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1、二次函数与二次方程、二次不等式的关系二次函数与二次方程、二次不等式的关系一、知识梳理一、知识梳理知识点知识点 1、二次函数与一元二次方程、二次不等式有着十分紧密的联系；当二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的函数值 y=0 时，就是一元二次方程，当 y0 时，就是二次不等式。知识点知识点 2、二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，图像的交点 个数与一元二次方程的根的个数是完全相同的，这是数和形有机结合的重要体现。研究二 次函 数 y=ax2bxc 图象与 x 轴交点问题从而就转化为研究一元二次方程 ax2bxc=0 的根 的问题，这样图像问题就可以转化成方程问题，应用根的
2、判别式、韦达定理、求根公式等 解题。知识点知识点 3、二次函数与一元二次方程、二次不等式三者之间的内在联系如下表所示：二、精典题型剖析二、精典题型剖析 例例 1、已知二次函数 y=x2（m3）xm 的图象是抛物线，如图 （1）试求 m 为何值时，抛物线与 x 轴的两个交点间的距离是 3？ （2）当 m 为何值时，方程 x2（m3）xm=0 的两个根均为负数？ （3）设抛物线的顶点为 M，与 x 轴的交点 P、Q， 求当 PQ 最短时MPQ 的面积变式训练变式训练：1、函数 y=ax2bxc 的图象过（1，0） ，则bac acb cba 的值是 _ 2、已知二次函数 y=x2-2x+3. (1
3、) 若它的图像永远在 x 轴的上方，则 x 的取值范围是_;=b24ac0=00二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图像xyOxyOxyO一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根abx22, 1abx2无实数根一元二次不等式 ax2+bx+c0(a0)的解集或x 1xx2x（）1x2xabx2x为全体实数一元二次不等 ax2+bx+c0(a0)的解集 1xx2x（）1x2x无解无解DQ图 2图 1xyOABCCBA OyxDQ图 2图 1xyOABCCBA Oyx(2) 若它的图像永远在 x 轴的下方，则 x 的取值范围是_; (3) 若它的图像与 x 轴只有一个交点，则 x 的取值
4、范围是_. 3、已知二次函数 y=x2mxm2求证：无论 m 取何实数，抛物线总与 x 轴有两个交 点 4已知二次函数 y=x22kxk2k2 （1）当实数 k 为何值时，图象经过原点？ （2）当实数 k 在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？5已知抛物线 y=mx2（32m）xm2（m0）与 x 轴有两个不同的交点 （1）求 m 的取值范围； （2）判断点 P（1，1）是否在抛物线上； （3）当 m=1 时，求抛物线的顶点 Q 及 P 点关于抛物线的对称轴对称的点 P的坐标， 并过 P、Q、P 三点，画出抛物线草图例例 2、(本题满分 12 分) 二次函数的图像交 y 轴于 C 点，交
5、轴于26(0)yaxbxax A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，点 A、点 B 的横坐标是一元二次方程 的两个根.24120xx （1）求出点 A、点 B 的坐标及该二次函数表达式.（2）如图 2，连接 AC、BC，点 Q 是线段 OB 上 一个动点（点 Q 不与点 O、B 重合） ，过点 Q 作 QDAC 交于 BC 点 D，设 Q 点坐标 （m，0） ，当面积 S 最大时，求 m 的值.CDQ（3）如图 3，线段 MN 是直线 y=x 上的动线段（点 M 在点 N 左侧） ，且2MN ，若 M 点的横坐标为 n，过点 M 作 x 轴的垂线与 x 轴交于点 P，过点 N 作 x 轴
6、的垂线与抛 物线交于点 Q.以点 P，M，Q，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出 n 的值；若不能，请说明理由变式训练变式训练：（2012资阳）如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的部分图象， 由图象可知不等式 ax2+bx+c0 的解集是（ ） A1x5 Bx5 Cx1 且 x5 Dx1 或 x5例例 3、 已知关于 x 的一元二次方程，.2220xaxb0, 0ba（1）若方程有实数根，试确定 a，b 之间的大小关系； （2）若 ab=2，且，求 a，b 的值；31222xx（3）在（2）的条件下，二次函数的图象与 x 轴的交点为 A、C（点 A222yxaxb在点 C 的
7、左侧） ，与 y 轴的交点为 B，顶点为 D.若点 P（x，y）是四边形 ABCD 边上的点，试求 3xy 的最大值.变式训练：（变式训练：（2012 甘肃兰州甘肃兰州 10 分）分）设二次函数 yax2bxc(a0)的图象与 x 轴的两个交点为 A(x1，0)，B(x2，0)利用根与系数关系定理可以得到 A、B 两个交点间的距离为：AB|x1x2|。参考以上定理和结论，解答下列问题：2b4ac=a设二次函数 yax2bxc(a0)的图象与 x 轴的两个交点 A(x1，0)，B(x2，0)，抛物线的顶点为 C，显然ABC 为等腰三角形(1)当ABC 为直角三角形时，求 b24ac 的值；(2)
8、当ABC 为等边三角形时，求 b24ac 的值例例 4、 （2012 广东广东肇肇庆庆 10 分）分）已知二次函数图象的顶点横坐标是 2，与2ymxnxpx 轴交于 A（x1，0） 、B（x2，0） ，x10x2，与 y 轴交于点 C，O 为坐标原点，tantanCABO1OC（1）求证： ；n4m0（2）求 m、n 的值；（3）当 p0 且二次函数图象与直线仅有一个交点时，求二次函数的最大值yx3变式训练变式训练： （2012 湖北荆门湖北荆门 10 分）分）已知：y 关于 x 的函数y=（k1）x22kx+k+2 的图象与 x 轴有交点（1）求 k 的取值范围；（2）若 x1，x2是函数图
9、象与 x 轴两个交点的横坐标，且满足（k1）x12+2kx2+k+2=4x1x2求 k 的值；当 kxk+2 时，请结合函数图象确定 y 的最大值和最大值专题训练专题训练1. （2012 天津天津市市 10 分）分）已知抛物线 y=ax2+bx+c（02ab）的顶点为 P（x0，y0） ，点A（1，yA） 、B（0，yB） 、C（1，yC）在该抛物线上（）当 a=1，b=4，c=10 时，求顶点 P 的坐标；求-的值；ABCy yy（）当 y00 恒成立时，求的最小值ABCy yy2. （2012 湖北湖北黄石黄石 10 分）分）已知抛物线 C1的函数解析式为，若2yaxbx3a(b0)抛物线
10、 C1经过点，方程的两根为，且。(0, 3)2axbx3a01x2x12xx4（1）求抛物线 C1的顶点坐标.（2）已知实数，请证明：,并说明为何值时才会有.x01xx2x1x2x（3）若抛物线先向上平移 4 个单位，再向左平移 1 个单位后得到抛物线 C2，设，1A(m,y )是 C2上的两个不同点，且满足： ，.请你用含有2B(n,y )00AOB9m0n0的表达式表示出AOB 的面积 S，并求出 S 的最小值及 S 取最小值时一次函数 OA 的函m数解析式。 （参考公式：在平面直角坐标系中，若，则 P，Q 两点间11P(x ,y )22Q(x ,y )的距离）22 2121(xx )(yy )
