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1、第二章 数值计算方法从第一章我们知道，描写大气运动的基本方程组是多维的 非线性偏微分方程组。即使不考虑水汽的相变，且假设摩擦、 非绝热加热等项的作用为己知或忽略不计，方程组里还包含有 六个未知数(对p坐标，为u， v，z，T)。虽然方程组 是闭合的，加上适当的初、边条件，原则上应能求解。但是实 际上，由于方程组本身非常复杂，尤其是由于它的非线性，因 而要求出严格的解析解一般是不可能的，即使对于最简单的准 地转正压模式也很难做列。因而只能借助于高速电子计算机， 用数值方法求其近似解以作出天气预报。这就是数值天气预 报。本章主要介绍差分近似计算中一些有关的基本问题。2.1 差分方法差分方法微分方程
2、的数值解法很多，如谱方法、有限元法等。随着高 速电子计算机的发展，谱方法越来越显示出其优越性、在大型业 务模式中广泛应用。但是数值大气预报中用得最早也最为普遍和 简便直观的是差分方法。 差分方法差分方法就是在离散的网格点上求出微分方程近似解的方 法，又叫网格法。它的基本要点是：用差商代替微商，降低微分 的阶数，以至将微分方程(组)变成代数方程(组)，再用常规 方法求解。在直角坐标系里作差分运算一般都取等距的网格点。 格点之间的距离称为格距或步长，常用d或h，或x等来表示。 一维函数F(x)的差分有如下定义：一阶前差：一阶后差:一阶中差：二阶中差:函数F（x）关于自变量x的差商(即差比)定义如下
3、： 一阶向前差商(简称向前差或前差)：( )()( )F xF xdF x=+( )( )()F xF xF xd=( )()()22ddF xF xF x=+2( )()() 2 ( )F xF x dF x dF x=+1()iiiiFFFdFOxxddx+=一阶向后差商(简称向后差或后差):1()iiiiFFFdFOxxddx+=一阶中心差商(简称中央差或中差)：11 222()iiiiFFFdFOxxddx+=二阶中心差商(简称二阶中央差)：22 211 2222()iiiiiFFFFd FOxxddx+=四阶差商：()()4 1122141()236iiii iiFdFFFFFO x
4、xxdx+ = 在气象上的数值计算中，差商也常称为差分。以上几式 后面的(在上述诸式中k= 1,2或4)代表用该差商逼近 相应的微商时误差具有的量级。称k为差商精度的阶数。 利用某点及其周围点的函数值来表示该点上函数差商及其运 算的具体形式称为差分格式。在微分方程中.用差商代替微 商，则得到相应的差分方程。用差分法求微分方程的近似解 要使差分方程具有以下性质，即:()kOx ()kx相容性:当步长充分小时，差分方程逼近于微分方程。收敛性收敛性:当步长充分小时，差分方程的准确解趋于微分方程的解。稳定性稳定性:当步长充分小时，差分方程的数值解接近于它的准确解。设f代表微分方程的解，F代表差分方程的
5、准确解， 代 表差分方程的数值解。则:F()()fFfFFF=+截断误差舍入误差上式中(fF)称为截断误差或离散误差。它反映由差分代替 微分而引起的误差，与差分格式的收敛性有关。(F ）称为 舍入误差，反映计算中舍入误差的积累，与差分格式的稳定性 有关。差分方法中最重要的是计算的稳定性。因为只有格式稳 定，才能进行大最的计算。当然也必须具有收敛性。以保证所 得结果的准确。在线性情况，拉克斯曾经证明:对于一个适定 的初值问题，若其相应的差分格式是相容的，则计算稳定性是 收敛性的必要充分条件。此即拉克斯定理。所谓“适定的”问 题，即方程的解存在、唯一且稳定。F气象业务中的数值计算除了要求稳定和收敛
6、之外，另外两 点也很重要: (l)计算方法比较简明，计算速度快，以保证一定预报时 效。 (2)不宜占用过多的计算机内存，否则不利于方法在业 务中的具体实现。 总之，在选择业务计算方案时，要兼顾精确、及时、 经济等诸方而，进行综合考虑。22 时间积分方案在进行数值天气预报时，无论是用差分法还 是用谱方法，都不可避免地要解决对时间的数值积 分问题。选择时间积分方案首先要求计算稳定，同 时要节约机时，有的方案还可以抑制高频波等。在 数值计算中，由于非线性以及非地转等原因，这种 高频振动会经常被激发出来。 下面以一维线性平流方形：( , , )(2.1)FFcE F t xtx= =为例进行讨论。已知
7、F在某一时刻t，在一些离散的网格点上 的值，离散点为：n iF ,0, 1, 2,.,0,1,2,.inxi x itn t n= = = =这里i,n分别代表变员x和t的标号。一、两层格式 对(21)式在两个时间层上作积分可得(1) 1( )( )(2.2)nt nnn tFxFxEdt+ +=+注意：变量的上标在这里表示离散的时间间隔的步数，而不 是指数。1 (欧拉)前差格式 对(22)式作如下近似:设被积函数E取积分下限时的 值并在积分过程中保持不变，且设E中空间差分取中央差格 式，则得到前差公式：()111()(2.3 )2nnn iiinnn iiiFFt Ec tFFFOtax+=
8、+=i此为一阶精度的非中心(即非对称)显示格式。这种差分 格式是绝对不值定的。2 后差格式 设(22)式平松权两救屡取积分上限时的值并在积分过 程中保持不变空间差分取中央差格式，则得到后差格 式：()1111 11()(2.3 )2nnn iiinnn iiiFFt Ec tFFFOtbx+ +=+=i此为一阶精度的非中心隐式格式。它是绝对稳定的，只 是要解联立方程组才能求出未知函数。3 梯形格式 对(22)式小的被积函数E取上下限时的平均值则得到梯 形格式：()112()(2.3 )2nnnn iiiitFFEEOtc+=+这是二阶精度的非中心隐式格式，绝对稳定。 以上三种格式可以综合写成：
9、()11(2.3 )nnnn iiiiFFtEEd+=+1+=显然，当“ 1， 0时， (23d)为前差格式 当“ 0， 1时(23d)为后差格式； 当“ ， (23d)为梯形格式。 格式的精度与， 的值有关 。 4 欧拉后差格式(松野迭代格式) 由前差格式和后差格式结合构成。计算分两步进行， 用前差公式所得结果作为后差公式等号右端(n1)时刻 变量的第一近似值，故为迭代格式。它是一阶精度的显 式格式。前差公式：*1nnn iiiFFt E+=+ i后差公式:1*1nnn iiiFFt E+=+ i带上标“*”号的函数值表示第一近似值。对线性平流方程采用欧拉后差的迭代公式为：FFctx= ()
10、*1 1111*1*1 211()(2.4 )()(2.4 )nnnn iiiinnnn iiiiFFFFOtaFFFFOtb+ + +=其中将以上两式合并可得：22c t x=()()*12 1112222(2.4 )nnnnnnn iiiiiiiFFFFFFFc+ +=+即欧拉后差相当于一步前差再加上一次平滑系数为 的空间平滑。22 2()2c t x=欧拉后差格式能阻尼高频振荡，这是它的主要优点。以下 证明之。设： (),( ) exp()Fx tY tix=代入一维平流方程则得：(2.5)dYi cYi Ydt= = 其中 圆频率。，T周期。令，对 (25)式用欧拉后差格式作时间积分，
11、则可得：2cT=qt=i12,R1qiqnnYRY+=其中 R称为增幅率或增长因子。 随变化见图2.1。由 图可见，欧拉后差为条件性 稳定的格式，当时 ，；且当 时，有极小值， 见图21。Rqq Rq R大气中的重力惯性波周期约为几小时，相当于10000秒； 积分的时间步长为几分钟，即t=1000秒；代入可得R 088， 它表示用欧拉后差格式每作一次时间积分，重力惯 性波的振幅损失12，因而这种时间积分格式对大气中的高频 波有很大的阻尼作用。 大尺度的天气波周期约34天，可取为3100000秒； 仍取几分钟，即10000秒，代入欧拉后差公式可得：即这种时间积分格式对天气尺度的波阻尼很小。 欧拉
12、后差格式能阻尼高频振荡而对天气尺度的波影响很小， 又没有计算解，故经常使用。但它的计算量较大，且长时间地 应用对天气波也会有衰减作用，因而实际工作中往往是把它和 其他格式交替使用。41R12 1015000二、三层格式 这类格式在作时间积分时牵涉到三个时间层；1， n，n1，故称为三层格式。其中最常用的为中央差格式(即蛙跃格式)对(21)式作时间积分:()(1) nn1n( )( )nttF xF xEdt+=+11对被积函数E取作上，下限中点、即n时刻的值，且设积分 过程中保持不变，则得到中央差格式：nn1n 1ii2 tOtFFE=+ i12（） （2.6）中央差格式是条件性稳定的格式。它
13、计算简单、精确度高 ；但是积分的时间步长t必须取得较短，以满足稳定性条件； 再则因涉及三个时间层，积分起步时不能应用。 为此，在初始积分时常和向前差格式结合使用。但前差格 式精度较低0(t)。 为减小初始资料不适应所带来的误差，起步时则采用较短 步长，构成所谓“三步法”或“多步法”的积分公式。如：00 iii1 02 iii01 iiitFFE(2.7a)2FFt E(2.7b)FF2 t E(2.7c)=+=+=+ iii1 212三层格式中还有一种半隐式格式，它是对方程中包含的慢 波和快波部分在作时间积分时分别取显式和隐式格式。慢波与 方程中的非线性项(如平流项)有关，计算复杂，取显式格式
14、便 于运算，同时由于慢波波速c小，可以取较大的t而仍满足 CFL条件。快波与方程中的线性项(如梯度力项、利氏力 项)有关，计算较简便，因而取绝对稳定的隐式格式，以便保持 较大的t而不致于导致线性计算的不稳定。除上述各种时间积分方案外，还提出一种解原始方程模式 的分离算法或称分解算法。半隐式格式是对快波解和慢波解两 部分采用不同的时间积分格式以加大时间步长t，但这两部分 仍包含在同一方程中。分解算法则是把这两部分分成两个方 程，对它们都取显式格式，但分别取不同的时间步长，以缩短 整个预报过程的时间。2.3 线性计算的稳定性大气运动有着波动性和有界性的显著特点。大气中的各 种物理量不会随时间而无限
15、增长，因此近似计算中差分方 程的解也不应随时间而无限增长，否则就是出现了计算不 稳定现象。这里我们所讨论的差分格式的稳定性是指：对 任意给定的初条件，当时间步长t充分小，且时间步数n 充分大时，差分方程的解是否有界。稳定性判据就是数值 解有界的条件。下面以一维线性平流方程为例来讨论差分 格式的线性计算稳定性问题。一维线性平流方程：0(2.8)FFctx+=其中c常数，为风速或重力波的相速度。 (28)式的通解为：( , )(),F x tF xctF=任意函数若给定初条件：t0FxAexpi x当 时， （ ）（） （2.9）()A,;.L (2.8):F(xct)Aexp ixct(2.10)L=2式中 为常数; =波数波长则式的通解为以下取不同的差分格式来逼近(28)式中的时间微商， 并分析它们计算的稳定性。计算稳定性与舍入误差 有关.通过简单推导可以证明，舍入误差所满足的基本方程 与原方程在形式上是一样的。因此下面我们就以各种差分方 程本身来讨论稳定性问题。一、中央差格式(即蛙跃格式)的稳定
