立体几何练习题

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1、数学立体几何练习题数学立体几何练习题 1 1、选择题：本大题共选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4 40 0 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求的一个是符合题目要求的 1如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，棱长为 a，M、N 分别为 A1B 和 AC 上的点，A1MAN，则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是( )2a3A相交 B平行 C垂直 D不能确定2将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，使平面 ABD平面 CBD，E 是 CD 中点，则 的大小为（ ）AEDA. B. C. D.4

2、5o30o60o90o3PA，PB，PC 是从 P 引出的三条射线，每两条的夹角都是 60，则直线 PC 与平面 PAB 所成的角的余弦值为（ ）AB。C。D。1 23 23 36 3 4正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别是 AA1与 CC1的中点，则直线 ED 与 D1F 所成 角的余弦值是AB。C。D。1 51 31 23 25 在棱长为 2 的正方体中，O 是底面 ABCD 的中心，E、F 分别是、1111DCBAABCD 1CCAD 的中点，那么异面直线 OE 和所成的角的余弦值等于（ ）1FDA B C D510 32 55 5156 6在正三棱柱 ABC-A1B1C1

3、中，若 AB=2，A A1=1，则点 A 到平面 A1BC 的距离为（）ABCD43 23 43337在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，若 AB=BB1,则 AB1与 C1B 所成的角的大小为（ ）2A.60B. 90 C.105 D. 75 8设 E，F 是正方体 AC1的棱 AB 和 D1C1的中点，在正方体的 12 条面对角线中，与截面 A1ECF 成 60角的对角线的数目是（） A0 B2 C4 D6 2 2、填空题：本大题共填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3 30 0 分分 9.在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M、N 分别为棱 AA1

4、和 BB1的中点，则sinCMu uu uu ur r ，1D Nu uu uu uu u r r 的值为_.1010如图，正方体的棱长为 1，C、D 分别是两条棱的中点， A、B、M 是顶点，那么点 M 到截面 ABCD 的距离是 . ABMDCABCDP11正四棱锥 P-ABCD 的所有棱长都相等，E 为 PC 中点，则直线 AC 与截面 BDE 所成的 角为 12已知正三棱柱 ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D 是 A1C1的中点，则直线 AD 与平面 B1DC 所成角的正弦值为 .13已知边长为的正三角形 ABC 中，E、F 分别为 BC 和 AC 的中点，PA面 ABC，4 2

5、 且 PA=2，设平面过 PF 且与 AE 平行，则 AE 与平面间的距离为 14棱长都为 2 的直平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，BAD=60，则对角线 A1C 与侧 面 DCC1D1所成角的余弦值为_. 3 3、解答题解答题: :本大题共本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分。分。解答需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤解答需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤. .15如图，直三棱柱，底面中，CACB1，棱，111CBAABC ABCo90BCA21AAM、N 分别 A1B1、A1A 是的中点 (1) 求 BM 的长； (2) 求的值； 11,cosCBBA(3)

6、 求证：NCBA1116如图，三棱锥 PABC 中， PC平面 ABC，PC=AC=2，AB=BC，D 是 PB 上一点， 且 CD平面 PAB(1) 求证：AB平面 PCB；(2) 求异面直线 AP 与 BC 所成角的大小； (3)求二面角 C-PA-B 的大小的余弦值17如图所示，已知在矩形 ABCD 中，AB=1，BC=a（a0） ，PA平面 AC，且 PA=1 （1）试建立适当的坐标系，并写出点 P、B、D 的坐标； （2）问当实数 a 在什么范围时，BC 边上能存在点 Q， 使得 PQQD？ （3）当 BC 边上有且仅有一个点 Q 使得 PQQD 时， 求二面角 Q-PD-A 的余弦

7、值大小18. 如图，在底面是棱形的四棱锥中，点 EABCDP,60aACPAABCoaPDPB2QPDCBAxyzB1C1A1C BAMNCDBAPE在上，且:2:1PDPEED (1) 证明 平面；PAABCD (2) 求以 AC 为棱，与为面的二面角的大小；EACDAC (3) 在棱 PC 上是否存在一点 F，使平面？证明你的结论BFAEC19. 如图四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，PG平面 ABCD，垂足为G，G 在 AD 上，且 PG4，BGGC，GBGC2，E 是 BC 的中点GDAG31(1)求异面直线 GE 与 PC 所成的角的余弦值； (2)求点 D 到平

8、面 PBG 的距离；(3)若 F 点是棱 PC 上一点，且 DFGC，求的值FCPF20.已知四棱锥 SABCD 的底面 ABCD 是正方形，SA底面ABCD，E 是 SC 上的任意一点(1)求证：平面 EBD平面 SAC；(2)设 SA4，AB2，求点 A 到平面 SBD 的距离；(3)当的值为多少时，二面角 BSCD 的大小为 120？SAAB理科立体几何训练题（理科立体几何训练题（B B）答案）答案 1 1、选择题选择题 题号12345678 答案BDDADBBC二、二、填空题填空题9. 1010 11. 45 12 13 14 4 592 34 5332 43三、解答题三、解答题 15

9、 解析：解析：以 C 为原点建立空间直角坐标系.xyzO(1) 依题意得 B（0，1，0） ，M（1，0，1） .3)01 () 10()01 (222 BMPAGBCDFExyzB1C1A1C BAMNABCDPxyz(2) 依题意得 A1（1，0，2） ，B（0，1，0） ，C（0，0，0） ，B1（0，1，2）.5,6, 3),2 , 1 , 0(),2 , 1, 1 (111111CBBACBBACBBA.1030,cos111111 CBBACBBACBBA(3) 证明：依题意得 C1（0，0，2） ，N.)0 ,21,21(),2, 1 , 1(),2 ,21,21(11NCBAN

10、CBANCBA1111, 0021 2116解析： (1) PC平面 ABC,平面 ABC，AB PCAB.CD平面 PAB，平面 PAB，ABCDAB又，AB平面 PCBCCDPCI(2 由(I) AB平面 PCB，PC=AC=2， 又AB=BC，可求得 BC=以 B 为原点，2如图建立坐标系则（,） ，（0,0,0） ，C（,0） ，P（,2） 222=(,2)，=(,0,0)APuu u r22BCuuu r2则=+0+0=2 AP BCuu u r uuu r22= cosAP,BCuu u r uuu rAP BCAPBCuu u r uuu ruu u ruuu r222221异面

11、直线 AP 与 BC 所成的角为 3（3）设平面 PAB 的法向量为 m= (x，y，z)=(0, ,0),ABuuu r2=(,2)，APuu u r22则 即解得令 z= -1,得 m= (，0，-1)AB0,AP0.uuu ruu u rmm20,2220.yxyz0,2yxz 2由 PC平面 ABC 易知：平面 PAC平面 ABC，取 AC 的中点 E，连接 BE，则为平面 PAC 的一个法向量，故平面 PAC 的法向BE )0 , 1 , 1 (22)0 ,22,22(BE量也可取为 n= (1，1，0) =. 二面角 C-PA-B 的大小的余弦值为cos,m nm nm n3323

12、23317解析：（1）以 A 为坐标原点，AB、AD、AP 分 别为 x、y、z 轴建立坐标系如图所示PA=AB=1，BC=a， P（0，0，1） ，B（1，0，0） ，zQPDCBAyxMNzyxBCDAPEFD（0，a，0） （2）设点 Q（1，x，0） ，则(1,0),( 1,1)DQxaQPx uuu ruuu r由，得 x2-ax+1=00DQ QPuuu ruuu r显然当该方程有非负实数解时，BC 边上才存在点 Q，使得 PQQD，故只须=a2-40 因 a0，故 a 的取值范围为 a2 （3）易见，当 a=2 时，BC 上仅有一点满足题意，此时 x=1，即 Q 为 BC 的中点

13、 取 AD 的中点 M，过 M 作 MNPD，垂足为 N，连结 QM、QN则 M（0，1，0） ， P（0，0，1） ，D（0，2，0） D、N、P 三点共线，(0,1,0)(0, 1,1)(0,1, ) 111MDMPMN uuu u ruuu ruuu u r又，且，(0,2, 1)PD uuu r0MNPDuuu u ruuu r故(0,1, )232(0,2, 1)0113 于是2 2(0,1, )1 23 3(0, , )25 513MN uuu u r故12(1,)55NQNMMQMNAB uuu ruuuu ruuu u ruuu u ruuu r，1202()( 1)()055

14、PDNQ uuu ruuu r（资料来源：）PDNQuuu ruuu rMNQ 为所求二面角的平面角，6cos6| |NMNQMNQNMNQuuuu ruuu r uuuu ruuu rg注：该题还有很多方法解决各个小问，以上方法并非最简.18 解析：解析：（1）传统方法易得证明（略）（2）传统方法或向量法均易解得；o30 （3）解 以 A 为坐标原点，直线分别为 y 轴、z 轴，过 A 点垂直于平面 PAD 的直APAD, 线为 x 轴，建立空间直角坐标系（如图） 由题设条件，相关各点的坐标为)0 ,21,23(),0 ,21,23(),0 , 0 , 0(aaCaaBA)31,32, 0(), 0 , 0(),0 , 0(aaEaPaD所以，AE)31,32, 0(aaAC)0 ,21,23(aaAP), 0 , 0(aPC),21,23(aaa，设点 F 是棱上的点，其中，则BP),21,23(aaaPCPCPF),21,23(aaa10令得)1 (),1 (21),1(23(aaaPFBPBFAEACBF212211