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1、1概率统计第十三讲第十三讲 点估计点估计2本讲提要本讲提要数理统计引言数理统计引言 总体与样本总体与样本 点估计点估计 估计量的评价估计量的评价3引引 言言数理统计是数学的一个重要分支，它研究怎样数理统计是数学的一个重要分支，它研究怎样 有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，有效地收集、整理和分析带有随机性的数据， 以对所考察的问题作出推断或预测，并为采取以对所考察的问题作出推断或预测，并为采取 一定的决策和行动提供依据和建议。一定的决策和行动提供依据和建议。 几个实际问题：几个实际问题： 1. 1. 估计产品寿命问题估计产品寿命问题: : 根据用户调查获得某品根据用户调查获得某品 牌洗衣机
2、牌洗衣机5050台的使用寿命台的使用寿命为为5 5年，年，5.55.5年，年，3.53.5年，年， 6.26.2年，年，。根据这些数据希望得到如下推断：根据这些数据希望得到如下推断： A A可否认为产品的平均寿命不低于可否认为产品的平均寿命不低于4 4年？年？ B B保质期设为多少年，才能保证有保质期设为多少年，才能保证有95%95%以上以上 的产品过关？的产品过关？42 2商品日投放量问题：如草莓的日投放量多少合理？商品日投放量问题：如草莓的日投放量多少合理？ 如何安排银行各营业网点的现金投放量？快餐食品以如何安排银行各营业网点的现金投放量？快餐食品以 什么样的速度生产最为合理等等。什么样的
3、速度生产最为合理等等。例例 制衣厂为了合理的确定服装各种尺码的生产比例，制衣厂为了合理的确定服装各种尺码的生产比例， 需要调查人们需要调查人们身高的身高的分布。现从男性成人人群中随分布。现从男性成人人群中随 机选取机选取100100人人, ,得到他们的身高数据为得到他们的身高数据为: : (1) (1) 试推断男性成人身高试推断男性成人身高X的的概率分布；概率分布； (2)(2)若已知若已知X服从正态分布服从正态分布N( , 2), 试估计参数的试估计参数的 , 2值。值。已知“总体”的分布类型，对分布中的未知已知“总体”的分布类型，对分布中的未知 参数所进行的统计推断属于“参数估计”。参数所
4、进行的统计推断属于“参数估计”。5总体与样本总体与样本1 1、总体总体：研究对象的全体，通常指研：研究对象的全体，通常指研究对象的某项数量指标。究对象的某项数量指标。组成总体的元组成总体的元素称为素称为个体。个体。从本质上讲，总体就是所研究的从本质上讲，总体就是所研究的随机随机 变量变量或或随机变量的分布随机变量的分布。62、样本样本来自总体的部分个体来自总体的部分个体X1， ，Xn如果满足：如果满足：（1 1）同分布性同分布性：Xi，i=1,n与总体同分布，与总体同分布，（2 2）独立性独立性：X1， ，Xn相互独立；相互独立；则称为则称为容量为容量为n的简单随机样本的简单随机样本，简称，简
5、称样本样本。而称而称X1，Xn的一次实现为的一次实现为样本观察值样本观察值，记，记为为x1，xn。7来自总体X的随机样本X X1 1，X Xn n可记为i.i.d.1,( ),( ),.nxxXp x F x或或显然，样本联合分布函数或密度函数为12 1(,)(),nni iF xxxF x 或或12 1(,)().nni ip xxxp x 83、总体、样本和样本观察值的关系、总体、样本和样本观察值的关系总体总体样本样本样本观察值样本观察值理论分布理论分布统计是从手中已有的资料统计是从手中已有的资料样本观察值，去样本观察值，去 推断总体的情况推断总体的情况总体分布。样本是联系两总体分布。样本
6、是联系两 者的桥梁。总体分布决定了样本取值的概率规者的桥梁。总体分布决定了样本取值的概率规 律，也就是样本取到样本观察值的规律，因而律，也就是样本取到样本观察值的规律，因而 可以用样本观察值去推断总体。可以用样本观察值去推断总体。9统计量统计量定义定义：称样本：称样本x1， ，xn的函数的函数T(x1， ，xn) 是总体的一个是总体的一个统计量统计量, ,如果如果T(x1， ，xn)不含不含 未知参数未知参数。111.,ni ixxn 样样本本均均值值2212212212. ()1() (),1().nni ini innsxxnsxxnssss 样样本本方方差差或或无无偏偏方方差差样样本本标
7、标准准差差或或无无偏偏标标准准差差几个常用的统计量几个常用的统计量 ：10111,1()n k ki in k ki iaxnbxxn 原原点点矩矩中中心心矩矩。3.样本样本k阶矩阶矩4.经验分布函数经验分布函数用用S(x)表示样本表示样本x1， ，xn中中 不大于不大于x的随机变量个数。定义的随机变量个数。定义经验分布函数经验分布函数： 1( )( )nFxS xn 。Glivenko定理定理:P lim sup |( )( )| 01.nnxFxF x 11点估计点估计 一、参数估计的概念一、参数估计的概念定义定义 设设x1,xn是总体的一个样本，是总体的一个样本，其分布函其分布函数为数为
8、F(x; ), 。其中其中 为未知参数为未知参数, 为参为参数空间数空间, 若统计量若统计量 (x1,xn)可作为可作为 的一个估的一个估计计,则称其为则称其为 的的一个一个估计估计量量，记为，记为注：注：F(x; )也可用分布律或密度函数代替也可用分布律或密度函数代替。1(,).nxx 12若若x1,xn是样本的一个观测值，则是样本的一个观测值，则1(,)nxx 称称为为 的的估估计计值值。由于由于 (x1,xn)是实数域上的一个点，现用它是实数域上的一个点，现用它来估计来估计 ， 故称这种估计为故称这种估计为点估计点估计。点估计点估计的经典方法是的经典方法是矩估计矩估计与与最大似然估计。最
9、大似然估计。13二、矩法估计（简称二、矩法估计（简称“矩法矩法”）关键点：关键点：1.用样本矩作为总体同阶矩的估计，即用样本矩作为总体同阶矩的估计，即 111E, 1E() , n kk kki inkk kki iXXnXEXXXn 若若则则；若若则则。2.约定约定：若若是未知参数是未知参数 的矩估计，则的矩估计，则g( )的矩估计为的矩估计为g( )。 14例例1. 设设x1， ，xn为取自总体为取自总体Xb(m,p)的的 样本，其中样本，其中m已知，已知，00为一给定实数。为一给定实数。 求求p=F(a)的的最大似然估计。最大似然估计。解解: :111( )(; ),ni iinnx x
10、n i iiLp xee 0( )1,axapF aedxe 故若故若 的最大似然估计为的最大似然估计为 ,则则p的最大似然的最大似然 估计为估计为. 先求先求 的最大似然估计的最大似然估计 1ae 2711ln ( )lnln,ni ixnn iiLenx 令令 1ln ( )0,ni idLnxd 1ni inx 1/,x /1.a xpe 28注注3*：由似然方程解不出由似然方程解不出 的似然估计时，可的似然估计时，可由定义通过分析直接推求。事实上由定义通过分析直接推求。事实上满足满足 ( )sup ( ).LL 例例8. 设设x1， ，xn为取自为取自U(0, )总体总体的样本的样本,
11、 0未知，未知，求参数求参数 的最大似然估计。的最大似然估计。解解: :11,0,( )(; ) 0,others.n in i ixLp x 291ln ( )lnln ,nLn 令令ln ( )0,dLn d 无解无解! !1,0,( ) 0,others.inxL 注意到注意到为使为使L( )0, 必须必须00，b0，a+b=1，统计量，统计量都是都是EX的的 无偏估计，并求无偏估计，并求a，b使所得统计量最有效。使所得统计量最有效。12,x x12axbx 1212:E()EEE ,axbxa xb xX解解 故故对任意实数对任意实数a0,b0,a+b=1, ,统计量统计量 都是都是EX的无偏估计。的无偏估计。12axbx 22 22 1212 12Var()Var()Var()Var(),abaxbxaxbxXnn22 22 1122 12121212121( /)( /),( , ),.abn a nn b nnnnnnna bnnnn
