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1、1一、等差等比数列基础知识点一、等差等比数列基础知识点（一）知识归纳： 1概念与公式：等差数列：1.定义：若数列称等差数列；),(1nnnnadaaa则常数满足2.通项公式：;)() 1(1dknadnaakn3.前 n 项和公式：公式：.2) 1( 2)(11dnnnaaanSn n等比数列：1.定义若数列（常数） ，则称等比数列；2.通项公式：qaaann n1满足na3.前 n 项和公式：当 q=1 时;1 1kn kn nqaqaa),1(1)1 ( 111qqqa qqaaSn n n.1naSn2简单性质：首尾项性质：设数列,:321nnaaaaaL1.若是等差数列，则na;231
2、21Lnnnaaaaaa2.若是等比数列，则na.23121Lnnnaaaaaa中项及性质：1.设 a，A，b 成等差数列，则 A 称 a、b 的等差中项，且;2baA2.设 a,G,b 成等比数列，则 G 称 a、b 的等比中项，且.abG设 p、q、r、s 为正整数，且, srqp1. 若是等差数列，则na;srqpaaaa2. 若是等比数列，则na;srqpaaaa顺次 n 项和性质：1.若是公差为 d 的等差数列，组成公差为 n2d 的等差数列；na nknnknnkkkkaaa121312,则2. 若是公差为 q 的等比数列，组成公差为 qn的等比数列.（注意：当 q=1，nna n
3、knnknnkkkkaaa121312,则为偶数时这个结论不成立）若是等比数列，na2则顺次 n 项的乘积：组成公比这的等比数列.nnnnnnnaaaaaaaaa3221222121,LLL2nq若是公差为 d 的等差数列,na1.若 n 为奇数，则而 S 奇、S偶指所有奇数项、所有,:(21nnaaaaSSnaS中中中偶奇中即指中项注且偶数项的和） ；2.若 n 为偶数，则.2ndSS奇偶（二）学习要点： 1学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意公差 d0 的等差数列的通项公式是项 n 的一 次函数 an=an+b;公差 d0 的等差数列的前 n 项和公式项数 n 的没有常数
4、项的二次函数 Sn=an2+bn;公比 q1 的等 比数列的前 n 项公式可以写成“Sn=a(1-qn)的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的. 2解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要 证明的性质解题. 3巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m（或a-m,a,a+m） ”三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq2(或，a,aq)”四数成等差数列，可设四数为“qa”四数成等比数列，可设四数为“);3,3(3,2,mamamamamamamaa或”等等；类似的经验还很多，应在
5、学习中总结经验.),(,3 332aqaqqa qaaqaqaqa或例 1解答下述问题：（）已知成等差数列，求证：cba1,1,1（1）成等差数列；cba bac acb,（2）成等比数列.2,2,2bcbba解析该问题应该选择“中项”的知识解决，.2,2,2,)2(4)(2)2)(2)(2(;,.)(2 )()(2)() 1 (),(222112222222成等比数列成等差数列bcbbabbcabacbcbacba bac acbbca cabcaaccacab acabacbc cba acbcabacbacca bcaQQ评析判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”
6、性质、根据“定义”判断，. 3（）等比数列的项数 n 为奇数，且所有奇数项的乘积为 1024，所有偶数项的乘积为，求项数 n.2128解析设公比为2421281024,142531nn aaaaaaaqLLQ) 1 (24211n qa. 7,235 25,2)2() 1 (,2)(2) 1(221281024235 25 235 211235 321 1235321nnqanqaaaaannnn得代入得将而LL（）等差数列an中，公差 d0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：,17, 5, 1,32121kkkaaa nkkk其中恰为等比数列L求数列.项和的前nkn解析,1712 5175
7、1aaaaaa成等比数列Q. 1313132, 132) 1(2) 1(323, 34,2, 00)2()16()4(1111 1111511112 1nnSnkkdkddkaadaaada aaqadaddaddaadannnnn nnnknn kknnn项和的前得由而的公比数列Q评析例 2 是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功. 例 3解答下述问题： （）三数成等比数列，若将第三项减去 32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去 4，又成等比数列， 求原来的三数. 解析设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单， 设等差数列的三项分别为 ad,
8、a, a+d，则有.9338,926,9250,10, 2,92610,388, 06432316803232)()4()32)(22222或原三数为或得或adddddaadddadaaadada（）有四个正整数成等差数列，公差为 10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数.，4解析设此四数为,)15(15, 5, 5,15aaaaa 2521251,2551251125,125)(45004)()2()15()5()5()15(2222222amamamamamamamamamammaNmmaaaa且均为正整数与QQ解得所求四数为 47，57，67，77),(1262不合或aa评析巧
9、设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是 主要方法.二、等差等比数列练习题二、等差等比数列练习题一、 选择题1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ）（A）为常数数列 （B）为非零的常数数列 （C）存在且唯一 （D）不存在2.、在等差数列中，,且,成等比数列，则的通项公式为 （ ） na41a1a5a13a na（A） （B） （C）或 （D）或13 nan3 nan13 nan4na3 nan4na3、已知成等比数列，且分别为与、与的等差中项，则的值为 （ ）cba,yx,abbcyc xa（A） （B） （C） （D） 不
10、确定21224、互不相等的三个正数成等差数列，是 a,b 的等比中项，是 b,c 的等比中项，那么，三个数（ ）cba,xy2x2b2y（A）成等差数列不成等比数列 （B）成等比数列不成等差数列（C）既成等差数列又成等比数列 （D）既不成等差数列，又不成等比数列5、已知数列的前项和为,则此数列的通项公式为 （ ） nannSnnSn242 12（A） （B） （C）（D）22 nan28 nan12n nannan26、已知，则 （ ）)(4)(2zyyxxz（A）成等差数列 （B）成等比数列 （C）成等差数列 （D）成等比数列zyx,zyx,zyx1,1,1 zyx1,1,17、数列的前项和
11、，则关于数列的下列说法中，正确的个数有 （ ） nan1n naS na一定是等比数列，但不可能是等差数列 一定是等差数列，但不可能是等比数列 可能是等比数列，也可能是等差数列 5可能既不是等差数列，又不是等比数列 可能既是等差数列，又是等比数列（A）4 （B）3 （C）2 （D）18、数列 1,前 n 项和为 （ ）,1617 ,815 ,413 ,21（A） （B） （C） （D）1212nn21 2112nn1212nnn21 2112nnn9、若两个等差数列、的前项和分别为 、，且满足，则的值为 （ ） na nbnnAnB5524 nn BAnn135135 bbaa （A） （B）
12、 （C） （D）97 78 2019 8710、已知数列的前项和为,则数列的前 10 项和为 （ ） nan252nnSn na（A）56 （B）58 （C）62 （D）6011、已知数列的通项公式为, 从中依次取出第 3，9，27，3n, 项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数 na5 nan na列的前 n 项和为 （ ）（A） （B） （C） （D）2)133(nn53 n 23103nn231031nn12、下列命题中是真命题的是 ( )A数列是等差数列的充要条件是() naqpnan0pB已知一个数列的前项和为,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列 nanabnanSn2C数列是等比数列的充要条件 na1n nabaD如果一个数列的前项和,则此数列是等比数列的充要条件是 nancabSn n) 1, 0, 0(bba0 ca二、填空题二、填空题13、各项都是正数的等比数列，公比,成等差数列，则公比= na1q875
