《初中数学第13章正弦定理与余弦定理竞赛专题复习人教版含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学第13章正弦定理与余弦定理竞赛专题复习人教版含答案（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 独家原创 1 / 11初中数学第初中数学第 1313 章正弦定理与余弦定理竞赛专题复章正弦定理与余弦定理竞赛专题复习习( (人教版含答案人教版含答案) )第 13 章正弦定理与余弦定理13.1.1已知点是内一点，使得.求证：.解析如图，设的三边为、 、 ，对应角分别为、 、 ， ，同理，.由正弦定理， ，故，同理， ，.于是.13.1.2在的及边上分别取点、 ，使， ， ，求的所有内角.解析如图，易知，故.又由正弦定理，.于是（易见） ，故，.于是为正三角形，各内角均为.13.13已知凸四边形， ， 、 、 、上分别有点、 、 、 ，
2、 ， ， ， ，求证：、 、共点.解析如图，设、垂心分别为、 ，与交于，与交于.精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 独家原创 2 / 11由正弦定理及四点共圆，有，于是.同理，得与重合，即、 、共点.13.1.4已知，在上， 、延长后交于，是的外心（在内），若、 、 、共圆，则.解析如图，设， ，.作， ， 、分别是、之中点.易知，此即，于是.又由正弦定理，于是， ，故.13.1.5有一个凸四边形，顶点均在一圆周上，且， ， ， ，求的值.解析由正弦定理知，其中、 、为三边长，为外接圆半径.于是由，并考虑个三角形有共同的外接圆，故有.代入数字，得，于是.13.1.6已知
3、凸四边形，对角线交于， ，过的一条直线分别交、于、 ，过的另一条直线分别交、于、 ， 、分别交于、，求证：.精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 独家原创 3 / 11解析如图，设好各角.由知，故，由正弦不定理，知止式可改为，于是，此即，两边同时除去，即得，此即，故.13.1.7证明余弦定理的一种四边形推广：即设凸四边形的对角线交于，又设，则.解析如图，由余弦定理， ，又，所以.因此结论成立.13.1.8梯形， ，上底，下底， ， 、延长后交于， ，试用、 、表示梯形的高.解析如图，设， ，则由，有.精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 独家原创 4
4、 / 11又在上找一点，使.则由余弦定理， ，于是.设梯形的高为，则由，有，故.13.1.9锐角三角形中，为边上的高，为上一点， ， ， ，求证：.解析如图，由及得.因此，即，故.不妨设，则， ，.设，由，利用余弦定理得：，解得或.当时， ，故.当时，在中，.与为锐角三角形矛盾，故舍去.13.1.10试用身影定理推导余弦定理.解析如图，对于，作，注意可在外，则有（、 、为的三对应精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 独家原创 5 / 11边长） ，则理有， ，三个方程联立，即解得等三个式子，这就是余弦定理.13.1.11已知关于的方程，四边形中， ， ，且（如图所示）.（
5、1）当方程有两个相等实数根时，求及此方程的根；（2）若此实根等于、之和，求之长.解析（1）因方程有两个相等实数根，故，解得或.因，故不符合题意，应舍去，从而，所以.此时原方程可化为：，解得.（2）因，从而.又，故.即.因， ，故由正弦定理得.精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 独家原创 6 / 1113.1.12设是正方形内部一点，到顶点、 、的距离分别是、2、3，求正方形的面积.解析如图所示，设，则在中， ；在中，.于是，解得.注意到，故应舍去.从而，即正方形面积为.13.1.13已知中， ，是高，是中点，求证：.并由此证明，若，是角平分线，在上， ，则.解析如图，注
6、意其中可取负值.又中点也是，故，而，于是评注本题亦可先用余弦定理求出.13.1.142 已知中， ，延长到点，连结，若，且，求之长.解析如图，设， ，则精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 独家原创 7 / 11.又由余弦定理，此即.化简并整理，得，解得（舍） ，.所以.13.1.15已知正方形， 、分别在、上，与分别交于、 ，若，求证：以、 、为边的三角形有一内角是.解析设， ， ，则，且， ，.于是由比例及余弦定理知只需证明，即.而右式左式，证毕.13.1.16有一个等腰三角形，底边上的高是， ，是上一动点，关于、的对称点分别是、 ，四边形是平行四边形，则至的距离.解
7、析如图，由于、互相平分，故、至距离之和精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 独家原创 8 / 11.13.1.17在中，点、分别是、的中点，点是重心，对的每一个值，有多少互不相似的，满足点、 、 、共圆？解析如图，由、 、 、共圆，得.若设对应边为、 、 ，对应中线为、 、 ，则上式变为.又由中线长公式知，消去，得.又由余弦定理， ，再将抵消，得.若设，则，这个方程的，于是当时，方程无解；又当时，两边之比为负数，也不符合要求.除了以上两种情况，剩下来的便是时，此时有互为倒数或相同的解，因此合乎要求的三角形恰有一个.13.1.18在中， ，化简.解析由余弦定理， ，故.同理
8、，三式相加，即得.精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 独家原创 9 / 1113.1.19证明余弦定理的另一种形式；.解析如图，不妨设（即） ，则在上取一点，使，又作于，于，则在延长线上.于是平分，且， ，两式相加，得.又，由勾股定理， ，此即.13.1.20已知中，的平分线、上的中线、上的高共点，且，求.解析如图，由于中线和角平分线均在内，故与均为锐角.设的三条对应边长为、 、.由塞瓦定理，有，即，故，由余弦定理知.由于，有，代入式，化简有，解得，于是，.13.1.21证明斯图沃特定理：为上一点，则.解析如图，由于，故，分别在、用余弦定理代、 ，整理即得斯图沃特定理.
9、精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 独家原创 10 / 11评注斯图沃特定理的一个著名的推论是中线长公式：若为之中线，则.13.1.22以点为旋转中心，将逆时针旋转为，设线段、的中点分别为、 、 ，若，且，求.解析首先，反复利用中线长公式得，由得.由知上式两端只能为零，否则相似比为，有，与题设矛盾.因此由可知与均为正三角形.如图，设中点为，连结、 、.若设（注意可负） ，则，又， ，故，于是，因此为正三角形，.评注中线长公式正是余弦定理的推论.13.1.23如图，在中， ，是上一点， ，作于，且，若，求的平分线之长.解析设， ，则， ，.由于， ，故.由，得，解得或.因，而，故，从而，所以应舍去，即.于是， ，.精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 独家原创 11 / 11由角平分线定理知.故，.由斯图沃特定理知.所以.评注当为直角时，还有简单的表达式
