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1、1从一道高等代数试题谈起从一道高等代数试题谈起 杨忠鹏 晏瑜敏 林志兴 戴培培 （莆田学院数学与应用数学系，莆田，福建，351100）摘要摘要 本文从 2004 年国家精品课-吉林大学的高等代数课程网站所提供的试卷中的一道 关于矩阵的秩与的秩的和的试题的谈起。我们指出这道试题的答案不是唯一的，得到AAE 了矩阵的秩与的秩的和的上下界，给出了其上下界成立的充分必要条件，并把这些结AAE 果作了进一步的推广。关键词关键词：矩阵秩；上下界；可逆矩阵；等式条件；特征根；可对角化的矩阵。我们总设为数域上的矩阵的秩（此时记） ，为单位矩阵（为( )R AFn nAn nAFEnE的单位矩阵） 。n n矩阵
2、运算下秩的性质是高等代数的基本教学内容之一，也是对学生测试的基本考点。因此这 方面的讨论和研究是很有意义的（见1） 。作为国家级 2004 年的精品课-吉林大学高等代数课程 网站，提供了近些年吉林大学的高等代数期末试卷（见2） 。这对我们的课程建设是很有指导作用 的。在2所提供的吉林大学的 2003 年的高等代数期末试卷中有一道填空题：（这里实际默认） ，( )R A ()R AEnn nAF2所给出的参考答案以“等于” ，作为填空的正确结果。我们将指出2所提供的参考答案一般是不成立，同时给出了矩阵秩的和的( )R A ()R AE上、下界和使2的参考答案是正确的充分必要条件。 下面关于矩阵运
3、算下的秩的性质在1或通常的教科书（如3）中都可找到：， （1）( )( )()R AR BR AB， （2）min ( ), ( )()R A R BR AB， 。 （3）( )( )()R AR BnR AB,n nA BF2所提供的答案一般是不成立的这个结论，可从下面的简单例子得到。当时，必有AEn nF。( )R A ()R AE2nn命题命题 1 设，则n nAF。 （4）( )()R AR AEn证明证明 注意 和，从（1）()R AE()RAE()REn( )()R AR AE( )()R ARAE，即（4）成立。()R AAE()REn命题命题 2 设，则n nAF2. (5)2
4、( )()()R AR AEnR AA( )nR A证明证明 从和（3） 、 （2） ，2()( ()R AAR A AE2( )()()R AR AEnR AA( )R A这说明（5）是正确的。命题 1 和 2 表明对于2所设计的填空题来说，答案是不唯一的。对大多数学生来说得到不等式（4）和（5）是没有问题的。因为当时，这样应用命题 1 和 2 可得到n nAF( )nR A的上、下界：( )()R AR AE命题命题 3 设，则n nAF。 （6）( )()2nR AR AEn从下面的讨论可以得到：不等式串（5）的左面的“”应进一步精确化。命题命题 4 设，则n nAF。 （7）( )()
5、R AR AE2()nR AA证明证明 设，则0 0ABAE。 （8）20 0AA E 0EAE 0EEE B0EEE 0EAE 注意到，（）( )R B ( )()R AR AER200AAE 2()( )R AAR E（理由可见4，引理(1)） ，这样从初等变换不改变矩阵的秩的基本性质（或见4，定理） 和（8）可得恒等式（7） 。 由于得到了恒等式（7） ，我们就很容易给出不等式（6）等式成立的刻画。在下面的讨论中，我们采用5的关于矩阵的特征根的定义：把矩阵的特征多项式在复数域内的根叫做矩阵n nAF的特征根（见5，p294）,即总认为有个特征根。An nAFn应用可对角化矩阵的特征根的性
6、质，我们可进行更为深入的讨论。命题命题 5 设，则n nAF1）当且仅当，( )()R AR AEn2AA 2) 当且仅当所有特征根都是不等于的非零数。( )()R AR AE2nA1证明证明 由（7）知当且仅当( )()R AR AEn2()0R AA3当且仅当，这就证明了 1） 。20AA如果设是的所有特征根，则是的12,n Ln nAF121,1,1nLn nAEF所有特征根，且行列式，； （9）1detni iA1det()(1)ni iAE注意到；这样从（7）和 （9）得0( ), 0()R AnR AEn当且仅当( )()R AR AE2n( )()R AR AEn当且仅当，det
7、0A det()0AE当且仅当，0i10i 1,2,inL这表明 2)的结论是正确的。命题 5 的 1）说明要使2提供的填空题的参考答案成立，还要加上相当严格的条件。不等式（6）表明是介于和中的一个正整数。( )()R AR AEn2n命题命题 6 设是满足的给定的正整数，则存在使得k2nknn nAF。 （10）( )()R AR AEk证明证明 设 ，则非负整数 满足；令knll0lkn ， 是可逆的， （11）1(,)rn rAPdiagE DPn nFP（11）中且对角矩阵满足都是不等于的rnl12(,)n rrrnDdiag dddL12,rrndddL1非零数；（11）表明矩阵是可
8、对角化的矩阵且知n nAF。 （12）( )()()rn rR ARER Dn从（11）中所设知是所有对角元素都是非零的对角矩阵，因此n rn rDE，再由（11）()n rn rR DEnr()R AE11(,)rn rR PdiagE DPPEP 1( (,)(,)rn rrn rR P diagE Ddiag E EP(,)(,)rn rrn rR diagE Ddiag E E(,)rrn rn rR diagEE DE4(0,)n rn rR diagDE，nr 注意到此时；()nnr2nr2()nnlnlk 这样应用（12） ，可得（10） 。作为我们讨论结果的应用，可有命题命题
9、7 设且是可逆的，则,n nM QFQ1）， （13）()()2nR MR MQn2）当且仅当，()()R MR MQn1MMQ M 3）如果是满足的给定的正整数，则对给定的可逆矩阵来说，存在k2nknn nQF使得 。 n nMF()()R MR MQk证明证明 1）从，()R MQ1()R MQE Q1()R MQE1()R MQ()R M可令，这样应用（6）1AMQ( )()nR AR AE1()R MQ1()R MQE，即（13）成立。()()2R MR MQn2）由 1）的证明和应用命题 5 的 1）的结论，可知当且仅当()()R MR MQn1()R MQ1()R MQEn当且仅当
10、111MQMQ MQ 当且仅当。1MMQ M 3）对给定的，由命题 6 存在矩阵满足，此() ( 2 )nknn nAF( )()R AR AEk时令，注意到MAQ，( )()()R AR AQR M()R MQ()R AE Q()R AE所以存在矩阵满足恒等式 。M()()R MR MQk参考文献参考文献51 叶彩儿，徐光辉. 关于矩阵秩命题的证明J，数学的实践与认识，35（2） （2005）:215-219 2 吉林大学高等代数课程网站 http:/ 3 北京大学数学系. 高等代数（第三版）M，北京：高等教育出版社，2003 4 姜景莲. 矩阵秩的不等式的分块证明法J，南平师专学报，18（4） （1999）5-8 5 张禾瑞，郝炳新. 高等代数（第四版）M，北京：高等教育出版社，1999 6 李师正.高等代数解题方法与技巧M，北京：高等教育出版社，2004
