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1、一些典型问题的探究过程一些典型问题的探究过程江苏省淮北中学江苏省淮北中学 程坚程坚探究一：一个开放性问题的探究探究一：一个开放性问题的探究 过程及其反思过程及其反思 （数学通讯（数学通讯 201103学生）学生） 。 探究方法探究方法 师生共同探究师生共同探究 探究过程探究过程 从感性到理性。从感性到理性。引题（引题（2009 浙江理浙江理 7）设向量）设向量 a,b 满满 足：足：|a|=3,|b|=4,ab=0.以以 a,b,a-b 的模为的模为 边长构成三角形边长构成三角形,则它的边与半径为则它的边与半径为 1 的圆的圆 的公共点个数最多为的公共点个数最多为 (A).3(B).4(C).
2、5(D).6分析：当圆与三角形的两边相交时分析：当圆与三角形的两边相交时,有有 4 个交点个交点,本题新构造的三角形是三边为本题新构造的三角形是三边为 的直角三角形的直角三角形,其内切圆半径恰好为其内切圆半径恰好为 1. 3,4,5 故它的边与半径为故它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最的圆的公共点个数最 多为多为 4 个个,选选 B. 此题讲评后此题讲评后,我意犹未尽我意犹未尽,于是提出了下于是提出了下 面的问题面的问题: 直角三角形的三边为直角三角形的三边为,半径为半径为的的3,4,5R 圆与三边有圆与三边有 6 个交点个交点,则则的取值范围是的取值范围是 . R（根据问题情境提出恰当问
3、题很重要）（根据问题情境提出恰当问题很重要）由于圆的圆心不定由于圆的圆心不定,半径不断变化半径不断变化,而且而且 又要与三角形的三边相交又要与三角形的三边相交,因此难度较大因此难度较大.经经 过几分钟的思考、交流、讨论后过几分钟的思考、交流、讨论后,课堂逐渐课堂逐渐 热闹起来热闹起来.经过梳理经过梳理,我把学生的思维过程概我把学生的思维过程概 括为如下的两个阶段括为如下的两个阶段:一、一、 感性阶段感性阶段,思维螺旋上升思维螺旋上升 学生一学生一 答案是答案是.理由理由:当圆心是三当圆心是三51,2R 角形的内切圆圆心角形的内切圆圆心 时时,对应的对应的是是 1；当圆；当圆IR 心是三角形的外
4、接圆圆心心是三角形的外接圆圆心时时,对应的对应的 是是 ,OR5 2结合题意结合题意.51,2R 此答案有一定的合理性此答案有一定的合理性,一部分学生表一部分学生表 示认同示认同.我对学生一的答案不予评价我对学生一的答案不予评价.继续提继续提 问问:还有其它答案吗还有其它答案吗?过了两分钟过了两分钟. 学生二学生二 答案是答案是.理由理由:当圆当圆51,22,2RU心是三角形的内切圆圆心心是三角形的内切圆圆心 时时,对应的对应的I ；当圆心是三角形的外接圆圆心；当圆心是三角形的外接圆圆心1,2R时时,对应的对应的.结合题意结合题意.O52,2R51,22,2RU该答案很快被其他学生否定该答案很
5、快被其他学生否定.学生三学生三 答案是答案是.他他1,3R 给出了如下的图形给出了如下的图形: 当圆心是三当圆心是三 角形的内切圆圆心角形的内切圆圆心时时,对应的对应的I 是是 1；当圆心是点；当圆心是点时时,对应对应RD 的的是是 3.结合题意结合题意R1,3 .R 这个答案出现后这个答案出现后,大部分学生表示赞同大部分学生表示赞同. 我对学生的答案仍不予评价我对学生的答案仍不予评价.继续提问继续提问:还有还有 其它答案吗其它答案吗?43DICBA注注 在提出这个问题时在提出这个问题时,我认为的答案是我认为的答案是 ,解答过程和学生三相同解答过程和学生三相同. 继续提问继续提问,1,3R 一
6、方面是为了让学生充分暴露思维过程一方面是为了让学生充分暴露思维过程;另另 一方面一方面,教学经验告诉我教学经验告诉我,自己提出的问题自己提出的问题,难难 免会考虑不周免会考虑不周,这一次又是如此这一次又是如此.又过了几分钟又过了几分钟. 学生四学生四 答案是答案是.他给他给251,8R 出了如下的图形出了如下的图形:作作的垂直平的垂直平BC 分线交矩形的边分线交矩形的边与点与点,由由CDE 得得.当圆心当圆心ABCHCEV: V25,8CECHCEBCAB是三角形的内切圆圆心是三角形的内切圆圆心 时时,对应的对应的 是是 1；IR 当圆心是点当圆心是点 时时,对应的对应的 是是 .结合题意结合
7、题意ER25 8 251,.8R43EH ICBAD继续提问继续提问:还有其它答案吗还有其它答案吗? 此时的学生很激动此时的学生很激动,也很困惑也很困惑. 总结提问总结提问:根据学生一根据学生一,圆的圆心可以在圆的圆心可以在 线段线段上，上，；根据学生三；根据学生三,圆的圆心圆的圆心IO51,2R 可以在线段可以在线段上，上，；根据学生四；根据学生四,圆圆ID1,3R的圆心可以在线段的圆心可以在线段上，上，,圆的圆心圆的圆心IE251,8R 到底在什么范围内到底在什么范围内?圆的半径还可以继续增圆的半径还可以继续增 大吗大吗? 注注 这个问题是给学生的这个问题是给学生的,也是给自己的也是给自己
8、的.二二 、理性阶段、理性阶段,思维渐趋严谨思维渐趋严谨 学生五学生五 圆的圆心一定圆的圆心一定 在矩形在在矩形在内内.理由如下：理由如下：ABDC 如果圆和线段如果圆和线段有两个交点有两个交点,AC 则圆心必在两条平行线则圆心必在两条平行线 所夹的区域内；所夹的区域内；如果圆和线段如果圆和线段有有,AB CDAB 两个交点两个交点,则圆心必在两条平行线则圆心必在两条平行线所所,AC BD 夹的区域内；如果圆和线段夹的区域内；如果圆和线段有两个交点有两个交点,CB 则圆心必在过则圆心必在过且和直线且和直线垂直的两条垂直的两条,B CBC 平行线所夹的区域内平行线所夹的区域内,这三个区域的公共部
9、这三个区域的公共部 分即为矩形分即为矩形内内.ABDC 我对学生五的回答给予肯定我对学生五的回答给予肯定.因为该学因为该学 生已经在理性地思考圆心所在的区域生已经在理性地思考圆心所在的区域,为问为问 题的根本解决做了铺垫题的根本解决做了铺垫.同时继续提问同时继续提问:圆心圆心 所在的区域能否进一步缩小呢所在的区域能否进一步缩小呢?C3C2C1对 对 对 对GDICBA又过了几分钟又过了几分钟. 学生六学生六 如图所示如图所示,弧线弧线是是1C 以以为焦点为焦点,以以为准线的抛物为准线的抛物ABC 线线,弧线弧线是以是以 为焦点为焦点,以以为为2CCAB 准线的抛物线准线的抛物线,弧线弧线是以是
10、以为为3CB 焦点焦点,以以为准线的抛物线为准线的抛物线.圆的圆的AC 圆心一定在三条线段和三条抛物线弧围成圆心一定在三条线段和三条抛物线弧围成 的封闭区域内的封闭区域内.结合图形结合图形,由抛物线的定义可由抛物线的定义可 知知,点点在在的垂直平分线上的垂直平分线上,根据根据GBGCGBC 学生四的求解学生四的求解, 点点为圆心时对应的半径为圆心时对应的半径G 是是 ,故故R25 8251,.8R 此时此时,再也没有人怀疑答案的正确性再也没有人怀疑答案的正确性,问题问题 终于得到了圆满的解答终于得到了圆满的解答.C3C2C1对 对 对 对GDICBA为了巩固这种方法为了巩固这种方法,我灵机一动
11、我灵机一动,又又 提出了如下的问题提出了如下的问题:正正 的边长的边长ABCV 为为,半径为半径为的圆与三边有的圆与三边有 6 个交个交aR 点点,则则的取值范围是的取值范围是 .R 此时学生轻车熟路此时学生轻车熟路,很快画出圆心所在的很快画出圆心所在的 区域是由三条抛物线弧围成的平面区域区域是由三条抛物线弧围成的平面区域,如如 图所示图所示,根据图形可得根据图形可得.33,63Raa 接着我又提出了如下的问题接着我又提出了如下的问题:通过此题的通过此题的 探究探究,你有哪些收获你有哪些收获? 下课的铃声响了下课的铃声响了,我们终止了讨论我们终止了讨论.我无法我无法 了解学生会有怎样精彩的回答
12、了解学生会有怎样精彩的回答,真的很可惜真的很可惜.FEDCBA教学反思教学反思 本节课在引题的基础上本节课在引题的基础上,通过提出问题通过提出问题, 组织讨论组织讨论,让学生完整地经历了问题的探究让学生完整地经历了问题的探究 过程过程,体验了成功的快乐体验了成功的快乐,感受了数学的美感受了数学的美.本本 节课如果满堂灌节课如果满堂灌,把错误的答案教给学生把错误的答案教给学生,教教 学效果可想而知学效果可想而知.在上课时在上课时,不可满堂灌不可满堂灌,要让要让 学生充分暴露自己的思维过程学生充分暴露自己的思维过程, 不断修正和不断修正和 完善自己的思维过程完善自己的思维过程,让学生体验成功和失让
13、学生体验成功和失 败的感受败的感受,经历完整的教学过程经历完整的教学过程.学生六的解法使我真正地认识到学生学生六的解法使我真正地认识到学生 的智慧是无穷的的智慧是无穷的,学生的智慧是教师成长的学生的智慧是教师成长的 重要源泉重要源泉.他让我又一次深刻领悟了他让我又一次深刻领悟了“教学相教学相 长长”这个道理这个道理. 我喜欢变题我喜欢变题.对于教师来说对于教师来说,变题可以让变题可以让 教师不断挑战自己教师不断挑战自己,永葆青春活力永葆青春活力.对于一部对于一部 分学生来说分学生来说,教材中准备的教学内容已经掌教材中准备的教学内容已经掌 握握,教学时教学时,要在恰当的时机提出恰当的具有要在恰当
14、的时机提出恰当的具有 挑战性的问题挑战性的问题,激发学生的学习兴趣激发学生的学习兴趣,让学生让学生 开动脑筋开动脑筋,积极参与积极参与,让课堂动起来让课堂动起来,这样才能这样才能 真正提高课堂效率真正提高课堂效率.这种做法学生很喜欢这种做法学生很喜欢,它它 使我在教学上获得了成功使我在教学上获得了成功.在刚开始的时候在刚开始的时候, 这种做法经常使我这种做法经常使我“挂黑板挂黑板”,如今随着教学如今随着教学 经验的不断增多经验的不断增多,教学机智的不断增强教学机智的不断增强,往往往往 能化险为夷能化险为夷,并达到天衣无缝的妙境并达到天衣无缝的妙境.探究二：对一道高考试题的探究探究二：对一道高考
15、试题的探究 （中学数学教学参考下旬刊（中学数学教学参考下旬刊 2011.1-2） 探究方法探究方法 从特殊到一般从特殊到一般 2010 高考四川卷第高考四川卷第 20 题是一道有关题是一道有关 直线与圆锥曲线位置关系的解析几何题：直线与圆锥曲线位置关系的解析几何题：已知定点已知定点定直线定直线1,0 ,2,0 ,AF.不在不在轴上的动点轴上的动点与点与点1:2l x xP的距离是它到直线的距离是它到直线 的距离的的距离的 2Fl 倍倍.设点设点 的轨迹为的轨迹为,过点过点的直的直PEF 线交线交与与两点两点,直线直线分别交分别交 与点与点E,B C,AB ACl.,M N（1） 求求的方程的方
16、程; E2 213yx （2） 试判断以线段试判断以线段为直径的圆是否过为直径的圆是否过MN 点点,并说明理由并说明理由.F此题主要考查直线、轨迹方程、双曲此题主要考查直线、轨迹方程、双曲 线等基础知识线等基础知识,考查解决解析几何题目的思考查解决解析几何题目的思 想方法及推理运算能力想方法及推理运算能力.同时第（同时第（2）小题还）小题还 是一道值得探究的好题是一道值得探究的好题.探究探究 1 将问题一般化将问题一般化,设双曲线设双曲线 E 的方的方程为程为,点点是它的左右顶点是它的左右顶点,直直22221,0xya bab1,A A线线是右准线是右准线,点点是右焦点是右焦点,过点过点2 :al xc,0F c的直线交的直线交与与两点两点,直线直线分别分别FE,B C,AB AC交交 与点与点,以线段以
