《2018版高考数学（理）（北师大版）大一轮复习讲义：第六章 《数列》 6.2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高考数学（理）（北师大版）大一轮复习讲义：第六章 《数列》 6.2（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1等差数列的定义从第 2 项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母_d_表示2等差数列的通项公式若首项是 a1，公差是 d，则这个等差数列的通项公式是 ana1(n1)d.3等差中项如果在 a 与 b 中间插入一个数 A，使 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫作 a 与 b 的等差中项4等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN)(2)若an为等差数列，且 klmn(k，l，m，nN)，则 akalaman.(3)若an是等差数列，公差为 d，则a2n也是等差数列，公差为 2d.(4)若an，bn是等差
2、数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为 d，则 ak，akm，ak2m，(k，mN)是公差为 md 的等差数列(6)数列 Sm，S2mSm，S3mS2m，(mN)构成等差数列5等差数列的前 n 项和公式设等差数列an的公差为 d，其前 n 项和 Sn或 Snna1d.na1an2nn126等差数列的前 n 项和公式与函数的关系Sn n2n.d2(a1d2)数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B 为常数)7等差数列的前 n 项和的最值在等差数列an中，a10，d0，则 Sn存在最小值【知识拓展】等差数列的四种判断方法(1)定义法：an1and(d 是常数)an是等差数列
3、(2)等差中项法：2an1anan2 (nN)an是等差数列(3)通项公式：anpnq(p，q 为常数)an是等差数列(4)前 n 项和公式：SnAn2Bn(A，B 为常数)an是等差数列【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列( )(2)等差数列an的单调性是由公差 d 决定的( )(3)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数( )(4)已知等差数列an的通项公式 an32n，则它的公差为2.( )1在等差数列an中，若 a24，a42，则 a6等于( )A1 B0 C1 D6答案
4、B解析 由等差数列的性质，得 a62a4a22240，故选 B.2(教材改编)设数列an是等差数列，其前 n 项和为 Sn，若 a62 且 S530，则 S8等于( )A31 B32 C33 D34答案 B解析 由已知可得Error!解得Error!S88a1d32.8 723(2016全国乙卷)已知等差数列an前 9 项的和为 27，a108，则 a100等于( )A100 B99 C98 D97答案 C解析 由等差数列性质，知 S99a527，得 a53，而 a108，因此公9a1a929 2a52差 d1，a10a5105a100a1090d98，故选 C.4(2016江西玉山一中模拟)
5、已知数列an是等差数列，其前 n 项和为 Sn，若a3a4a59，则 S7等于( )A21 B28 C35 D42答案 A解析 a3a4a59，a43，S77a421，故选 A.5若等差数列an满足 a7a8a90，a7a103)，Sn100，则 n 的值为( )A8 B9C10 D11答案 C解析 由 SnSn351，得 an2an1an51，所以 an117，又 a23，Sn100，解得 n10.na2an124(2017北师大附中质检)九章算术 “竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第五节的容积
6、为( )A1 升 B.升6766C.升 D.升47443733答案 B解析 设竹子自上而下各节的容积分别为 a1，a2，a9，且为等差数列，根据题意得 a1a2a3a43，a7a8a94，即 4a16d3，3a121d4，43 得 66d7，解得 d，把 d代入，得 a1，7667661322则 a5(51)1322766.67665已知数列an满足 an1an ，且 a15，设an的前 n 项和为 Sn，则使得 Sn取得最大57值的序号 n 的值为( )A7 B8C7 或 8 D8 或 9答案 C解析 由题意可知数列an是首项为 5，公差为 的等差数列，所以 an5 (n1)5757，该数列
7、前 7 项是正数项，第 8 项是 0，从第 9 项开始是负数项，所以 Sn取得最大值时，405n7n7 或 n8，故选 C.6.设等差数列an满足 a11，an0(nN)，其前 n 项和为 Sn，若数列也为等差数Sn列，则的最大值是( )Sn10a2 nA310 B212C180 D121答案 D解析 设数列an的公差为 d，依题意得 2，S2S1S3因为 a11，所以 2，2a1da13a13d化简可得 d2a12，所以 an1(n1)22n1，Snn2n2，nn12所以()2Sn10a2 nn1022n12n102n12122n12122n12121，14(1212n1)故选 D.7(20
8、15安徽)已知数列an中，a11，anan1 (n2)，则数列an的前 9 项和等于12_答案 27解析 由题意知数列an是以 1 为首项，以 为公差的等差数列，12S991 91827.9 82128已知数列an中，a11 且 (nN)，则 a10_.1an11an13答案 14解析 由已知得(101) 134，1a101a113故 a10 .149设数列an的通项公式为 an2n10(nN)，则|a1|a2|a15|_.答案 130解析 由 an2n10(nN)知an是以8 为首项，2 为公差的等差数列，又由an2n100，得 n5，当 n5 时，an0，当 n5 时，an0，|a1|a2
9、|a15|(a1a2a3a4)(a5a6a15)20110130.10设等差数列an，bn的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若对任意自然数 n 都有，SnTn2n34n3则的值为_a9b5b7a3b8b4答案 1941解析 an，bn为等差数列，.a9b5b7a3b8b4a92b6a32b6a9a32b6a6b6，S11T11a1a11b1b112a62b62 1134 1131941.a9b5b7a3b8b4194111在等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前 k 项和 Sk35，求 k 的值解 (1)设等差数列an的公差为 d，则 ana1(n1)
10、d.由 a11，a33，可得 12d3，解得 d2.从而 an1(n1)(2)32n.(2)由(1)可知 an32n，所以 Sn2nn2.n132n2由 Sk35，可得 2kk235，即 k22k350，解得 k7 或 k5.又 kN，故 k7.12若数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 an2SnSn10(n2)，a1 .12(1)求证：数列是等差数列；1Sn(2)求数列an的通项公式(1)证明 当 n2 时，由 an2SnSn10，得 SnSn12SnSn1，所以2，1Sn1Sn1又2，1S11a1故是首项为 2，公差为 2 的等差数列1Sn(2)解 由(1)可得2n，Sn.1Sn12n
11、当 n2 时，anSnSn112n12n1n1n2nn1.12nn1当 n1 时，a1 不适合上式12故 anError!13.已知数列an的各项均为正数，前 n 项和为 Sn，且满足 2Sna n4(nN)2 n(1)求证：数列an为等差数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明 当 n1 时，有 2a1a 14，2 1即 a 2a130，2 1解得 a13(a11 舍去)当 n2 时，有 2Sn1an5，2n1又 2Sna n4，2 n两式相减得 2ana a1，2 n2n1即 a 2an1a，也即(an1)2a，2 n2n12n1因此 an1an1或 an1an1.若 an1an1，则 anan11.而 a13，所以 a22，这与数列an的各项均为正数相矛盾，所以 an1an1，即 anan11，因此数列an是首项为 3，公差为 1 的等差数列(2)解 由(1)知 a13，d1，所以数列an的通项公式 an3(n1)1n2，即 ann2.
