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1、1从一道高等代数试题谈起从一道高等代数试题谈起 杨忠鹏 晏瑜敏 林志兴 戴培培 (莆田学院数学与应用数学系,莆田,福建,351100)摘要摘要 本文从 2004 年国家精品课-吉林大学的高等代数课程网站所提供的试卷中的一道 关于矩阵的秩与的秩的和的试题的谈起。我们指出这道试题的答案不是唯一的,得到AAE 了矩阵的秩与的秩的和的上下界,给出了其上下界成立的充分必要条件,并把这些结AAE 果作了进一步的推广。关键词关键词:矩阵秩;上下界;可逆矩阵;等式条件;特征根;可对角化的矩阵。我们总设为数域上的矩阵的秩(此时记) ,为单位矩阵(为( )R AFn nAn nAFEnE的单位矩阵) 。n n矩阵
2、运算下秩的性质是高等代数的基本教学内容之一,也是对学生测试的基本考点。因此这 方面的讨论和研究是很有意义的(见1) 。作为国家级 2004 年的精品课-吉林大学高等代数课程 网站,提供了近些年吉林大学的高等代数期末试卷(见2) 。这对我们的课程建设是很有指导作用 的。在2所提供的吉林大学的 2003 年的高等代数期末试卷中有一道填空题:(这里实际默认) ,( )R A ()R AEnn nAF2所给出的参考答案以“等于” ,作为填空的正确结果。我们将指出2所提供的参考答案一般是不成立,同时给出了矩阵秩的和的( )R A ()R AE上、下界和使2的参考答案是正确的充分必要条件。 下面关于矩阵运
3、算下的秩的性质在1或通常的教科书(如3)中都可找到:, (1)( )( )()R AR BR AB, (2)min ( ), ( )()R A R BR AB, 。 (3)( )( )()R AR BnR AB,n nA BF2所提供的答案一般是不成立的这个结论,可从下面的简单例子得到。当时,必有AEn nF。( )R A ()R AE2nn命题命题 1 设,则n nAF。 (4)( )()R AR AEn证明证明 注意 和,从(1)()R AE()RAE()REn( )()R AR AE( )()R ARAE,即(4)成立。()R AAE()REn命题命题 2 设,则n nAF2. (5)2
4、( )()()R AR AEnR AA( )nR A证明证明 从和(3) 、 (2) ,2()( ()R AAR A AE2( )()()R AR AEnR AA( )R A这说明(5)是正确的。命题 1 和 2 表明对于2所设计的填空题来说,答案是不唯一的。对大多数学生来说得到不等式(4)和(5)是没有问题的。因为当时,这样应用命题 1 和 2 可得到n nAF( )nR A的上、下界:( )()R AR AE命题命题 3 设,则n nAF。 (6)( )()2nR AR AEn从下面的讨论可以得到:不等式串(5)的左面的“”应进一步精确化。命题命题 4 设,则n nAF。 (7)( )()
5、R AR AE2()nR AA证明证明 设,则0 0ABAE。 (8)20 0AA E 0EAE 0EEE B0EEE 0EAE 注意到,()( )R B ( )()R AR AER200AAE 2()( )R AAR E(理由可见4,引理(1)) ,这样从初等变换不改变矩阵的秩的基本性质(或见4,定理) 和(8)可得恒等式(7) 。 由于得到了恒等式(7) ,我们就很容易给出不等式(6)等式成立的刻画。在下面的讨论中,我们采用5的关于矩阵的特征根的定义:把矩阵的特征多项式在复数域内的根叫做矩阵n nAF的特征根(见5,p294),即总认为有个特征根。An nAFn应用可对角化矩阵的特征根的性
6、质,我们可进行更为深入的讨论。命题命题 5 设,则n nAF1)当且仅当,( )()R AR AEn2AA 2) 当且仅当所有特征根都是不等于的非零数。( )()R AR AE2nA1证明证明 由(7)知当且仅当( )()R AR AEn2()0R AA3当且仅当,这就证明了 1) 。20AA如果设是的所有特征根,则是的12,n Ln nAF121,1,1nLn nAEF所有特征根,且行列式,; (9)1detni iA1det()(1)ni iAE注意到;这样从(7)和 (9)得0( ), 0()R AnR AEn当且仅当( )()R AR AE2n( )()R AR AEn当且仅当,det
7、0A det()0AE当且仅当,0i10i 1,2,inL这表明 2)的结论是正确的。命题 5 的 1)说明要使2提供的填空题的参考答案成立,还要加上相当严格的条件。不等式(6)表明是介于和中的一个正整数。( )()R AR AEn2n命题命题 6 设是满足的给定的正整数,则存在使得k2nknn nAF。 (10)( )()R AR AEk证明证明 设 ,则非负整数 满足;令knll0lkn , 是可逆的, (11)1(,)rn rAPdiagE DPn nFP(11)中且对角矩阵满足都是不等于的rnl12(,)n rrrnDdiag dddL12,rrndddL1非零数;(11)表明矩阵是可
8、对角化的矩阵且知n nAF。 (12)( )()()rn rR ARER Dn从(11)中所设知是所有对角元素都是非零的对角矩阵,因此n rn rDE,再由(11)()n rn rR DEnr()R AE11(,)rn rR PdiagE DPPEP 1( (,)(,)rn rrn rR P diagE Ddiag E EP(,)(,)rn rrn rR diagE Ddiag E E(,)rrn rn rR diagEE DE4(0,)n rn rR diagDE,nr 注意到此时;()nnr2nr2()nnlnlk 这样应用(12) ,可得(10) 。作为我们讨论结果的应用,可有命题命题
9、7 设且是可逆的,则,n nM QFQ1), (13)()()2nR MR MQn2)当且仅当,()()R MR MQn1MMQ M 3)如果是满足的给定的正整数,则对给定的可逆矩阵来说,存在k2nknn nQF使得 。 n nMF()()R MR MQk证明证明 1)从,()R MQ1()R MQE Q1()R MQE1()R MQ()R M可令,这样应用(6)1AMQ( )()nR AR AE1()R MQ1()R MQE,即(13)成立。()()2R MR MQn2)由 1)的证明和应用命题 5 的 1)的结论,可知当且仅当()()R MR MQn1()R MQ1()R MQEn当且仅当
10、111MQMQ MQ 当且仅当。1MMQ M 3)对给定的,由命题 6 存在矩阵满足,此() ( 2 )nknn nAF( )()R AR AEk时令,注意到MAQ,( )()()R AR AQR M()R MQ()R AE Q()R AE所以存在矩阵满足恒等式 。M()()R MR MQk参考文献参考文献51 叶彩儿,徐光辉. 关于矩阵秩命题的证明J,数学的实践与认识,35(2) (2005):215-219 2 吉林大学高等代数课程网站 http:/ 3 北京大学数学系. 高等代数(第三版)M,北京:高等教育出版社,2003 4 姜景莲. 矩阵秩的不等式的分块证明法J,南平师专学报,18(4) (1999)5-8 5 张禾瑞,郝炳新. 高等代数(第四版)M,北京:高等教育出版社,1999 6 李师正.高等代数解题方法与技巧M,北京:高等教育出版社,2004