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1、 4 6 中学数 学月 刊 2 0 1 3年第 1 2期 一通向量数量积 考题触法昀萋角度搽穷 潘成 银 ( 江 苏省 南京 实验 学校2 1 0 0 1 9 ) 波利亚 曾说 ： “ 一个专心认 真备课 的老师能 够拿出 个有意义但又 不太 复杂 的题 目， 去 帮助 学生 发掘 问题 的 各个 方 面， 使 得通过 这道题 ， 就 好像一 道 门， 把学 生引 入 一个 完整 的理论 领域 ” 在浩瀚 无垠 的数学题 海里 ， 教 师 要 寻找这样 的题 目， 学习和借鉴 当然少 不了 ， 但 用心去 研 题是关键 教师不仅要研究和发掘 教材 中例题 、 习题 的教 学价值 ， 更要分析
2、和研究 学 生在作 业 和考试 中 的解题 思 维活动 ， 特别是解题的切人点和 思维受 阻原 因， 并在评讲 和订 正时通过一题 多解 探究 、 变式拓展 训练 ， 培养 和提高 学生的解题 能力 下 面通过 对一 道高 三模 拟试题 解法 的 多角度探 究 ， 抛砖 引玉 ， 希望 能引起 更多 的同仁 关注 ， 展 示更 多优秀的探究 案例 考题 ( 2 0 1 3年 江 苏省 常州市 高三第一 次模拟) 在平 面直角坐标 系 x O y 中， 圆 c： + 一 4 分 别交 _z轴正半 轴及 Y 轴 负半 轴 于 M ， N 两 点 ， 点 P为圆 C上 任意一 点 ， 则 P M P
3、 N 的 最 大 值 为 L j N 图 1 大多数学生的解法 ： 设 P( x， ) ， 由题意 z +y 一 4 ， 所 以P M PN 一 ( 2一 z， 一 )( - z， 一 2一 )一 z 。+ y 。 一 2 x+ 2 y 一 4 2 z+ 2 面对二元最值 ， 因不能进一步 消元 ， 解 题受阻 其实本题 的切人 点较 多 ， 并且 同一个 切入 点之后 的 进一步化简方法也不唯一 经 过探究 ， 发 现本题是 一道典 型的关于 向量数量积的好题 ， 作为 习题 教学 ， 是一 个十分 优秀的案例 师 ： 平 面向量本 身具有 “ 数 ” 、 “ 形”二重性 ， 利 用 向量
4、的坐标形式是解决 向量 问题 的基本 策 略之一 本题 在 已 经给 出坐标系 的前提下 ， 向量 的代 数运算更 易让人 接受 ， 所以 以坐标法为切入点方向正确 请 同学们思 考 ， 能否从 代数式的特征 出发 ， 多角度 分析 ， 充 分联想 ， 找到 进一步 的转化方法 ， 突破思维受阻 另外 向量 的数 量积还 有几何 运算 ， 结合 图形 特征 ， 能否找 到非坐标解 题方 法?请发挥 你 的聪 明才智 ， 看谁 的解法 多 、 解法 好 在独 立思 考的前 提下可 以进行适 当交流 经过学生 的独立思考 、 探 究和相互 交流 ， 以及 教师 的 适时引导 ， 得到以下解法 (
5、只整理解 法 ， 探究过程 不再呈 现 ) 1 在向量坐标形式下的探究 探 究 1 逆 向 思 维 ， 反 向代 入 消 元 ， 将 代 数 法 进 行 到 底 设 2 一z+ y= t ， 得 t +x一2 代入 圆 C： z + y 。一 4 ， 整理得 2 x 。+ 2 ( t 一 2 ) z+ ( t 一 4 t )一 0 此方程有解 ， 一 4 ( 一2 ) 一 8 ( t 。 一4 t ) 0 解得 2 2 t 2 +2 ， 当且仅当z一 一 ， 即 P的坐标为( 一 ， ) 时， 葡 一P N有最大值 4 +4 评注 将数量积转化为 函数最值 后 ， 由于条件 中圆 方程 为二
6、次， 不能代入 目标函数 的一次式进行 继续消元 此时采用逆 向代人 ， 把 目标 函数 的一 次式代人 圆方程 ， 使 得求 函数最值 问题 转化 为方程 有解 问题 ， 利用一 元二 次 方程有解条件建立不等式 ， 解不 等式求得 函数最值 探 究 2 借助 直线与 圆位置关 系， 呼应条件 设 2 一z+y t ， 则直线 2 一 +y= t 与圆 C： z + 0 Y 一 4有公共点 P， 于是 d一 2 ， 化 简得 2 2 42 f 2+2 ， 所以 一P N 的最大值为 4 +4 评注 通过坐标法将数量积的最值转化为关于变量 z， 的二元一 次函数最值 ， 利用二元一 次方程表示
7、直 线 ， 且这条直线与题设 中的圆有 公共点 ， 与题设 条件呼应 ， 有 “ 回家”的感觉 探究 3 数形反复转化 ， 构造 出一片新 天地 设 P( x， ) ， 则 P MP N ： ( 2一 z，一 ) ( - X， 一 2一 ) z + y 。 一 2 x+ 2 y一 ( z一 1 ) + ( + 1) 一 2 设点 C ( 1 ， 一1 ) ， 则( z一1 ) 。 + ( y +1 ) 的几何意义为 P， c两点间距 离的平方 因为 P( x ， ) 在 圆 C ： z 。 + y 。 一 4上 ， 所 以 I P C r +J l 2 + 评注 通过坐标法将平面向量数量积转化
8、为代数 中 的函数最值问题 ， 针对函数解析式 具有 的几 何特征 ， 构造 几何图形求解 函数最值 由几 何 到代 数然 后 回到几何 的 解题过程 ， 充分 体现数 学解 题的转 化思 想和 数形结 合 思 想 探究 4 二元最值 ， 基本不等式相助， 出奇制胜 PM PN 一 4 2 x+ 2 y= 4+ 2 ( 一 z+ ) 由基 本不等式 ( n +6 ) 2 ( a +b ) ， 得( 一z+ ) 。 2 ( x + )一 8 ，】 一z+y J 2 ， 当且 仅当 一 Y 0 ， 即z： 一 2， 一 2时等号成立， 所以( 一z+ ) 一 2 0 1 3年第 1 2期 中学数学
9、月刊 4 7 2 2 - 故P M P N 的最大值为 4 +4 2 评 注 对二元最值 问题 ， 除了消元和数形结合外 ， 有 时可 以适 当改变 函数 表达 式结 构 ， 使 之 符合利 用基 本 不 等式求最值条件 探究 5 借助参数 式 ， 别样 的风韵 ， 格外的精巧 因点 P在圆 C： z + Y 一 4上 ， 故 设 P( 2 c o s 0 ， 2 s i n ) ， 则P M PN ： ( 2 2 c o s 0 ， 一2 s i n目 ) ( 一 2 c o s 0 ， 一2 2 s i n )一 4 4 c o s 0 + 4 s i n 0 4 +4 2 s i n (
10、 0 7 “ - ) 4 + 4 当 0一 ， 即点 P坐标为 ( ， ) 时 ， 等 号成 - 立 所以P M P N 的最大值为 4 +4 , g 点评 设圆上点坐标为参 数式 ， 能使 数量 积的表 达 式避免 出现两个 变量 的 困扰 ， 并且 利 用三 角 函数变 换很 好地解决 了代数 运算 所不能 实 现 的解题 意 图 ， 解题 过程 十分精巧 通过建立坐标 系， 将向量数 量积坐标 化 ， 运用 解析法 将几何 问题转化 成基 本代 数 问题 ， 即求解 一类 代数 式 的 最值 将代 数式的抽象与几何 图形直 观相结合 ， 是数形结 合思想 的体 现， 从而使问题轻松获解
11、2 在 向量转化 中探究 利用 已知 向量 ( 位置确 定 、 长 度确 定或 夹角确 定)表 示动 向量 ， 实施 向量转化 ， 是 解决几 何 图形 中向量 问题 的 常用方法 探究 6 有 困难找 圆心 ， 实施 向量转化 ， 向量共 线一 锤 定 音 因为 O M 上 O N， O P = + + + 2 ， 所 以 P M P N 一 ( P O + + + oM )( P O+ oN)一 P O + + P O ( OM + ON )一 4+ 尸 O + ( OM + oN ) + 设 O M + O N O D， 如图 一 2 ，1 0 1 9 l 一 2 2 ， I Y 、 0
12、JM D 图 2 当 P坐标 为( , g， , g) 时， P O与OD同向， P O O D有最大值 4 2， 所以P M P N 取 最大 值 4 + 4 2 点评 借助 几何 图形 中定 向量P O， O M ， O N， 对所 求 向量进行分解 转化 ， 以定 向量来表 示动 向量 ， 从而减 少 运算量 、 思维量 ， 达到事半功倍 、 以静制动 的效果 ， 最 终使 问题轻 松解 决 探 究 7 牵手 弦中点 ， 结合 相反 向量 ， 解题再 次提 速 如图 3 ， 设 MN 的中点 为 Q， 则 一 一Q N PM PN 一 ( P Q+ Q M ) ( PQ+ Q N )一
13、尸Q 一 Q 一 一2 由 圆的性质 ， 当线段 P Q过 圆心时 ， 线段 P Q长达到最 大值， 最大值为2 + ， 所以 葡 的 最大值为4 +4 2 点评 三角形及其 中线 ， 是平行四边形 的“ 一半” ， 所 以 借助其 进 行 向量 合 成 ( 加 法) 或分解 ， 是 向量转 化 的一种 常 用方 法 通 过这 种 模式 ， 把数 量 积转 化为平方 差 ， 解题 十分 简捷 l L 图 3 3 在 向量数量 积的公式 a 6一 l a l l l C O S 0下探 究 向量数 量积使用向量的几何元素( 长 度、 夹 角) 定 义 ， 所 以求解与几何图形有关的 向量 数量积
14、 自然少 不了这种 思 路 探 究 8 联想 迁移 ， 借 力余 弦定理， 一l 样的风味 ， 一样 的 精 美 由 圆 的 性 质 ， L M P N 一 专 M 0 N 一 4 ( P 在 第 四 象 限 时， M P N一孥，葡 帝 B Q， 则 当 P点 在A处时， 葡 贰 最大， 最 大值为( C Q+r ) 一M N 。 ； 当 P点在B处时 ， 一P N 最 小 ， 最 小 值 为 ( a Q r ) 一 M N z Y 图 4 ( 2 ) 把圆类 比到直线或 区域 变式 2 P点是直线 z ： +b y +c 一 0 上任意一点 ， 定 点 M( x ， y ) ， N( x
15、z ， y z ) ， 求P M P N 的最大值和最小值 一 Y 0， l 变式 3 P点是 区域 3 2 +y一5 0 ， 内任意一点 ， 定 一3 o 点 M( 1 ， O ) ， N( 一1 ， O ) ， 求P M P N 的最大值和最小值 ( 3 )把平面向量类 比到空间向量 变式 4 P点是球面z。 +y + 。 一 R。 上任意一点 ， 定 点 M( x 1 ， Y 1 ， 1 ) ， N( x 2 ， y 2 ， z ) ， 求P M P N 的最 大值 和最小值 当然也可 以把球 面改为 空间 中的直线 、 平 面或 一个 几何体 以上问题都可以用探究 7的思路求解 ， 本 文不再 探讨 6 反思 ( 1 ) 精选例题 的主体性 解题教 学是 为
