1977年全国各地普通高等学校招生考试数学试题及答案

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1、1977 年全国各地普通高等学校招生考试数学试题及答案北京市高考数学试卷（文科） 一、解答题（共 10 小题，满分 100 分）1 （10 分）计算：2 （10 分）化简：3 （10 分）解方程：4 （10 分）不查表求 sin105的值 5 （10 分）一个正三棱柱形的零件，它的高是 10cm，底面边长是 2cm，求它 的体积6 （10 分）一条直线过点（1，3） ，并且与直线 2x+y5=0 平行，求这条直线的方程 7 （10 分）证明：等腰三角形两腰上的高相等 8 （10 分）为了测湖岸边 A、B 两点的距离，选择一点 C，测得 CA=50 米， CB=30 米，ACB=120，求 AB

2、 9 （10 分）在 2 和 30 中间插入两个正数，这两个正数插入后使前三个数成等 比数列，后三个数成等差数列，求插入的两个正数？10 （10 分）已知二次函数 y=x26x+5（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程； （2）画出它的图象； （3）分别求出它的图象和 x 轴、y 轴的交点坐标1977 年北京市高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析一、解答题（共 10 小题，满分 100 分）1 （10 分）计算：考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算 专题：计算题分析：由分数指数幂的运算法则，把原式转化为 1+ ，由此能求出的值解答：解：原式=1+ =1+=0点评：本题考查分数指数幂的

3、运算法则，解题时要认真审题，仔细求解2 （10 分）化简：考点：方根与根式及根式的化简运算 分析：分子分母同乘以，整理可得 解答：解：原式= 点评：本题考查分母或分子有理化3 （10 分）解方程：考点：函数与方程的综合运用 专题：计算题分析：先对等式两边同乘 x21 进行化简，然后解方程即可解答：解：根据题意可知 x1等式两边同乘 x21 得，x+1+x21=4x2化简得 x23x+2=0，解得 x=2原方程的解为 x=2 点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及解方程等知识，属于基础 题 4 （10 分）不查表求 sin105的值 考点：两角和与差的正弦函数 专题：综合题分析：把 10

4、5变为 18075，然后利用诱导公式化简，把 75变为 30+45，利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简即可得到值解答：解：sin105=sin（18075）=sin75=sin（30+45）=sin30cos45+cos30sin45= +=点评：此题考查学生灵活运用诱导公式、两角和的正弦函数公式及特殊角的三 角函数值化简求值，是一道基础题 5 （10 分）一个正三棱柱形的零件，它的高是 10cm，底面边长是 2cm，求它 的体积 考点：棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：计算题分析：因为正三棱柱形的底面积由正弦定理的推论可求得，为 S= 22sin60，已知高 h=10，由体积公式即

5、可求得解答：解：正三棱柱形的底面积为 S= 22sin60，高 h=10，由柱体的体积公式得，体积 V=sh= 22sin6010=（cm3） 点评：本题考查了柱体的体积公式的应用是简单的计算题6 （10 分）一条直线过点（1，3） ，并且与直线 2x+y5=0 平行，求这条直线的方程 考点：直线的一般式方程与直线的平行关系 专题：计算题分析：先求与直线 2x+y5=0 平行的直线的斜率，再根据其过点（1，3） ，用点斜式求直线方程解答：解：直线 2x+y5=0 的斜率 k=2，所求直线斜率 k=2故过点（1，3）且与已知直线平行的直线为y+3=2（x1） ，即 2x+y+1=0 点评：本题考

6、查直线的平行关系，直线的点斜式方程，是基础题 7 （10 分）证明：等腰三角形两腰上的高相等 考点：三角形中的几何计算 专题：证明题 分析：由题意画出图形，利用等腰三角形的定和条件找到三角形全等即可求 证 解答：zm：如图，在BDC 与CEB 中，DBC=ECB，BDC=CEB=90，BC=BC，BDCCEB， CD=BE 点评：此题考查了等腰三角形的定义，三角形全等的判定定理及性质定理 8 （10 分）为了测湖岸边 A、B 两点的距离，选择一点 C，测得 CA=50 米， CB=30 米，ACB=120，求 AB 考点：余弦定理；解三角形的实际应用 专题：计算题 分析：利用余弦定理把 CA=

7、50 米，CB=30 米，ACB=120代入即可求得答案 解答：解：由余弦定理可得 AB=AC2+BC22ACBCcos，ACB=70 米点评：本题主要考查了余弦定理的应用属基础题9 （10 分）在 2 和 30 中间插入两个正数，这两个正数插入后使前三个数成等 比数列，后三个数成等差数列，求插入的两个正数？ 考点：等比数列的性质；等差数列的性质 专题：计算题 分析：依题意设出此数列，进而根据等比中项的性质和等差中项的性质联立方 程组求得 x 和 y，则插入的两个数可求 解答：解：设此数列为 2，x，y，30于是有解得 x=6，y=18 故插入的两个正数为 6，18， 因此，所成的数列为 2、

8、6、18、30 点评：本题主要考查等比数列的性质考查了考生分析问题和解决问题的能力10 （10 分）已知二次函数 y=x26x+5（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程； （2）画出它的图象； （3）分别求出它的图象和 x 轴、y 轴的交点坐标考点：二次函数的图象 专题：作图题；综合题 分析：（1）根据二次函数的顶点坐标公式和对称轴公式分别求出即可； （2）根据列表、描点、连线的步骤画出函数图象即可； （3）令 x=0 求出对应的 y 值，写出坐标为与函数图象 y 轴的交点， 令 y=0 求出对应的 x 值，写出坐标为函数图象与 x 轴的交点 解答：解：（1）a=1，b=6，c=5=3，=1

9、顶点坐标为（3，1） ，对称轴为直线 x=3（2）如图列表（描点略）（3）图象与 x 轴相交，y=0 即 x26x+5=0 解得 x1=1，x2=5，所以与x 轴交点的坐标为（1，0） （5，0） ； 图象与 y 轴相交，x=0 解得 y=5，所以与 y 轴交点的坐标为（0，5） 点评：考查学生掌握二次函数的顶点和对称轴公式，会利用描点法画函数的图象，会求函数图象与 坐标轴的交点坐标北京市高考数学试卷（理科）一、解答题（共 12 小题，满分 120 分）1 （10 分）解方程2 （10 分）计算：3 （10 分）已知 lg2=0.3010，lg3=0.4771，求 lg4 （10 分）证明：5

10、 （10 分）求过两直线 x+y7=0 和 3xy1=0 的交点且过（1，1）点的直线方程 6 （10 分）某工厂今年七月份的产值为 100 万元，以后每月产值比上月增加 20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？7 （10 分）已知二次函数 y=x26x+5（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程； （2）画出它的图象； （3）分别求出它的图象和 x 轴、y 轴的交点坐标8 （10 分）一只船以 20 海里/小时的速度向正东航行，起初船在 A 处看见一灯 塔 B 在船的北 45东方向，一小时后船在 C 处看见这个灯塔在船的北 15东方 向，求这时船和灯塔的距离 CB9 （10 分）有一个圆内

11、接三角形 ABC，A 的平分线交 BC 于 D，交外接圆于 E，求证：ADAE=ACAB10 （10 分）当 m 取哪些值时，直线 y=x+m 与椭圆有一个交点？有两个交点？没有交点？当它们有一个交点时，画出它的图象11 （10 分）求函数 f（x）=的导数12 （10 分） （1）试用 语言叙述“函数 f（x）在点 x=x0处连续的定义；（2）试证明：若 f（x）在点 x=x0处连续，且 f（x0）0，则存在一个 x0的（x0，x0+） ，在这个邻域内，处处有 f（x）0北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、解答题（共 12 小题，满分 120 分）1 （10 分）解方程考点：方根

12、与根式及根式的化简运算 专题：计算题 分析：先要保证方程有意义即 x10，3x0，再将方程两边平方，解不等式组求出 x 的值即为方程的解 解答：解：原方程同解于，解得 x=2 故方程的解为 x=2 点评：本题考查解无理方程常采用将方程平方去掉根号，但要注意使原方程有意义2 （10 分）计算：考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算 分析：由题意根据根式与分数指数幂的运算法则进行计算 解答：解：原式=+1= 点评：此题主要考查根式分母的有理化和分数指数幂的化简，比较简单 3 （10 分）已知 lg2=0.3010，lg3=0.4771，求 lg 考点：对数的运算性质 专题：计算题 分析：利用对数

13、的运算法则，将欲求 lg的式子转化成条件中的式子： “lg2=0.3010，lg3=0.4771”来表示即可 解答：解：lg= lg又知 lg2=0.3010，lg3=0.4771，lg= lg=0.8266答案是：0.8266 点评：本题主要考查对数的运算性质，切实掌握对数的运算律是解题的关键4 （10 分）证明：考点：同角三角函数基本关系的运用；三角函数恒等式的证明 专题：证明题 分析：先看左边，把正切换成正弦和余弦的形式，利用同角函数三角函数 的基本关系化简整理，结果为右边，进而证明原式解答：证：（1+tana）2=原式成立 点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系解题的关键是熟练记忆

14、 同角三角函数基本关系的中各种公式，并灵活运用5 （10 分）求过两直线 x+y7=0 和 3xy1=0 的交点且过（1，1）点的直线方程 考点：直线的一般式方程 专题：计算题 分析：求出两直线 x+y7=0 和 3xy1=0 的交点坐标，两点式写出直线方程，将它化为一般式 解答：解：由 x+y7=0 和 3xy1=0 联立方程组并解得：x=2，y=5直线过点（2，5）和（1，1）所求的直线方程为，即：4xy3=0点评：本题考查用两点式求直线方程6 （10 分）某工厂今年七月份的产值为 100 万元，以后每月产值比上月增加 20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？ 考点：数列的应用；等比数列

15、的前 n 项和 专题：应用题 分析：由题意知七月份到十月份总产值为： 100+（1+20%）100+（1+20%）2100+（1+20%）3100， 然后利用等比数列求和公式进行计算即可 解答：解：七月份到十月份总产值为 100+（1+20%）100+（1+20%）2100+（1+20%）3100=答：今年七月份到十月份总产值是 536.8 万元 点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细思考， 合理地建立方程7 （10 分）已知二次函数 y=x26x+5（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程； （2）画出它的图象； （3）分别求出它的图象和 x 轴、y 轴的交点坐标考点：二次函数的图象 专题：作图题；综合题 分析：（1）根据二次函数的顶点坐标公式和对称轴公式分别求出即可； （2）根据列表、描点、连线的步骤画出函数图象即可； （3）令 x=0 求出对应的 y 值，写出坐标为与函数图象 y 轴的交点， 令 y=0 求出对应的 x 值，写出坐标为函数图象与 x 轴的交点 解答：解：（1）a=1，b=6，c=5=3，=1顶点