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1、 笔 稻 舅 中学数学杂志2 O l 3 年第 1 2期 不 应 有 的 困 惑 ” 山东聊城第六中学 2 5 2 0 0 0 扈保洪 文 1 和文 2 均就几何题中“ 如图” 的用法这 一问题， 阐述了各自的观点 文 1 对怎样正确处理 “ 如图”与“ 无图”的问题感到困惑 ， 但倾 向于， 当几 何题中有“ 如 图”时 ， 应只按 “ 如图”求解 ； 文 2 则 认为， 几何题中的“ 如图” 有时会看不清， 应将其视 为草图， 解题时， 不能只考虑“ 如图”所代表的情况， 还应考虑符合题意的其他图形所代表的情况 读了文 1 、 文 2 后 ， 笔者受益匪浅， 但对两文 的上述看法， 却难以
2、苟同 现谈谈 自己的看法， 不当 之处 ， 敬请指正 为了能透彻剖析“ 如图”的用法 ， 首先 ， 根据几 何题的特征， 把几何题分成两类： 第一类是， 突出点、 线、 面的运动变化等特征， 强调在运动变化的过程中 探索结果， 不妨将这类问题称为动态几何题 第二类 是， 不强调第一类的特征， 其结果无须在运动变化的 过程中求出， 而且 当问题所包含 的情况不止一种时， 这些情况都是彼此孤立的， 均属静态的， 因而可将其 称为静态几何题 对于动态几何题来说， 因为它要考察的几何对 象， 一般与平移、 旋转、 翻折、 滚动等运动形式有关， 其运动变化所引发的结果 ， 又往往是该类 问题要探 寻的目
3、标， 所以求解此类问题时， 必须对运动变化的 整个过程进行全面分析 ， 即针对变化过程 中每一环 节的运动状态及不同环节之间的联系， 由此及彼、 由 表及里的深入 ， 层层推进、 寻根究底的挖掘 但是， 由 于几何对象运动变化的过程是连续不断的， 而一个 图形所表示的状态却是静 止不变 的， 故几何对象运 动变化的整个过程， 不可能( 也没有必要) 都用图形 全部画出来 因此， 动态几何题中的“ 如图” ， 只能作 为整个变化过程中的一个 “ 关节点” ， 通过 它起到引 发或促进思维的作用， 进而更加准确地把握运动变 化的全过程 可见， 这时的“ 如图”可视为一个草图， 只有一点参考价值 解
4、题时， 不能只按“ 如图” 机械地 求解， 而要对运动变化过程中所有可能的情况条分 缕析， 并要适时画出新图加以说明 例 l 如图 1 ， 在矩形 A B C D中， A B=2 ， B C=4 5 8 将该矩形折叠， 使点 B落在边 A D ( 含端点) 上， 落点 记为 E， 这时折痕与边 B C( 或 C O) ( 含端点 )交于点 F ， 然后展开铺平， 则以B 、 E、 F为顶点的 B E F称为 矩形 A B C D的“ 折痕三角形” 问： 该矩形是否存在面 积最大的“ 折痕三角形” ?若存在， 说明理 由， 并求 出此时点 E的坐标 ； 若不存在， 也请说明理由 图 1 图 2
5、图 3 简析 因为“ 折痕三角形”的面积随着点 F位 置的变化而改变， 所以该题是一道动态几何题 要探 究“ 折痕三角形 ”的最大面积， 应根据点 F位置的变 化， 分为不同的“ 阶段” 进行考察 解 矩形 A B C D的折痕 AB E F存在最大面积 ， 其最大面积为4 理由如下 ： ( 1 ) 当点F 在边B C , 上( 如图1 ) 时， 因为S ， ： 1 1 1 F c c D = 矩 B c D = 4 ， 所以， 当c 、 一 F两点重合( 如图2 ) 时， B E F的面积为4 在图2中， 易知 C E= C B= 4 ， D E= c E 一C D =2 ,3， 得A E=
6、 42 ,3， 从而E ( 42 3 ， 2 ) ( 2 )当点F在边 C D上( 如图3 ) 时 ， 过点E作E M 上B C ， 垂足为 ， 且E M交B F于点 根据( 1 ) 易知 1 1 s B E N s 蛐 M E ， s 唰 s 观c D E M ， 显然， 当 E M 二 一厶 =E N时， 两式 中“ ： ”成立 1 再将两式相加， 得5 肝Js 矩 肋 肋 = 4 ， 并由 二 E M= E N知： 当 c 、 F两点重合或 4 、 E两点重合时， AB E F的面积为4 ， 且有E ( 42 J 3， 2 ) 或E ( 0 ， 2 ) 总之 ， 折痕 AB E F的最大
7、面积为 4 ， 且 E ( 4 2 , 3， 2 ) 或 E ( 0 ， 2 ) 对于静态几何题来说， 由于不考虑几何对象运 动变化的过程， 它往往具有“ 单纯” 、 “ 静止” 、 “ 间断” 的特点， 而这些与动态几何题“ 连续性”变化的特点 是有本质区别的， 绝不能混淆 有时候 ， 静态几何题 的文字语言所描述的题意， 虽然可分为几种情况， 但 它们之间却是“ 孤立”的、 “ 跳跃式”的 正因为该类 几何题有这些特点， 所 以用一个图形或几个图形， 就 能把它所包含的情况准确地刻画出来 ， 并且一个图 形只能与一种情况相对应 因此， 求解这类几何题 时， 既要考虑文字语言的作用， 更应重
8、视图形对题意 的“ 界定” 作用 如果问题中没有图形， 就意味着该题 不受“ 如图”的限制 ， 这时若有不同情况 ， 就应考虑 所有可能的情况， 并针对每 种情况( 有时需要画出 图形) 分别求解； 如果问题中已有图形， 从文字语言 与图形语言相统一的角度来看， 问题只能按“ 如图” 的含义来求解， 而不能随意改变它 否则， 就是偷换 了论题， 违反了同一律 例2 如图4 ， o0的直径佃 =1 0 ， 弦A B= 8 ， A B 上C D， 垂足为 ， 求 的-K ( 见文 1 ) i t 解 连接 A D 在 R t A O M中， 由勾股定理知 O M=3 ， 从而 ： 5+3： 8 D
9、 C 图 4 图 5 例 3 如图 5 ， 已知线段 A C与 B D相交于点 0， 连接 A B、 C D， E为 O B的中点， ，为 O C的中点， 连接 E 问 ： 由 D E F= O F E， A B=C D， 能否推 出 A= D ?( 见文 1 、 文 2 ) 解 在图5 中， 分别过点 、 C 依次作A O 、 D O的 垂线， 通过证三角形全等的方法， 即可推出 厶4= LD( 文 1 中已有证 明， 恕不复证 ) B c 图 6 图 7 图 8 说明： ( 1 ) 如果例2 中没有图4 ， 例3 中没有图5 ， 那么它们都变成了“ 无图”的几何题， 这样就不再受 图形的限
10、制了 因此， 求例 2中的D M时， 除上述图4 的情况外 ， 还应考虑垂足 在半径 O D上的情况， 故 D M的长应改为 8 或 2 而对于例 3 ， 除上述图5的情 况外， 还应考虑到图6 、 图7 、 图8 所代表的情况 因为 对于图 6 和图 7 ， 均有 A LD， 对 于图 8 ， 有 = LD( 文 2 中已有论述， 不再重新证明) ， 所以应把 上述结论改为不一定能推出 A=LD ( 2 )由说明( 1 ) 知， 对于静态几何题来说， “ 有 图”与l 无图” ， 其情况大不相同， 绝不能将它们混淆 或等同起来。 否则， 将会像文 I 丑 匿 样， 对如何运用 “ 如图” 感
11、到困惑， 甚至还会造成思维混乱， 使计算、 推理发生错误 上述分析及例题均表明， 弄清楚几何题所属 的 “ 动” 、 “ 静”类型， 是正确运用 “ 如图”的关键 文 1 、 文 2 的看法， 均没有根据几何题 的“ 动” 、 “ 静” 类型做具体分析， 显然是不妥当的 至于文 2 认为： “ 几何题中的 如图 所表示韵情况， 当其差别 很小时， 用肉眼 难以辨别清楚” 这种担心是不必 要的 事实上， 要单独使用图形来表示这种细微差别 的人是没有的， 一般都还会采用其他措施作必要的 补充说明 例如， 当表示一个角是直角时 除了要把 两边画成垂直外， 还要用直角符号“ ” 标示出来 ； 而如果要
12、表示一个角接近于直角， 那么在画出该角 的同时， 还要用数据或其他方法对该角的大小进行 辅助说明( 如 LB A C=8 7 7 5 7 ， LB D C=9 2 2 5 0 ， 见 文 2 ) 可见， 在几何题中， 只要能“ 交代 清楚， 即 使是“ 如图” 上的细微差别， 也都是清晰可辨的( 注： 文 2 中所说的看不清的图形， 其实都能看清楚) 如果一定要说存在看不清的图形， 那这个图形一定 是命题人没画清楚( 或缺少必要说明)的“ 坏”图 若 引用这样的图形来说事， 就很难保证思维的确定性 和正确性， 无论得出怎样的结论， 都是不严肃的， 难 以令人信服 综上所述， 在解答几何题时，
13、应注意“ 无图”与 “ 有图”的区别， 二者不能混淆 对于“ 无图”的情况， 只需根据文字语言所描述题意求解即可； 而对于有 “ 如图”的几何题来说， 其“ 如图 可否视为草图， 是 否需要讨论?取决于“ 如图” 所属的几何题的“ 动” 、 “ 静” 类型， 并非取决于“ 如图” 是否清楚 “ 如图” 清 楚与否只是一个图形质量优劣的问题， 这当然与几 何题的“ 动” 、 “ 静”类型无关 ， 自然无须据此加 以讨 论 ： 参考文献 1 李玉荣 几何题的“ 如图” 之我见 J I 、中学数学杂志， 2 0 1 0 ( 6 ) ： 6 2 6 3 2 朱美香 也谈“ 如图” -9 “ 无图” 的困惑 J 中小学数学， 2 0 1 2 ( 1 2 ) ： 3 9 5 9
