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1、19941994 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分. .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.).)(1) _.2222xxdxx(2) 已知,则_.( )1fx 000lim(2 )()xx f xxf xx(3) 设方程确定为的函数,则_.2cosxyeyxyxdy dx(4) 设其中则_.121000 000 , 000 000nna a A a a L L MMMM L L0,1,2, ,iainL1A(5) 设随机变量的
2、概率密度为X2 ,01,( )0,xxf x 其他，以表示对的三次独立重复观察中事件出现的次数,则YX1 2X2P Y _.二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分. .每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中, ,只有一项符只有一项符 合题目要求合题目要求, ,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内.).)(1) 曲线的渐近线有 ( )2121arctan(1)(2)xxxyexx(A) 1 条 (B) 2 条 (C) 3 条 (D) 4 条(2) 设常数,而级数收敛,则级数 ( )0
3、21n na21( 1)nnnan (A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与有关(3) 设是矩阵,是阶可逆矩阵,矩阵的秩为,矩阵的秩为,则Am nCnArBAC1r( )(A) (B) 1rr1rr(C) (D) 与的关系由而定1rrr1rC(4) 设,则 ( ) 0( )1,0( )1, ()()1P AP BP A BP A B(A) 事件和互不相容 (B) 事件和相互对立ABAB (C) 事件和互不独立 (D) 事件和相互独立ABAB(5) 设是来自正态总体的简单随机样本,是样本均值,记12,nXXXL2( ,)N X2222 12 112222 34 1111
4、() ,() ,1 11() ,() ,1nnii iinnii iiSXXSXXnnSXSXnn则服从自由度为的 分布的随机变量是 ( ) 1nt(A) (B) 1 1XtS n2 1XtS n(C) (D) 3XtS n4XtS n三、三、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )计算二重积分其中.(),Dxy dxdy22( , )1Dx y xyxy四、四、( (本题满分本题满分 5 5 分分) )设函数满足条件求广义积分.( )yy x440,(0)2,(0)4,yyyyy 0( )y x dx五、五、( (本题满分本题满分 5 5 分分) )已知,求.22( , )arctanar
5、ctanyxf x yxyxy2f x y 六、六、( (本题满分本题满分 5 5 分分) )设函数可导,且,求.( )f x10(0)0,( )()xnnnfF xtf xtdt20( )limnxF x x七、七、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )已知曲线与曲线在点处有公共切线,求:(0)ya x alnyx00(,)xy(1) 常数及切点；a00(,)xy(2) 两曲线与轴围成的平面图形绕轴旋转所得旋转体的体积.xxxV八、八、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )假设在上连续,在内存在且大于零,记( )f x ,)a ( )fx, a ,( )( )( )()f xf aF
6、 xxaxa证明在内单调增加.( )F x, a 九、九、( (本题满分本题满分 1111 分分) ) 设线性方程组23 11213123 12223223 13233323 142434,.xa xa xaxa xa xaxa xa xaxa xa xa (1) 证明:若两两不相等,则此线性方程组无解；1234,a a a a(2) 设,且已知是该方程组的两个解,其中1324,(0)aak aak k 12, 1211 1,1, 11 写出此方程组的通解.十、十、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )设有三个线性无关的特征向量,求和应满足的条件.001 1 100Axy xy十一、十一、
7、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )假设随机变量相互独立,且同分布1234,XXXX,00.6,10.4(1,2,3,4)iiP XP Xi求行列式的概率分布.1234XXXXX十二、十二、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )假设由自动线加工的某种零件的内径(毫米)服从正态分布,内径小于 10 或X( ,1)N大于 12 的为不合格品,其余为合格品,销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损.已知销 售利润(单位:元)与销售零件的内径有如下关系:TX1,10, 20,1012, 5,12.X TX X 问平均内径取何值时,销售一个零件的平均利润最大?19941994 年全国硕士研究生
8、入学统一考试数学三试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).)(1)【答案】ln3 【解析】利用被积函数的奇偶性,当积分区间关于原点对称,被积函数为奇函数时,积分 为 0；被积函数为偶函数时,可以化为二倍的半区间上的积分.所以知原式2222222202222xxxdxdxdxxxx22 201 2dxx220ln(2)ln6ln2ln3.x(2)【答案】1【解析】根据导数的定义,有.00 00()()()lim xf xxf xfxx 所以由此题极限的形式可构造导
9、数定义的形式,从而求得极限值.由于000(2 )()lim xf xxf xx x00000(2 )()()()lim xf xxf xf xxf x x0000 0000(2 )()()()( 2)limlim2()()1.2xxf xxf xf xxf xfxfxxx 所以 原式. 0001lim1(2 )()1xx f xxf xx(3)【答案】sin 2xyxyyexyxey 【解析】将方程看成关于的恒等式,即看作的函数.2cosxyeyxxyx方程两边对求导,得x.sin()2sin2xy xy xyyexeyxyyyxyxey 【相关知识点】两函数乘积的求导公式：.( )( )(
10、)( )( )( )f xg xfxg xf xg x(4)【答案】1211000100010001000nnaaaa LLLMMMML【解析】由分块矩阵求逆的运算性质,有公式,11100 00AB BA且 11 12 2111nnaa aaaa OO所以,本题对分块后可得.A1 1211000100010001000nnaaA aa LLLMMMML(5)【答案】9 64【解析】已知随机变量的概率密度,所以概率,求得二项X1 2 011224P Xxdx分布的概率参数后,故.1(3, )4YB由二项分布的概率计算公式,所求概率为.2 2 313924464P YC 【相关知识点】二项分布的概
11、率计算公式：若,则, ,( , )YB n p(1)kkn k nP YkC pp0,1,knL二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).) (1)【答案】(B) 【解析】本题是关于求渐近线的问题.由于 ,2121limarctan(1)(2)4xxxxexx故为该曲线的一条水平渐近线.4y又 .21201limarctan(1)(2)xxxxexx 故为该曲线的一条垂直渐近线,所以该曲线的渐近线有两条.0x 故本题应选(B).【相关知识点】水平渐近线：若有,则为水平渐近线；lim( ) xf xa ya铅直渐近
12、线：若有,则为铅直渐近线；lim( ) xaf x xa斜渐近线：若有存在且不为,则为斜渐( )lim,lim ( ) xxf xabf xaxxyaxb近线. (2)【答案】(C) 【解析】考查取绝对值后的级数.因,22 222( 1) |11111 2222n n nnaaannn(第一个不等式是由得到的.)2210,0,()2ababab又收敛,收敛,(此为级数：当时收敛；当时发散.)21n na2 11 2nnp11p nn1p 1p 所以收敛,由比较判别法,得收敛.2 2 111 22n nan21( 1) |n nnan 故原级数绝对收敛,因此选(C).(3)【答案】(C)【解析】由公式,若可逆,则()min( ( ), ( )r ABr A r BA.1()( )()()()r ABr Br EBr AABr AB从而,即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩,所以选(C).()( )r ABr B(4)【答案】(D)【解析】事实上,当时,是事件与独立的充分必要0( )1P B(|)(|)P A BP A BAB条件,证明如下：若, ,则(|)(|)P A BP A B, ,()() ( )1( )P ABP AB P BP B()( ) ()( ) ()P ABP B P ABP B P AB,()( ) ()()( ) ( )P ABP BP ABP ABP B P
