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1、學傳播31卷4, pp. 43-56線性代數五講一一第三講 線性變換龔昇張德健3.1. (性換的矩陣 示在第一、 第二講中, B們作到線?代們共導究線?空間 (向量空間), 模和其上線?變換以及與之關?問題?要學學科。 在第二講中討論了向量空間和其上線?泛函及對偶空間, 其上雙線?型?、 二?型?及?量向量空間, 交?何和:?何分類, 還論大家十分熟悉內積空間。 在這一講中將討論向量空間上線?變換以及與之關?共軛算子及伴隨算子。設 V 及 W 分別共體 F 上n 維與 m 維向量空間。 在這一節中要證記?個 T L(V,W) 與 Mm,n(F) 中一個矩 對。 這就共 T 在 Mm,n(F)
2、中矩 表?。 不但如,還要證記 L(V,W), Mm,n(F) u 同構, F以對 L(V,W) 討論就共對 Mm,n(F) 討論。若 T L(V,W), B = b1,.,bn 與 C = c1,., cm 分別共 V 與 W 基?, 任給 v V, 則 v 在基?B 下座 vB= v1,.,vnT,T( v) 在基?C 下座T( v)C= s1,.,smT.ku 對kT, 在 Fn與 Fm之間論一線?變換TA: vB T( v)C,TA L(Fn,Fm),即對kT, 一 m n 矩A, 使)T( v)C= A vB.在來向定 A。 記 A = A1,.,An, 這裡 Aj, j = 1,.
3、,n 列向量。 取 v =bj, j =1,.,n, 則立即)到 Aj= T(bj)C, A =?T(b1)C,.,T(bn)C?.4344b學傳播31卷496?12記 A TB,C, kuT( v)C= TB,C vB.TB,C即V 基?B, W 基?C v, T 矩 表?。 k共可以定義映射 : L(V,W) Mm,n(F)(T) = TB,C。 B們在來證記這話一個同構映射。 先證 線?映射: 若 , F,T, S L(V,W), 則對 j = 1,.,n, ?(T + S)(bj)?C=?(T)(bj) + (S)(bj)?C= ?T(bj)?C+ ?S(bj)?C.(T+S) =?T
4、+S?B,C= ?T?B,C+?S?B,C= (T) + (S)即 線?映射。其B們來證 映A: 若 A 一個 n n 矩 , 且可寫A?A1,.,An?, 這裡Aj,j = 1,.,n 列向量, 定義 T : V W, 使)?T(bj)?C=Aj, j = 1,.,n, 這話可以做到, 映A。出(B們來證 一對一: k?T?B,C= 0, 導出?T(bj)?C= 0, j = 1,.,n, 又導出 T(bj) =0, j = 1,.,n, = 0。 因, u 一個同構映射。 B們)到下面?定:定理 3.1.1: L(V,W) Mm,n(F)。T 矩 表?還可以導出: 若 S : U V 及
5、T : V W, 且 B, C 與 D 分別U 、 V 及 W 基?, 則?T S?B,D=?T?C,D?S?B,C.因, T S 矩 表? ?T 與 S 矩 表?之乘積。驗證如下: k u U, v V v, ?S( u)?C=?S?B,C? u?B,及?T( v)?D=?T?C,D? v?C,?T?C,D?S?B,C? v?C=?T?C,D?S( u)?C=?T(S( u)?D=?TS?B,D? u?B.線?代們五講45假設 T L(V,W)。 B們在來討論?V 與 W 基?變換v, T 矩 之間?關係。 若 B 與 C 分別共 V 與 W 基?, B與 C也分別共 V 與 W 基?, T
6、 對基?B與 C 及 B與 C分別列矩 表?T?B,C及?T?B,C, ku: 對任些 v V, 下?A立:?T( v)?C=?T?B,C? v?B,?T( v)?C=?T?B,C? v?B.(3.1.1)在第二講中?討論過, 對任些 v V, B們列:? v?B= MB,B? v?B,?T( v)?C= MC,C?T( v)?C.將這兩等?代入 (3.1.1), B們便)到?T( v)?C= MC,C?T( v)?C= MC,C?T?B,C? v?B.而?T( v)?C=?T?B,C? v?B=?T?B,CMB,B?T( v)?B. k v V 中任些向量, ?T?B,CMB,B= MC,C
7、?T?B,C,也就共?T?B,C= MC,C?T?B,CM1 B,B.換句話說,?T?B,C與?T?B,Cu等價。 別學 V = W 及 T L(V), 且 B = C 與 B= Cv,?T?B,B=?T?B,?T?B,B=?T?B, ku ?T?B= MB,B?T?BM1 B,B,也就共說?T?B與?T?Bu似。 在第五講中B們將討論 T 在似些義下分類。3.2. 伴?子線?變換 T L(V,W), 可以導出各種與之關?線?變換來。 在這一節中先來定義與討論在一般向量空間上線?變換伴隨算子。若 T L(V,W), 可定義 W 對偶空間 W到 V 對偶空間 V映射 T:W VT(f) = f
8、T = fT,f W.46b學傳播31卷496?12這話論?義?, 因T : V W, f : W F, fT : V F, ku? kV, 即對任些 v V, B們列:T(f)( v) = f(T( v).T稱?T 伴隨算子。 B們非算容內證記下面?命題。命題3.2.1: (1). 對任些 T,S L(V,W), (T + S)= T+ S.(2). 對任些 F 及 T L(V,W), (T)= T.(3). 對任些 T L(V,W) 及 S L(W,U), (S T)= T S.(4). 對任些可任之 T L(V), (T1)= (T)1.證明:(1) 與 (2) u A 立?。 對kf
9、U,(S T)(f) = f S T = T(fS) = T(S(f) = (T S)(f),)(3)。 (3), B們將T(T1)= (T1T)= I= I,這裡 I 恆等映射。 同(T1)T= I, )(3)。 命題因而證畢。命題3.2.2: 若 V 限維向量空間, T L(V,W), 且假設 V與 V 等同, W與 W等同, 則 T= T。證明: 定義, T: V W。 對任些 f W, B們列T( v)(f) = vT(f) = v(fT) = fT( v) = T( v)(f),這裡 v2.2節中定義: v v 而來, v V, 定義? v(g) = g( v), 這裡 g V。上?
10、即)T( v) = T( v).線?代們五講47如V與 V 等同, W與 W 等同, 則上?即T( v) = T( v)對F列 v V 都自立, T= T, 命題因而證畢。外, 伴隨算子與2.2節中定義?關化子還論以下一些結?。命題3.2.3: 若 T L(V,W), 則(1) ker(T) = Im(T);(2) Im(T)= ker(T);(3) V 與 W 均列限維向量空間?, Im(T) = ker(T)。證明: 定義, T : V W, T: W V, f ker(T) T(f) = 0 = fT f(T( v) = 0, v V f(Im(T) = 0 f Im(T).這就證記了
11、(1)。 k v ker(T) T( v) =0 f(T( v) = 0, f W T(f)( v) = 0 v(T(f) = 0, f W v Im(T).若 V與 V 等同, B們便證記了 (2)。出(來證記 (3)。 對F列 v ker(T), f W, T(f)( v) = f(T( v) = 0.F以 T(f)(ker(T) = 0, 即 T(f) ker(T), 這裡對F列f W都自立, Im(T) ker(T).若向量空間?論限維, 則命題2.2.4以及上代 (2), B們)到:Im(T) Im(T) ker(T).48b學傳播31卷496?12因, Im(T) = ker(T)
12、。 命題因而證畢。還可)到如下命題。命題3.2.4: 若 T L(V,W), V 與 W 均列限維向量空間, 則 T 與 T秩足rank(T) = rank(T)。證明: 命題 2.2.6 中(1) 道ker(T)?ker(T)c?,這裡 ker(T)cker(T) 在 V 中餘集。 另一解面, 命題3.2.3中(3), Im(T) =ker(T), dim(Im(T) = dim?ker(T)?= dim?ker(T)c?= dim?ker(T)c?= dim?Im(T)?,這話因ker(T)c Im(T)。 k共rank(T) = rank(T), 命題因而證畢。若 V 與 W 均列限維向
13、量空間, T L(V,W), T L(W,V), B = b1,.,bn與 C = c1,., cn 分別V 與 W 基?, 而 B= b1,.,bn 與 C= c1,., c n 分別對偶基?, kuT 矩 表?T?B,C, T矩 表?T? C,B, 這兩個矩 之間關 係如何?T?B,C=?T(b1)C,.,T(bn)C?,及?T? C,B=?T( c1)B,.,T( c n)B?, kT(bj) W, 在基?C 下, 這可表? ?T(bj) = (j)1 c1+ (j)2 c2+ + (j)n cn,即 T(bj)C=?(j)1 (j)n?T, j = 1,.,n, ku?T?B,C=(1)1(n)1 (1)2(n)2.(1)n(n)n.線?代們五講49 kT( c j) V, 在基?B下, 這可表? ?T( c j) = (j) 1b1+ (j) 2b2+ + (j) nbn,即 T( cj)B=?(j)1 (j)n?T, j = 1,.,n, ku?T? C,B=(1)1(n)1 (1)2(n)2.(1)n(n)
