学法巧手指——圆周运动、天体运动

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1、第第 1 页页 共共 7 页页学法巧手指圆周运动 万有引力定律与天体运动1.1.圆周运动中的速度及加速度圆周运动中的速度及加速度速度：速度：对于一般的圆周运动而言，线速度的大小是变化的，方向也在时刻变化；而 对于匀速圆周运动来讲，仅仅是线速度的方向在变。所以，匀速圆周运动是“匀速率圆周 运动”；所有的圆周运动都是变速运动，做圆周运动的物体一定具有加速度。 加速度：加速度：对于匀速圆周运动而言，物体所具有的加速度一定指向圆心，所以叫做向 心加速度；而对于做一般的圆周运动的物体来讲，加速度可以分解为半径方向上的加速度- -向心加速度和切线方向上的加速度，向心加速度改变线速度的方向，切线方向上的加速

2、 速度用来改变线速度的大小。 例题例题 1.1.下列说法中正确的是.圆周运动中的加速度一定指向圆心A .做匀速圆周运动的物体，其线速度一定不变B .做匀速圆周运动的物体，其角速度一定不变C.在变速圆周运动中，向心加速度不一定改变物体线速度方向D 答案：C 2.2.圆周运动中向心力来源问题圆周运动中向心力来源问题 匀速圆周运动中向心力来源匀速圆周运动中向心力来源 例题例题 2.2.下图 1 中的四种情况中，各质点都在作匀速圆周运动，分别指出向心力来源 （填在相应的空格处）图甲中是、和的合力提供小物块所需要的向心力；A 图乙中是和的合力提供小球所需要的向心力；B 图丙中是和的合力提供小球所需要的向

3、心力；C 图丁中是、和的合力提供小物块所需要的向心力。D 答案：答案：图甲中：重力、支持力和静摩擦力；图乙中：重力和绳的拉力；图丙中：重力和支持力；图丁中：重力、支持力和静摩擦力。 非匀速圆周运动中向心力来源非匀速圆周运动中向心力来源 例题例题 3.3.在如图 2 所示的两种情况中，分析向心力来源并填写在横线上： 图甲中，悬挂在细线下端的小球以速度经过图中的位置时，是力和v 力在绳方向上的合力提供小球所需要的向心力。第第 2 页页 共共 7 页页图乙中，水平向右的匀强电场中， 带负电的小球沿竖直放置的光滑轨道上 升，以速度经过图中的位置时，是v 力、力沿轨道半径方 向上的分力和力的合力提供小

4、球所需要的向心力。 解析：解析：如图 3 所示的丙和丁分别 为甲、乙两图中小球的受力示意图， 由圆周运动知识可知，丙图中是由绳 的拉力和重力沿绳方向上分力的合力 提供小球所需要的向心力；而丁图中 则是由重力、电场力分别沿轨道半径 方向上的分力和轨道的压力这三者的 合力提供小球所需要的向心力。 答案答案 图甲中：绳的拉力 重力； 图乙中：重力、电场力、轨道的压力。可见，在匀速圆周运动中，是所有外力的合力提供了物体做匀速圆周运动所需要的向 心力；而在变速圆周运动中，是所有外力在半径方向上的分力的合力提供物体所需要的向 心力。对变速圆周运动，切线方向上的合力使物体产生了切线方向上的加速度，因此线速

5、度大小是变化的。 3.3.圆周运动中的追及问题圆周运动中的追及问题 以前所涉及的追及问题，物体都是在一条直线上运动的，其实在曲线运动中也存在着 物体之间的追及现象。 例题例题 4.4.甲、乙两运动员在同一圆形轨道上从同一地点同时沿同一绕向进行比赛，可认为甲、乙二人做的都是匀速圆周运动，若甲的周期为，乙的周期为，并且。1T2T1T2T试求：经过多长时间甲、乙两运动员相距最远？经过多长时间他们相距最近？ 解析：设从开始运动经过时间 甲、乙两运动员相距最远，依题意，这时他们一定是t 在圆形轨道同一直径的两端，则有，) 12(2212kTt Tt, 2 , 1 , 0k解得 ，)(2) 12(2121

6、 TTTTkt, 2 , 1 , 0k即，经过两运动员相距最远。)(2) 12(2121 TTTTkt同理，若设经过时间两运动员相距最近的话，则有t，22212kTt Tt, 2 , 1k第第 3 页页 共共 7 页页解得 ，)(2121 TTTkTt, 2 , 1k即，经过两运动员相距最近。)(2121 TTTkTt命题解读：命题解读：这是一个在同一圆形轨道上的两物体间的追及问题，两者相距最远时一定 在同一直径的两端，相距最近时一定在同一地点，解决的关键是考虑他们各自与圆心的连 线所转过的角度关系。其实在做完这道题目之后，可以思考下面的两个问题： 若要求两者相距最远或最近的最少时间呢？ 若题

7、目中两运动员分别是在同心、但半径不相等的两个圆形轨道上呢？何时两者相 距最远？何时两者又相距最近呢？ 4.4.圆周运动中的临界问题圆周运动中的临界问题 直线运动中我们已经做过很多临界状态的分析、判断和求解的问题，在曲线运动中也 会遇到“当时，恰好”的临界问题。例题例题 5.5.两绳和同时系一质量为的小球，且绳长为，两ACBCkgm1 . 0ACml2绳都拉直时与竖直方向的夹角分别为角和角，如图 4 所示。当小030045球以绕为轴转动时，上、下两绳的拉力分别是多少？srad /3AB 解析：解析：由于两根长度不同，小球绕为轴转动的角速度由 0 逐渐AB增大时，最先被拉直的应该是绳，当角速度增大

8、到某一数值时，AC01会出现绳刚好被拉直（绳中无张力）的情况，此时是重力和绳的BCAC 拉力提供了小球做匀速圆周运动的向心力，如图 5 所示，由圆周运动知识 得2 010030sin30tanlmmg解得 sradlg/212331030sin30tan0001 srad /4 . 2同理可以求得，当角速度继续增大到某一数值时，02又会出现刚好被拉直的情况，则有ABsrad /3 . 302显然，这两个临界状态下的角速度值与题中所给的加速度有如下的关系，即0102由此可以判断题中所求的是两绳和都被拉直并且都存在拉力的情况，设此时ACBC两绳和对小球的拉力分别为和，如图 6 所示，则有ACBC1

9、F2F第第 4 页页 共共 7 页页200 20 130sin45sin30sinlmFFmgFF0 20 145cos30cos解以上两式，得，NF27. 01NF09. 12即，绳和对小球的拉力分别为和。ACBCN27. 0N09. 1命题解读：命题解读：此题中，由于，所以判断的结果0102是两绳都被拉直，并且都产生了对小球的拉力。若出现或的情况时，两绳和与竖直方向的夹角就0102ACBC将分别小于角或大于角了，就会出现其中一绳不产生拉力，这时要根据具体的受030045力分析列出相应的关系式进行求解。例题例题 6.6.如图 7 所示，一质量的小球从光滑斜面上某处由静止滚下，斜面底端kgm2

10、与一个半径的竖直放置的光滑圆环相接，试求：mR1小球至少应从多高处由静止滚下才能越过圆环的 最高点？ 若小球从处由静止滚下时将在何处脱离mh2 圆环？ 解析：解析：设小球至少应从高为处由静止滚下，如h 图所示，由机械能守恒定律和圆周运动知识可得2 021)2(mvRhmgRvmmg2 0解得 mh5 . 2 由于，所以小球在从圆形轨道的右侧向上滚动的过程中将不会到mh2m5 . 2 达圆形轨道的最高点，在到达最高点之前就已经脱离轨道。如图 9 所示，设小球在处刚A 好脱离轨道（对轨道压力为零），此时小球的速度为，由机械能守恒定律和圆周运动知v 识，得2 21)cos(mvRRhmgRvmmg2

11、 cos解得 32cos1命题解读：命题解读：此题的第一问中，问“至少应从多高处由静止滚下才能越过圆环的最高点?第第 5 页页 共共 7 页页”,意思就是要求小球刚好到达圆周的最高点，第二问中，轨道对小球压力恰好为零的位置 就是小球脱离轨道的地方，这都是临界状态问题。 5.5.万有引力定律和圆周运动规律的结合万有引力定律和圆周运动规律的结合 宇宙中星体的运动是比较复杂的，但在研究讨论某些星体的运动时，都是当成最简单、 也是最典型的匀速圆周运动来处理。 例题例题 7.7.某载人飞船在绕地球飞行的第 5 圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度的圆形轨道。已知地球半径，地球表面处的重力加速度km

12、h342kmR31037. 6。试推导出飞船在上述圆形轨道上运行的周期的表达式（用、表2/10smg ThRg示），然后计算周期的数值（保留两位有效数字）。T 解析：解析：飞船绕地球做近似的匀速圆周运动，需要的向心力由地球对它的万有引力提供， 则有2 2)2(TmrrMmG地球表面处的物体的重力等于万有引力，即2RmMGgm又 hRr 解以上三式的得ghR RhRT)(2代入数据，得sT3104 . 5命题解读：命题解读：这类有关卫星或飞船绕天体做圆周运动的计算问题中，一般只需把握两个 方面就可以了，第一个（也是最重要的）就是万有引力恰好提供向心力，第二个则是天体 表面物体所受的的重力等于万有

13、引力。 6.6.运用运动学知识求解（任意星体）第一宇宙速度运用运动学知识求解（任意星体）第一宇宙速度 所谓第一宇宙速度，就是在某一星体表面发射一颗绕该星体表面飞行的卫星所需要的 发射速度，即在该星体表面发射卫星所需要的最小速度。 例题例题 8.8.宇航员在某一星球上以速度竖直上抛物体，经落回手中。已知地球的半0vts径为，该星球的半径为地球半径的一半。那么，至少要用多大的速度沿星球表面抛出物R 体，它才不至于再落回该星球表面？解析：解析：设地球表面的重力加速度为，该星球表面的重力加速度为，则由竖直上抛gg运动规律和万有引力定律得gvt 0 22RMmGmg 第第 6 页页 共共 7 页页2Rm

14、MGgm其中、分别为地球和该星球的质量。要想使沿星球表面抛出的物体不至于再落MM回该星球表面，设最小的速度为（即第一宇宙速度），则根据圆周运动知识，得vRvmgm2再代入，解得RR21tRvRgv0 2命题解读：命题解读：这是一道万有引力定律和运动学知识结合的题目，解题的关键就是把联系 万有引力定律和运动学知识的“桥梁”重力加速度求出来，另外，还要理解第一宇g 宙速度的真正含义。 7.7.宇宙飞行中的超重和失重宇宙飞行中的超重和失重 宇宙飞行中的超重和失重通常有两种情况，一是近似做匀速圆周运动的星体或宇航器， 万有引力恰好提供了它们所需要的向心力，这是一种完全失重的情况；二就是在宇航器起 飞或

15、降落过程，或是由于高度变化引起重力加速度变化，而造成的超重或失重。例题例题 9.9.飞船以加速度（为地球表面的重力加速度）匀加速上升，测得在地面2ga g上的物体重力为，由此可求出此时飞船里地的高度为多少？（地球半径kg10N75）kmR3104 . 6解析：解析：设此时飞船离地高度为，该位置处的重力加速度为，如图 9 所示hg为该物体的受力情况，其中为测力计对物体的作用力，即物体此时的“视重”F 大小，由牛顿第二定律得magmF由万有引力定律得2)(hRMmGgm而在地球表面上，有2RMmGmg 解以上几式，得kmh3104 . 6命题解读：命题解读：这道题目中，飞船加速上升，飞船本身及其里面的物体应该处于超重状态 的，但为什么会出现测得的重力小于它在地面上的重力（100）呢？原因就是该高度处N 的重力加速度变得比地面上的重力加速度小了！第第 7 页页 共共 7 页页