 y 满足 logax3logxalogxy3，如果 y 有最大值，求这时 a 和 x 的值.42解：原式可化为logax3，即xalog3 xyaa logloglogayloga2x3logax3（logax ）2 ，知当 logax 时，23 43 23logay 有最小值 .430a1，此时 y 有最大值 a .43根据题意有 a a .这时 xa （ ） .4342
6、4123412381评述：本题是已知函数的最值，求函数式中的字母参数的值.这类问题，也是常见题型之一.深化拓展已知 f（x）=2+log3x（1x9） ，求函数 g（x）=f（x） 2+f（x2）的最大值与最小值.解：由 f（x）的定义域为1，9可得 g（x）的定义域为1，3.又 g（x）=（2+log3x）2+（2+log3x2）=（log3x+3）23，1x3，0log3x1.当 x=1 时，g（x）有最小值 6；当 x=3 时，g（x）有最大值 13.答案：当 x=1 时，g（x）有最小值 6；当 x=3 时，g（x）有最大值 13.闯关训练夯实基础夯实基础1.若奇函数 f（x）在a，b
7、上是增函数，且最小值是 1，则f（x）在b，a上是 A.增函数且最小值是1B.增函数且最大值是1C.减函数且最小值是1D.减函数且最大值是1解析：f（a）=1，f（a）=1.答案：B2.将长度为 1 的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形.要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为_.解析：设正方形周长为 x，则圆的周长为 1x，半径 r=.21xS正=（ ）2=，S圆=.4x 162x224)1 (xS正+S圆=（0x1）.16484)(2xx当 x=时有最小值.44 答案：44 3.设函数 f（x）的定义域为R，若存在常数M0，使|f（x）|M|x|对一切实数 x 均成立，则称
8、f（x）为 F 函数.给出下列函数：f（x）=0；f（x）=x2；f（x）=（sinx+cosx） ；f（x）2=；f（x）是定义在 R 上的奇函数，且满足对一切实数12 xxxx1、x2，均有|f（x1）f（x2）|2|x1x2|.其中是 F 函数的序号为_.答案：4.函数 y=（x0）的值域是_.xx 213 解析：由 y=（x0） ，得 x=0.xx 213 123 yy y3.21答案：（ ，3215.求函数 y=|x|的最值.21x解：三角代换.设 x=cos，0， ，2（f（x）是偶函数，不必取0， ）则y= sin2.ymax= ，ymin=0.21 21培养能力培养能力6.设函
9、数 f（x）=x2+x+ 的定义域是n，n+1 （nN） ，问21f（x）的值域中有多少个整数？解：f（x）=（x+ ）2+ 的图象是以（ ， ）为顶点，开21 41 21 41口向上的抛物线，而自然数 n ，f（x）的值域是f（n） ，21f（n+1） ，即n2+n+ ，n2+3n+ .其中最小的整数是 n2+n+1，最21 25大的整数是 n2+3n+2，共有（n2+3n+2）（n2+n+1）+1=2n+2 个整数.7.已知函数 g（x）=lga（a+1）x2（3a+1）x+3的值域是R，求实数 a 的取值范围.解：由题意知，应使 h（x）=a（a+1）x2（3a+1）x+3 能取到一切正
10、实数.a=0 时，h（x）=x+3，显然能取到一切正实数；a=1 时，h（x）=2x+3，也能取到一切正实数；a0 且 a1 时，h（x）=a（a+1）x2（3a+1）x+3 是二次函数，必须有 . 0) 1(12) 13(, 0) 1(2aaaaa解得a1 或 0a.3323 3323综上所述，a 的取值范围是，10，.3323 3323探究创新探究创新8.已知函数 f（x）=x（1x2） ，xR.（1）当 x0 时，求 f（x）的最大值；（2）当 x0 时，指出 f（x）的单调性，并用定义证明；（3）试作出函数 f（x） （xR）的简图.x y O11-1解：（1）x0，欲求 f（x）的最
11、大值，必有 1x20，y2=x2（1x2）2= 2x2（1x2） （1x2） 21 213=，3)1 ()1 (2222xxx 274y=. 332 932当且仅当 2x2=1x2，即 x=时，取“=” ，即 f（x）33max=f（）=.33 932（2）由（1）知，当 x（0，时，f（x）单调递增，33x，+）时，f（x）单调递减.33设 x2x10，则f（x2）f（x1）=x23+x2（x13+x1）=（x2x1）（x2x1） （x22+x1x2+x12）=（x2x1） 1（x22+x1x2+x12） .当 0x1x2时，x2x10，1（x22+x1x2+x12）330.f（x2）f（x
12、1）.f（x）在（0，上递增.33当x1x2时，x2x10，1（x22+x1x2+x12）330，f（x2）f（x1）.f（x）在，+）上递减.33（3）注：图象过点（1，0） 、 （0，0） 、 （1，0） ，关于原点对称.x y O1 -13 3评述：第（1）题也可用导数解决.（x）=13x2，f 令（x）=0，x=.f 33又 x0，x=.33通过检验单调性知，当 x=时，f（x）取得最大值，其最大值33为，以下解法同上.932思悟小结1.求函数的最值与求函数的值域是同一类问题，都必须熟练掌握本文开头列出的六种方法.2.利用判别式法及不等式法求最值时，都需检验等号能否取到.另外，利用判别
13、式法解决问题时，一定要考虑二次项系数可否为零.当二次项系数为零时，不能用判别式法解决问题.教师下载中心教学点睛教学点睛利用导数先求极大值和极小值，然后确定最值，也是求函数最值的常用方法.复习本节时应适当渗透导数的有关知识.拓展题例拓展题例【例 1】 已知二次函数 y=f（x）的最大值等于 13，且 f（3）=f（1）=5，求 f（x）的解析式.解：f（3）=f（1） ，抛物线 y=f（x）有对称轴 x=1.故可设 f（x）=a（x1）2+13，将点（3，5）代入，求得 a=2.f（x）=2（x1）2+13=2x2+4x+11.【例 2】 已知函数 f（x）的定义域为 R，且对一切 xR，都有
14、f（x+2）=f（2x） ，f（x+7）=f（7x）.（1）若 f（5）=9，求 f（5）的值；（2）已知 x2，7时，f（x）=（x2）2，求当x16，20时，函数 g（x）=2xf（x）的表达式，并求出g（x）的最大值和最小值.解：（1）由 f（x+2）=f（2x） ，f（x+7）=f（7x）可以发现函数 f（x）的图象关于直线 x=2，x=7 对称，且 f（x）=f（x2）+2=f2（x2） =f（4x）=f7（3+x） = f7+（3+x） =f（10+x）.f（x）是以 10 为周期的周期函数.f（5）=f（5+10）=f（5）=9.（2）根据周期性、图象的对称性，结合图象可得到 f（x）=22)22()12(xx .20,17(,17,16 xxg（x）= 22)22(2)12(2xxxx .20,17(,17,16 xxx16，17时，g（x）的最大值为 16，最小值为9；x（17，20时，g（x）g（17）=9，g（x）的最大值为g（20）=36，g（x） max=36， g（x） min=9.
