★初中数学竞赛试题精选

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1、数学竞赛专项训练（9）11、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（ ）整除。A. 111B. 1000C. 1001D. 1111解：依题意设六位数为，则abcabca105b104c103a102b10ca102（1031）abcabcb10（1031）c（1031）（a103b10c） （1031） 1001（a103b10c） ，而 a103b10c 是整数，所以能被 1001 整除。 故选 C方法二：代入法2、若，则 S 的整数部分是_20011 19811 198011S解：因 1981、19822001 均大于 1980，所以，又9022

2、198019801221 S1980、19812000 均小于 2001，所以，从而知22219022200120011221 SS 的整数部分为 90。3、设有编号为 1、2、3100 的 100 盏电灯，各有接线开关控制着，开始时，它们都是关闭状态，现有 100 个学生，第 1 个学生进来时，凡号码是 1 的倍数的开关拉了一下，接着第二个学生进来，由号码是 2 的倍数的开关拉一下，第 n 个（n100）学生进来，凡号码是 n 的倍数的开关拉一下，如此下去，最后一个学生进来，把编号能被100 整除的电灯上的开关拉了一下，这样做过之后，请问哪些灯还亮着。解：首先，电灯编号有几个正约数，它的开关

3、就会被拉几次，由于一开始电灯是关的， 所以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的，因为只有平方数才有奇数个约数，所以 那些编号为 1、22、32、42、52、62、72、82、92、102共 10 盏灯是亮的。数学竞赛专项训练（9）24、某商店经销一批衬衣，进价为每件 m 元，零售价比进价高 a%，后因市场的变化，该 店把零售价调整为原来零售价的 b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是 （ ）A. m(1+a%)(1-b%)元B. ma%(1-b%)元C. m(1+a%)b%元D. m(1+a%b%)元 解：根据题意，这批衬衣的零售价为每件 m（1a%）元，因调整后的零售价为原零售 价的 b%，所以

4、调价后每件衬衣的零售价为 m（1a%）b%元。 应选 C5、如果 a、b、c 是非零实数，且 a+b+c=0，那么的所有可能|abcabc cc bb aa的值为（ ）A. 0B. 1 或-1C. 2 或-2D. 0 或-2解：由已知，a，b，c 为两正一负或两负一正。 当 a，b，c 为两正一负时：；0|1|1|abcabc cc bb aa abcabc cc bb aa所以，当 a，b，c 为两负一正时：0|1|1|abcabc cc bb aa abcabc cc bb aa所以，由知所有可能的值为 0。|abcabc cc bb aa应选 A6、在ABC 中，a、b、c 分别为角 A

5、、B、C 的对边，若B60，则的值为（ bca bac ）A. B. 21 22C. 1D. 2解：过 A 点作 ADCD 于 D，在 RtBDA 中，则于B60，所以 DB，AD2CcABCab数学竞赛专项训练（9）3。在 RtADC 中，DC2AC2AD2，所以有（a）2b2C2，整理得C23 2C 43a2c2=b2ac，从而有1)(22222 bbcabacbcabca bcbaabacbc bca bac应选 C7、设 ab0，a2+b2=4ab，则的值为（ baba ）A. B. C. 2D. 336解：因为(a+b)2=6ab，(a-b)2=2ab，由于 ab，若两个三角形的最小

6、内角相等，则的值等于（ ）baA. B. C. D. 213 215 223 225 7、在凸 10 边形的所有内角中，锐角的个数最多是（ ）A. 0B. 1C. 3D. 58、若函数与函数的图象相交于 A，C 两点，AB 垂直 x 轴于 B，)0(kkxyxy1则ABC 的面积为（ ）A. 1B. 2C. kD. k2 二、填空题1、若四边形的一组对边中点的连线的长为 d，另一组对边的长分别为 a，b，则 d 与的大小关系是2ba 2、如图 8-5，AA、BB分别是EAB、DBC 的平分线，若 AABBAB，则BAC 的度数为3、已知五条线段长度分别是 3、5、7、9、11，将其中不同的三个

7、数组成三数组，比如（3、5、7） 、 （5、9、11）问有多少组中的三个数恰好构成一个三角形的三条边的长4、如图 8-6，P 是矩形 ABCD 内一点，若PA3，PB4，PC5，则 PD图 8-6ABDCP图 8-4ABCDADCFC BEA BBDC图 8-5EA数学竞赛专项训练（9）215、如图 8-7，甲楼楼高 16 米，乙楼座落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午 12 时太阳光线与水平面的夹角为 30，此时求如果两楼相距 20 米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是米。6、如图 8-8，在ABC 中，ABC60，点 P 是ABC 内的一点

8、，使得APBBPCCPA，且 PA8，PC6，则 PB16 米20米ABCD甲乙图 8-7图 8-8BACP数学竞赛专项训练（9）22三、解答题1、如图 8-9，AD 是ABC 中 BC 边上的中线， 求证：AD（AB+AC）212、已知一个三角形的周长为 P，问这个三角形的最大 边长度在哪个范围内变化？ 3、如图 8-10，在 RtABC 中，ACB90，CD 是角平分线，DEBC 交 AC 于点 E，DFAC 交 BC 于点 F。 求证：四边形 CEDF 是正方形。CD22AEBF4、从 1、2、3、4、2004 中任选 k 个数，使所选的 k 个数中一定可以找到能构成三 角形边长的三个数

9、（这里要求三角形三边长互不相等） ，试问满足条件的 k 的最小值 是多少？数学竞赛专项训练（数学竞赛专项训练（8）参考答案）参考答案一、选择题 1、如图过 C 作 CEAD 于 E，过 D 作 DFPB 于 F，过 D 作DGCE 于 G。显然 DGEFAB5，CDDG，当 P 为 AB 中点时，有21CDDG5，所以 CD 长度的最小值是 5。 2、如图延长 AB、DC 相交于 E，在 RtADE 中，可求得AE16，DE8，于是 BEAEAB9，在 RtBEC 中，3可求得 BC3，CE6，于是 CDDECE2 333BCCD5。33、由已知 AD+AE+EF+FDEF+EB+BC+CF

10、AD+AE+FDEB+BC+CF11)(21CDBCABADABDC图 8-9ACFBDE图 8-10ABC DPEFG60ABCDEADCBEFHG数学竞赛专项训练（9）23EFBC，EFAD，FCDF EBAE设，kFCDF EBAE14 116 1kkCDkkDFkkABkkAE，AD+AE+FD3+ 解得 k41313 14 16 kk kk kk111313 kk作 AHCD，AH 交 BC 于 H，交 EF 于 G， 则 GFHCAD3，BHBCCH9-36， 54ABAE BHEG 524 54BHEG5393524GFEGEF4、假设 、 三个角都是锐角，即 90，90，90，

11、也就是 A+B90，B+C90，C+A90。2（A+B+C）270， ABC135与 ABC180矛盾。故 、 不可能都是锐角，假设 、 中有两个锐角，不妨设 、 是锐角，那么有 AB90， CA90，A(ABC)b，故A 是ABC 的最小角，设AQ，则以 b,b,a 为三边之三角 形的最小角亦为 Q，从而它与ABC 全等，所以 DCb，ACDQ，因有公共底角B，所以有等腰ADC等腰CBD，从而得，即，令，BCBD ABBCbba abbax 即得方程，解得。选 B。012 xx215 bax7、C。由于任意凸多边形的所有外角之和都是 360，故外角中钝角的个数不能超过 3 个，又因为内角与外

12、角互补，因此，内角中锐角最多不能超过 3 个，实际上，容易 构造出内角中有三个锐角的凸 10 边形。QABCD数学竞赛专项训练（9）248、A。设点 A 的坐标为（） ，则，故ABO 的面积为，又因为yx，1xy21 21xyABO 与CBO 同底等高，因此ABC 的面积2ABO 的面积1。 二、填空题 1、如图设四边形 ABCD 的一组对边 AB 和 CD 的中点分别 为 M、N，MNd，另一组对边是 AD 和 BC，其长度分 别为 a、b，连结 BD，设 P 是 BD 的中点，连结MP、PN，则 MP，NP，显然恒有，2a 2b 2bad当 ADBC，由平行线等分线段定理知 M、N、P 三

13、点共线，此时有，所以与的大小关系是。2badd2ba )2(2dbabad或2、12。设BAC 的度数为 x，ABBB BBD2x，CBD4xABAA AABAB ACBD4x AAB)180(21x，于是可解出 x12。18044)180(21xxx3、以 3，5，7，9，11 构成的三数组不难列举出共有 10 组，它们是（3，5，7） 、 （3，5，9） 、 （3，5，11） 、 （3，7，9） 、 （3，7，11） 、 （3，9，11） 、 （5，7，9） 、 （5，7，11） 、 （5，9，11） 、 （7，9，11） 。由 3+59，3+511，3+711 可以判定 （3，5，9）

14、、 （3，5，11） 、 （3，7，11）这三组不能构成三角形的边长，因此共有 7 个数组构成三角形三边长。 4、过 P 作 AB 的平行线分别交 DA、BC 于 E、F，过 P 作 BC 的平行线分别交 AB、CD 于 G、H。设 AGDHa，BGCHb，AEBFc，DECFd，则 222222222222DPadcbBPdbCPcaAP， ，于是，故，2222DPBPCPAP184532222222BPCPAPDPDP325、设冬天太阳最低时，甲楼最高处 A 点的影子落在乙楼的 C 处，那么图中 CD 的 长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度，设 CEAB 于点 E，那么在AEC 中，AEC90，ACE30，EC20 米。ABDCP MNABDCPEFGHaabbcd数学竞赛专项训练（9）25所以 AEEC（米） 。6 .11332030tan20tanACECDEBAB-AE16-11.64.4（米） 设点 A 的影子落到地面上某一点 C，则在ABC 中，ACB30，AB16 米，所以（米） 。所7 .27316cotACBABBC以要使甲楼的影子不影响乙楼，那么乙楼距离甲楼至 少要 27.7 米。