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1、 71第六章 点的运动学第六章 点的运动学 6-1 图6-1所 示 为 曲 线 规 尺 的 各 杆 ， 长 为mm 200= ABOA，mm 50=AEACDECD。如杆 OA 以等角速度rad/s 5=绕 O 轴转动，并且当运动开始时， 杆 OA 水平向右， 求尺上点 D 的运动方程和轨迹。 解解 如图所示tAOB=，则点 D 坐标为 tOAxDcos=，tACtOAyDsin2sin= 代入数据，得到点 D 的运动方程为： mm 5cos200tx =，mm 5sin100ty = 把以上两式消去 t 得点 D 轨迹方程： 1100004000022 =+yx（坐标单位：mm） 因此，D
2、点轨迹为中心在（0，0） ，长半轴为 0.2 m，短半轴为 0.1 m 的椭圆。 6-2 如图 6-2 所示，杆 AB 长l，以等角速度绕点 B 转动，其转动方程为t=。而与杆连接的滑块 B 按规律tbassin+=沿水平线作谐振动，其中a和b为常数。求点 A 的轨迹。 解解 =+=tlytltbaxAA cossinsin即 =+=tlytlbaxAA cossin)()(即 =+tlytlbaxAAcossin上两式两边平方后相加，得 1)()(2222 =+ ly lbaxAA（点 A 的轨迹为椭圆） 6-3 如图 6-3 所示，半圆形凸轮以等速m/s 01. 00=v沿水平方向向左运动
3、，而使活塞杆 AB 沿铅直方向运动。当运动开始时，活塞杆 A 端在凸轮的最高点上。如凸轮的半径 mm 80=R，求活塞上 A 端相对于地面和相对于凸轮的运动方程和速度，并作出其运动图 和速度图。 （a） （b） 图 6-3 图 6-1 图 6-2 72解解 1）A 相对于地面运动 把直角坐标系xOy固连在地面上，如图 6-3b 所示，则 A 点的运动方程为 0=x，m 6401. 0222 02ttvRy=（80t） A 的速度 0=xvx&，m/s 6401. 02ttyvy = &A 的运动图（ty 曲线）及速度图（tvy曲线）如图 6-3b 的左部。 2）A 相对于凸轮运动 把直角坐标系
4、yOx固连于凸轮上，则点 A 的运动方程为 m 01. 0ttvxO=，m 6401. 02ty=（80 t） A 相对于凸轮的速度 m/s 01. 0= xvx&，m/s 6401. 0 2 ttyvy = &运动图（ty 及tx 曲线）及速度图（tvy及tvx曲线）如图 6-3b 的中右部所示。 6-4 图 6-4 所示雷达在距离火箭发射台为 l 的 O 处观察铅直上升的火箭发射， 测得角的规律为kt=（k 为常数） 。试写出火箭的运动方程并计算当6=和3时，火箭的速度和加速度。 解解 如图 6-4 所示在任意瞬时 t 火箭的坐标为 lx=，ktllytantan= 这就是火箭的运动方程。
5、 分别对 t 求一次及二次导数： 0=x&，0=x& &； ktlky2sec=&，ktktlkytansec222=& & 当6= kt时，lkv34=，2 938lka = 当3= kt时，lkv4=，238lka = 6-5 套管 A 由绕过定滑轮 B 的绳索牵引而沿导轨上升， 滑轮中心到导轨的距离为 l， 如 图 6-5 所示。设绳索以等速 v0拉下，忽略滑轮尺寸，求套管 A 的速度和加速度与距离 x 的关 系式。 解解 设绳段 AB 原长0s，在任意瞬时长度为 s，则 tvssBA00=，0ddvts= （1） 又设Ox轴的原点 O，方向如图。由几何关系知： 22xls+=， 22d
6、dxlxx ts+=&（2） 由 式 （ 1 ）、（ 2 ） 解 得 套 管A的 速 度 ： xxlvx22 0+=& 加速度：322 0 xlvxa=& & 图 6-4 图 6-5 736-6 如图 6-6a 所示，偏心凸轮半径为 R，绕 O 轴转动，转角t=（为常量） ，偏心距 OC=e，凸轮带动顶杆 AB 沿铅垂直线作往复运动。试求顶杆的运动方程和速度。 （a） （b） 图 6-6 解解 建立如图 6-6b 所示直角坐标系xOy，设初始瞬时0=，在任意瞬时 A 点纵坐标 为 22CDACODDAODOAy+=+= 即 teRtey222cossin+= 此即顶杆 AB 的运动方程。把运动
7、方程对 t 求导，得顶杆速度得 cos22sincos coscossin2 21cos 2222222teRtete teRtteteyv += += &6-7 图示摇杆滑道机构中的滑块 M 同时在固定的圆弧槽 BC 和摇杆 OA 的滑道中滑动。 如弧 BC 的半径为 R，摇杆 OA 的轴 O 在弧 BC 的圆周上。摇杆绕 O 轴以等角速度转动， 当运动开始时，摇杆在水平位置。试分别用直角坐标法和自然法给出点 M 的运动方程，并 求其速度和加速度。 (a) (b) 图 6-7 解解 （1）坐标法 建立如图 6-7b 所示的坐标系yxO1，由于tAOx=，则txMO21= 故 M 点的运动方程
8、为 tRx2cos=，tRy2sin= 于是 tRx2sin2=&，tRy2cos2=& tRx2cos42=& &，tRy2sin42=& & 74故得 Ryxv222=+=& 及 2224Ryxa=+=& & & （2）自然法 当0=t时，M 点在 M0点处，以 M0为弧坐标 M0 M 的原点，如图 6-7a 所示。 tRMMORsMM2010=)M 点运动方程：tRs2= M 点的速度：Rsv2=& M 点的加速度：0t= sa& &，RRva22n4=，Ra24= 6-8 如图 6-8a 所示，OA 和 O1B 两杆分别绕 O 和 O1轴转动，用十字形滑块 D 将两杆 连接。在运动过程
9、中，两杆保持相交成直角。已知：aOO =1；kt=，其中 k 为常数。 求滑块 D 的速度和相对于 OA 的速度。 (a) (b) 图 6-8 解解 建立如图 6-8b 所示的坐标系xOy。 由于21=ODO，所以aOD=ktacoscos= 滑动 D 的运动方程为 )2cos1 (2coscosktaktktax+= )2sin2sincosktaktktay= 则 ktakx2sin=&，ktaky2cos=& akyxv=+=22& 滑块 D 相对 OA 的速度 ktaktODvsind)(dr= 6-9 曲柄 OA 长r， 在平面内绕 O 轴转动， 如图 6-9 所示。 杆 AB 通过
10、固定于点 N 的套筒与曲柄 OA 铰接于点 A。设t=，杆 AB 长rl2=，求点 B 的运动方程、 速度和加速度。 解解 rl2= =+=2cos)2sin2(2sin)2sin2(ttrlyttrlrx即 图 6-9 75 =+=+=+=+=)2cos2(sinsin2cos)2sin2(coscos2sin2sin22sin2ttrtrtlyttrtrtltrtlrx +=+=)2sin(cos2sin2cos)sin2(cossin2cos2 ttrtltryttrtrtlx&2sin2222tryxv=+=& =+=+=)sin22(cos2)2cos2sin()cos22(sin2
11、)cos2sin2(22ttrttryttrttrx& & &2sin4522 22tryxa=+=& & & 6-10 点 沿 空 间 曲 线 运 动 ， 在 点 M 处 其 速 度 jiv34 +=，加速度a与速度v的夹角= 30，且2m/s 10=a。试计算轨迹在该点密切面内的曲率半径和切向加速度ta。 解解 ()m/s 5m/s 342222=+=+=yxvvv 2 nm/s 530sin10sin=aa m 5m 552n2 = =av 2 tm/s 66. 8cos=aa 6-11 小环 M 由作平动的 T 形杆 ABC 带动， 沿着图 6-11 所示曲线轨道运动。 设杆 ABC的
12、速度 v=常数，曲线方程为pxy22=。试求环 M 的速度和加速度的大小（写成杆的位移 x 的函数） 。 解解 由图 6-11 得环 M 的运动方程 vtx= pvtpxy22= 速度：由于vx =&，ypvpxpvy=2& xpvyxvM2122+=+=& 加速度： 由于0=x& &，xp xv yvvpy2 422=& & xp xvyaM2 42 =& & 图 6-10 图 6-11 766-12 如图 6-12 所示，一直杆以匀角速度0绕其固定端 O 转动，沿此杆有一滑块以匀速0v滑动。设运动开始时，杆在水平位置，滑块在点 O。求滑块的轨迹 （以极坐标表示） 。 解解 以O为原点，建立
13、极坐标，M 点运动方程为 tvr0=，t0= 由上式消去 t，得轨迹方程：00vr = *6-13 如果上题中的滑块 M 沿杆运动的速度与距离 OM 成正比，比例常数为 k，试求 滑块的轨迹（以极坐标 r，表示，假定0=时0rr =） 。 解解 根据题意 krr =& 故 tkrrdd= 两边积分 =trrtkrdr0d0得 ktrre0= 把t=代入上式得滑块的轨迹方程 kerr0= *6-14 如图 6-13 所示螺线画规的杆QQ和曲柄 OA 铰接， 并穿过固定于点 B 的套筒。取点 B 为极坐标系的极点，直线 BO 为极轴，已知极角kt=（k为常数） ，BO=AO=a， AM=b。试求点
14、 M 的极坐标形式的运动方程、轨迹方程以及速度和加速度的大小。 解解 依题意 M 点的运动方程为： acoktbr2+=，kt= 消去 t 得轨迹方程：cos2abr+= 因此，M 点的轨迹为一螺旋线。由于 ktaktrvrsin2dd= kbktaktrv+=cos2dd因此速度为 ktabbakvvvrcos442222+=+=由于 bkktaktrtrar222 22 cos4)dd(dd=ktaktrtrasin4)dd(dd122=加速度为 ktabbakaaarcos81622222+=+=*6-15 图 6-14 所示搅拌器沿 z 轴周期性上下运动， ftzz2sin0=，并绕 z 轴转动，转角t=。设搅拌轮半径为r，求轮缘上点 A 的最大加速度。 解解 =&，2rar= 图 6-12 图 6-13 图 6-14 77ftfzz2sin)2(2 0=& &，22 0m
