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1、 初二年级秋季数学竞赛讲义 学习热线：0731-28470818 27588868 27588828 湖南奥数网：第 1 页 共 54 页目目 录录本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。重点落实在奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力。另外，在本次培训中，内容的编排和讲解可以根据学生的具体状况由任课教师适当的调整顺序和增删内容。其中因式分解为初二下册内容，但是考虑到它的重要性和工具性，将在本次培训进行具体解读。注：有(*) 标注的为选做内容。本次培训具体计划如下，以供参考：本次培训具体计划如下，以供参考：第一
2、讲实数（一）第二讲实数（二）第三讲平面直角坐标系、函数第四讲一次函数（一）第五讲一次函数（二）第六讲全等三角形第七讲直角三角形与勾股定理第八讲 株洲市初二数学竞赛模拟卷（未装订在内，另发）第九讲 竞赛中整数性质的运用第十讲不定方程与应用第十一讲因式分解的方法第十二讲因式分解的应用第十三讲考试（未装订在内，另发）第十四讲试卷讲评初二年级秋季数学竞赛讲义 学习热线：0731-28470818 27588868 27588828 湖南奥数网：第 2 页 共 54 页第第 1 讲讲 实数（一）实数（一）【知识梳理】一、非负数：正数和零统称为非负数 1、几种常见的非负数 （1）实数的绝对值是非负数，即|
3、a|0 在数轴上，表示实数 a 的点到原点的距离叫做实数 a 的绝对值，用|a|来表示设 a 为实数，则 0)0(0)0(|aaaaaa绝对值的性质： 绝对值最小的实数是 0 若 a 与 b 互为相反数，则|a|b|；若|a|b|，则 ab 对任意实数 a，则|a|a， |a|a|ab|a|b|，(b0)|ba ba|a|b|ab|a|b|（2）实数的偶次幂是非负数如果 a 为任意实数，则0（n 为自然数） ，当 n1 时，0na22a（3）算术平方根是非负数，即 0，其中 a0. a算术平方根的性质： （a0） aa2|2aa 0)0(0)0(aaaaa2、非负数的性质 （1）有限个非负数的
4、和、积、商（除数不为零）是非负数 （2）若干个非负数的和等于零，则每个加数都为零 （3）若非负数不大于零，则此非负数必为零3、对于形如的式子，被开方数必须为非负数；a4、推广到的化简；33aanna5、利用配方法来解题：开平方或开立方时，将被开方数配成完全平方式或完全立方。初二年级秋季数学竞赛讲义 学习热线：0731-28470818 27588868 27588828 湖南奥数网：第 3 页 共 54 页【例题精讲例题精讲】 专题一：利用非负数的性质解题：专题一：利用非负数的性质解题：【例 1】已知实数 x、y、z 满足，求 xyz 的平方根。0241|212zyzzyx【巩固】1、已知，则
5、的值为_；222(6)440xyxxyyxy2、若，0)2(12aba的值)2007)(2007(1 )2)(2(1 ) 1)(1(11 bababaabLL求【拓展】设 a、b、c 是实数，若，求 a、b、c 的值14261412cbacba初二年级秋季数学竞赛讲义 学习热线：0731-28470818 27588868 27588828 湖南奥数网：第 4 页 共 54 页专题二：对于专题二：对于 的应用(0)a a 【例 2】已知 x、y 是实数，且 ；yxxxy则, 32112【例 3】已知、适合关系式：，xyzyxyxzyxzyx20022002223求的值。xyz【巩固】1、已知
6、b，且的算术平方根是，的立方根是，试求31315153aa11am14 bn的平方根和立方根。)43)(2(mnmn2、已知，则 ；141122xxxyyx）（32【拓展】在实数范围内，设，求的个位数字。a20102241()12xxx xxa初二年级秋季数学竞赛讲义 学习热线：0731-28470818 27588868 27588828 湖南奥数网：第 5 页 共 54 页专题三：专题三：，的化简及应用的化简及应用2aa33aa常用方法：利用配方法将被开方数配成完全平方式或者立方式【例 4】化简：961222xxxxy【例 5】若实数 x 满足方程 ，那么 ；11xx 21)x（【巩固】1
7、、若，且，则 ；92a42babba2)(2)(ba2、已知实数 a 满足 a0，那么 ；332aa11aa 3、设449612222xxxxxxy（1）求 y 的最小值 （2）求使 6y7 的 x 的取值范围。【拓展】若，求的值。01)13(2 22xxaxx2)2( a初二年级秋季数学竞赛讲义 学习热线：0731-28470818 27588868 27588828 湖南奥数网：第 6 页 共 54 页【课后练习课后练习】1、如果 a 0） D、S30t（t4）2、图 1 是韩老师早晨出门散步时，离家的距离与时间之间的函数图象若用黑点表示韩老( )y( )x师家的位置，则韩老师散步行走的路
8、线可能是（ ）3、函数自变量的取值范围为_；312xxyx4、如图，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下图的四种底面积相同的容器中，下面那种方案能准确体现各容器所对应的水高度和时间 的函数关系图象：htAMByyyyxxxxOOOOA B CD ABCDyx图 1htOhtOhtOhtO 甲乙丙丁（1 ）（2 ）（3 ）（4 ）初二年级秋季数学竞赛讲义 学习热线：0731-28470818 27588868 27588828 湖南奥数网：第 17 页 共 54 页A （1）甲， （2）乙， （3）丁， （4）丙 B （1）乙， （2）甲， （3）丁， （4）丙C （1）乙， （2）甲
9、， （3）丙， （4）丁 D （1）丁， （2）甲， （3）乙， （4）丙5、平面直角坐标系内，点 A（n，1n）一定不在（ ）A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限6、若 P(ab，5)与 Q(1，3ab)关于原点对称，则（ab）(ab)的值为 ；6、已知点 P（3p15，3p）在第三象限，如果其坐标为整数点，求点 M 的坐标。第第 4 讲讲 一次函数（一）一次函数（一）姓名： 【知识梳理】一、一次函数和正比例函数的概念：一、一次函数和正比例函数的概念：若两个变量 x，y 间的关系式可以表示成 ykxb（k，b 为常数，k0）的形式，则称 y 是 x的一次函数（x 为自变量）
10、 ，特别地，当 b0 时，称 y 是 x 的正比例函数.二、一次函数的图象：二、一次函数的图象：由于一次函数 ykxb（k，b 为常数，k0）的图象是一条直线，所以一次函数 ykxb 的图象也称为直线 ykxb由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点、直线与 y 轴的交点（0，b） ，直线与 x 轴的交点（，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数 ykx 的图象时，只要描出点kb（0，0） ， （1，k）即可.三、一次函数三、一次函数 ykxb（k，b 为常数，为常数，k0）的性质：）的性质：（1）k 的正负决定直
11、线的倾斜方向；k0 时，y 的值随 x 值的增大而增大；kO 时，y 的值随 x 值的增大而减小（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与 x 轴相交的锐角度数越大（直线陡） ，|k|越小，直线与 x 轴相交的锐角度数越小（直线缓） ；（3）b 的正、负决定直线与 y 轴交点的位置；初二年级秋季数学竞赛讲义 学习热线：0731-28470818 27588868 27588828 湖南奥数网：第 18 页 共 54 页当 b0 时，直线与 y 轴交于正半轴上；当 b0 时，直线与 y 轴交于负半轴上；当 b0 时，直线经过原点，是正比例函数（4）由于 k，b 的符号不同，直线所经
12、过的象限也不同；如图 1118（1）所示，当 k0，b0 时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限） ；如图 1118（2）所示，当 k0，bO 时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限） ；如图 1118（3）所示，当 kO，b0 时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限） ；如图 1118（4）所示，当 kO，bO 时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限） （5）由于|k|决定直线与 x 轴相交的锐角的大小，k 相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线 yx1 可以看作是正比例函数 yx 向
13、上平移一个单位得到的四、正比例函数四、正比例函数 ykx（k0）的性质：）的性质：（1）正比例函数 ykx 的图象必经过原点；（2）当 k0 时，图象经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大；（3）当 k0 时，图象经过第二、四象限，y 随 x 的增大而减小五、用函数的观点看方程与不等式：五、用函数的观点看方程与不等式：（1）方程 2x200 与函数 y2x20 观察思考、二者之间有什么联系？从数上看：方程 2x200 的解，是函数 y2x20 的值为 0 时，对应自变量的值从形上看：函数 y2x20 与 x 轴交点的横坐标即为方程 2x200 的解关系、由于任何一元一次方程都可转化为 kxb0（k、b 为常数，k0）的形式所以解一元一次方程可以转化为、当一次函数值为 0 时，求相应的自变量的值 从图象上看，这相当于已知直线 ykxb 确定它与 x 轴交点的横坐标值（2）解关于x、y 的方程组，从“数”的角度看，相当于考虑当自变量为何值时两个ykxbymxn 函数的值相等，以及这个函数值是多少，从“形”的角度看，相当于确定两条直线ykxb 与ymxn 的交点坐标。两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解。初二年级秋季数学竞赛讲义 学习热线：0731-28470818 27588868 27588828 湖南奥数网：www.hna
