《二重积分和三重积分的对称性及奇偶性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二重积分和三重积分的对称性及奇偶性（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、利用对称性和奇偶性利用对称性和奇偶性 化简二重积分的计算化简二重积分的计算 利用被积函数的奇偶性利用被积函数的奇偶性 常常使二重积分的计算简化许多常常使二重积分的计算简化许多, , 避免出现繁琐避免出现繁琐 的计算的计算. . 但在使用该方法时但在使用该方法时, , 要同时兼顾到被积函要同时兼顾到被积函 数数 ),(yxf的奇偶性的奇偶性 面面, , 常用结论如下常用结论如下: : (1) 如果区域如果区域 D关于关于 y轴对称轴对称, , 则有则有 )(a当当 时时 ),(),(yxfyxf=),),(Dyx ; 0),(= = dxdyyxfDD的对称性的对称性, , 及积分区域及积分区域
2、 D的对称性两方的对称性两方 和积分区域和积分区域 )(b当当 时时 ),(),(yxfyxf=),),(Dyx ,),(2),(1dxdyyxfdxdyyxfDD= =其中其中 ).0,),( | ),(1=xDyxyxD(2) 如果区域如果区域 D关于关于 x轴对称轴对称, , 则有则有 dxdyyxfD ),(,),(),(,),(2),(),(, 02 = = = = yxfyxfdxdyyxfyxfyxfD,),(),(,),(2),(),(, 02 = = = = yxfyxfdxdyyxfyxfyxfD 其中其中 ).0,),( | ),(2=yDyxyxD(3) 如果如果 D关
3、于原点对称关于原点对称, , 则则 dxdyyxfD ),(,),(),(,),(2),(),(, 03 = = = = yxfyxfdxdyyxfyxfyxfD 其中其中 3DD是是 被过原点的直线切割的一半被过原点的直线切割的一半. . ,),(),(,),(2),(),(, 03 = = = = yxfyxfdxdyyxfyxfyxfD 其中其中 3DD是是 被过原点的直线切割的一半被过原点的直线切割的一半. . ,),(),(,),(2),(),(, 03 = = = = yxfyxfdxdyyxfyxfyxfD 其中其中 3DD是是 被过原点的直线切割的一半被过原点的直线切割的一半.
4、 . 则则 (4) 如果如果 D对称对称, , 关于关于 xy = =.),(),(dxdyxyfdxdyyxfDD= =完完 补充：利用对称性化简三重积分计算补充：利用对称性化简三重积分计算 使用对称性时应注意：使用对称性时应注意： 、积分区域关于坐标面的对称性；、积分区域关于坐标面的对称性； 、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴 的的 一般地， 当积分区域一般地， 当积分区域 关于关于xoy平面对称， 且被平面对称， 且被 积函数积函数),(zyxf是关于是关于z的奇函数，则三重积分为的奇函数，则三重积分为 零， 若被积函数零， 若被积函数),(zy
5、xf是关于是关于z的偶函数， 则三重的偶函数， 则三重 积分为积分为 在在xoy平面上方的半个闭区域的平面上方的半个闭区域的三重积分三重积分 的两倍的两倍. 奇偶性奇偶性 补充：利用对称性化简三重积分计算补充：利用对称性化简三重积分计算 使用对称性时应注意：使用对称性时应注意： 、积分区域关于坐标面的对称性；、积分区域关于坐标面的对称性； 、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴 的的 一般地，当积分区域一般地，当积分区域 关于关于yoz平面对称，且平面对称，且 被积函数被积函数),(zyxf是关于是关于x的奇函数，则三重积分的奇函数，则三重积分 为零，若被
6、积函数为零，若被积函数),(zyxf是关于是关于x的偶函数，则的偶函数，则 三重积分为三重积分为 在在yoz平面上方的半个闭区域的平面上方的半个闭区域的三重三重 积分的两倍积分的两倍. 奇偶性奇偶性 补充：利用对称性化简三重积分计算补充：利用对称性化简三重积分计算 使用对称性时应注意：使用对称性时应注意： 、积分区域关于坐标面的对称性；、积分区域关于坐标面的对称性； 、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴 的的 一般地，当积分区域一般地，当积分区域 关于关于xoz平面对称，且平面对称，且 被积函数被积函数),(zyxf是关于是关于y的奇函数，则三重积分的奇
7、函数，则三重积分 为零，若被积函数为零，若被积函数),(zyxf是关于是关于y的偶函数，则的偶函数，则 三重积分为三重积分为 在在xoz平面上方的半个闭区域的平面上方的半个闭区域的三重三重 积分的两倍积分的两倍. 奇偶性奇偶性 （1） 柱面坐标的体积元素柱面坐标的体积元素 dzrdrddxdydz=（2） 球面坐标的体积元素球面坐标的体积元素 ddrdrdxdydzsin2= =（3） 对称性简化运算对称性简化运算 三重积分换元法三重积分换元法 柱面坐标柱面坐标 球面坐标球面坐标 三、小结三、小结 思考题思考题 则上的连续函数为面对称的有界闭区域，中关于为若则上的连续函数为面对称的有界闭区域，中关于为若,),(3zyxfxyR = = ; 0),(,_),(dvzyxfzyxf为奇函数时关于当为奇函数时关于当 = =1),(_),(,_),(dvzyxfdvzyxfzyxf为偶函数时关于当为偶函数时关于当.1面上方的部分在为其中面上方的部分在为其中xyz z 2
