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1、 ， I | 学 数学 教 学 参 暂 1 I | k I k | 一 一 一 一 步的分析： 上述解答 的基本思想是通过不等式 1 s ” 1 ， 从 而 去 ( s ” 一 ) 一 3 3 ( s L ) 一 3 ( n z ) ， 所以 3 可得 3 】 。 由 此 可 以 认 为 ： 方 法 1是方法 2的 必然 结 果 ， 即方 法 2更 具 有 一 般 性 ， 且在具体操作上方法 1 难度更大( 因为( *) 式一般不 要求掌握) ， 而方法 2只需寻找相邻 两项 的递推不等 式即可 ， 操作难度显然较小且方便 ( 因为一般都 能配 凑出来) ， 显然方法 2与参考解答实质是一致的
2、 ， 只是 一种用递推式获得 ， 一种用通项公式获得而已。至于 为什么不用 “ + 。 一 一3 ” 来得到递推不 等式 n n 进行递推式放缩 ， 原 因已十分 明了： 达不到预 期证明的效果( 即最后得到的关于 S 的不等式是显 然成立的， 解不出S ， ( 忌 1 ) ， 即 l_1 是为了保证移项后 s 系数为正) 这样的不等式 ， 通过求解不等式证得 s 3 n o， 即 2 口 0 ， 即l_ 1 x一 1 。 所 以S 一 一 1 + 1 + + 1 + 1 ( + + + ) 一 l + l ( s 一 ) + 1 s 2 ) ， 解得 S 2 。 问题暴露出来 了： 要证 的
3、结果是 S ， 显然无 法传递 ( 放“ 大” 了) ， 是不是该方法在此“ 失效” 了?其 实只要稍作调整， 在“ 递推式放缩” 时 ， 多保 留一项不 动 ， 从 第三 项开 始 放缩 ， 便 有 S 一 + + + ：1 + 1 1 ( 1 + 1 + + 麦 ) = 一4 1 ( s 一 1 一 1 J 百 5十 1 s ( 3 )，解 得 s 5( 一1，2时也 成 立 ) ， 得 证 。 评注 ： 采用“ 递推式放缩” 解决此类 问题 时， 有时 也要 采 取“ 局 部 放 缩 ” 法 ， 需 要 一 个 “ 碰 壁 一 调 整 ” 的 历程 。 例 3( 2 0 0 2年 高考数
4、 学全 国卷理 科 第 2 2题 ) 设 数列 口 ) 满 足 a + 一a ： 一n a + 1 ( n N ) ， (工) 当 a 一 2时 ， 求 a ， a 。 ， a ， 并 由此 猜 想 出 a 的一 个通 项公 式 ； ( I I ) 当 a 3时 ， 证 明 ： 对所 有 的 1 ， 有 ( i ) n 7 2 +2； ， + + 斗 号 。 解 ： 第 ( I) 问略去 。 ( ) 第( i ) 问略去。 ( i i ) 因为 a +2 ， 所 以 a 一 2 。 从而有T 二 二 1 一 1 一 号 。 因 此 ， 当 2 时 ， S n + + + + 丢 ( + + +
5、 ) 一 + 一 ) + i s 。 解得 s 士 ( 因为 a 3 ) ， 而当 一1 l 1 _ a l 时， S 一 ， 综上可得证。 上 1 一 a1 评 注 ： “ 递 推式 放缩 ” 并 不 一 定 需 要 通 项 公 式 ， 关 键是构造 出类似于等 比数列定义的“ 递推不等式” 。 4关 于 教 学 的思 考 解题 教学 不应 重视 一招 一式 ， 而 应 注重 方 法 的 自 然性 、 普适性 以及解 题后的反思 、 提炼。放缩法证 明 不等式一直是教学 中的一个难点 ， 学生掌握起来 比较 困难 ， 经常出现这样 的教学场面 ： 教师讲一个放缩技 巧 ， 举一个例子， 学生
6、记一个 ， 到头来遇到需要通过放 缩法进行证明的问题， 却仍然摸不着头脑。之所 以出 现这样 的状态 ， 多数原因还是教师在解题教学中喜欢 教给学生很多技巧 ， 且密集度大。虽然当时学生能被 这些技巧所吸引、 震撼 ， 但那 只是一 时的感叹 、 惊 奇， 对它的实质并没有领悟 ， 更何况太多的技巧只会让学 生觉得数学方法都是零散的 ， 没有系统性 ， 不好驾驭 ， 更难以掌握 ， 久而久之学生便会失去对数学的兴趣和 思 考数 学 的能 力 。 因此 ， 解 题 教 学 中 ， 教 师 的 主 要 职 责在于如何有效激发 、 引导学生积极 主动地思维 ， 如 何使他们参与到一题多解 、 寻找更
7、优解法的竞技场中 来 ， 进行 思 维 的碰 撞 与 相 互 启 发 。学 生 受 挫 后 ， 教 师 可 以适 当介 绍一 些 预 设 的解 法 、 技 巧 与 思 考 ， 但 是 这 些解法 、 技巧对学生来说一定要是 自然 的、 落在学生 最 近发 展 区内 的。此外 ， 解 题教 学并 不 以解 完 题作 为 终结 ， 更重要的工作是在解题之后 ， 一定要有在知识 方法方面进行分析 、 比较 、 反思、 提炼 的过程 ， 使之成 为一 个解 题方 法 系统 ， 在这个 系 统 中一 定要 有 普适 性 的解题思想作支撑 ， 最后让这些解题思想、 经验扎根 在学 生 的 头 脑 中 ，
8、这 样 的 解 题 教 学 才 能 称 得 上 是 高 效 的 。 原理 教学 中要 深入挖 掘原 理 推导 过 程 的“ 显性 价 值” ， 努 力 发挥其 辐射 功 能 ， 帮 助实 现教 学 “ 隐形 价值 ” 的最大化 。反思本题 的解题思想及具体处理方式 ， 我 们不难发现， 它与等 比数列求和公式的推导有极大的 方法论方面的联系。在“ 等 比数列前 n项和公式” 的 教学中， 教材采用了“ 错位相减法” 推导等 比数列前 ( 下转第 3 0页) 解析 ： 记椭圆顶点的曲率半径为 |0 ， 作半径为 6的 、 圆 ， 如 图 4 ， 取 圆上 极 小 弧 AC( 即 同于 弦 AC
9、) ， 则 C E J _ AC， 设 一 C E A一 AC D。 Y 由小角度近似， 有 一 一 一面AD ， 将横坐标扩为 倍 ， 则圆中点 E位置移至椭圆中 E 处 ( 显然纵向 C D不变) ， 因为 AD扩为 a旧， 故疗 一 。 又 一历 C D 一_ CD ， 联立式得 10 =bZ 。同理 可 得 ， 另 一 种 情 况 为 10 一 等 。 +一 +”+ * -t-“+ “+一+”- 4 -“+ ( 上接 第 2 7页 ) 一 黧 黧 通过上 面 的几个 例子 不难 看 出 ， 在 遇 到椭 圆 的此 类 问题时 ， 可以先把椭 圆变换成 圆， 在圆中解决 问题 当然手到擒
10、来 ， 然后根据变换 的可逆性及伸缩性： 质 ， 从而便捷求解椭 圆中的问题 ， 这样不仅思路清晰 ， 而 且避免了大量繁琐的运算 ， 值得借鉴 。 另一方面 ， 利用伸缩变换解决椭圆问题 ， 对学 生 培养创新思维能力也是一种引导。创造是数学创 新 能力 的核 心 ， 教 师 或 优 秀 学 生 在课 堂教 学 后 ， 可 以 自 行编制一些与现行大纲及教材密切结合的数学问题 ， 这 样有 利于 引导 学生 加深理 解所 学知识 。 普通高中数学课程标准( 实验) 中指出 ： 通过类 比、 联想 、 知识的迁移和应用等方式 ， 体会 知识之间的 有机联系 ， 感受数学的整体性 ， 进一步理解
11、数学 的本 质， 提高解决问题的能力l_ 】 。圆与椭 圆之间有许多类 似的性质 ， 利用伸缩变换解决椭 圆问题 ， 既妙趣横生 ， 又驭繁就简、 化难为易。 参考文献 ： 1 中华人 民共 和国教育部 普通 高中数学课程 标准 ( 实验 ) M 北京 ： 人 民教育 出版社 ， 2 0 0 3 n+ + -一+” - +- 4 -” + 项和公式 ， 此方法也有效解决了形如 a 6 ) 的数列 的求和 问题 ( 其 中 a ) 为等差 数列 ， 为等 比数 列) ， 因此“ 错位相减法” 一直是教学和高考中数列考 查 的一个 重要 方面 。这样 就造 成 实际 教学 中 ， 很 多教 师将等
12、比数列前 项和公式 的推导方法定位在 只传 授“ 错 位 相减法 ” 就 足够 了 ， 无需 进 行推 导 方法 的进一 步拓宽和延伸 。的确， “ 错位相减法” 有很重要的理论 和实用价值 ， 但是否别的推导方法就没有如此的价值 呢?事 实上 ， 等 比数 列 前 1“l 项 和 公 式 的 推 导 方 法 很 多 ， 教 师不 必将 教学 仅 仅 定 位在 “ 错 位 相 减 法 ” 上 ， 可 以进行 适 当地延 伸和拓 展 ， 以调 动学 生 学 习的 积极 性 与主动性 ， 并且有的方法其价值较“ 错位相减法” 有过 之而 无 不 及 ( 有 兴 趣 的 读 者 可 参 考 文 献
13、1 、 文 献 2 ) 。如 ， 由 S 一a l +a 2 + +a 一a 1 +q ( a l +a 2 + +n ) 一口 +g ( s -a ) ， 解得 S 一 _ = = ( q 1 ， q为公 比) ， 显然此法( 实际上远非这一种) 较“ 错位相 减法” 更简捷 ， 且体现了方程思想 ， 也有利于向其他知 识方面迁移 。文首模拟考试题 的参考解答便是一个 佐证 ： 其解题思想便是来 自于上述求和方法， 只是将 -4 - 4-“ - t -”+一+ +一 一” ” 卜一 ” + -一 卜 “ + 方程思想变为构造不等式 ， 从而通过解不等式达到证 不等式的 目的。因此 ， 在原理
14、推导教学 中， 教师： 能 仅仅满足于教材提供的教学素材 ， 而要根据教学 马标 的需要， 有 目的地挖掘原理推导 的其他方法的“ 显性 价值” ， 以便更好地为实现教学 目标服务， 更好地： 勾实 现教学的“ 长期效益” 和“ 隐形价值” 服务。这里所谓 的“ 显 性价 值” ， 主要体 现 在从原 理 推导 中提炼 出的解 题思想、 解题方法 ， 进而用于解决其他数学问题 ， 它对 学生来说具有显著的现实意义 。而“ 隐形价值” 主要 体现 在对 学生 数 学 能 力 的提 高 、 数 学 素养 的提 升 、 数 学观念的形成等方面的影响 ， 这种影响通常不是立竿 见 影 ， 而是潜 移默
15、 化 的 ， 对 于学生 的 发展 意 义深 远 ， 通 常需要 一个 长期 、 渐进 、 累积 的过 程 。 参考 文献 ： 1 张俊 对错位相减法 的思考 J 数 学通讯 ： 教 师刊 ， 2 O 1 o ( 1 2 ) ： 1 8 2 o 2 黄元华 用待 定系数法 构造常数列解 决一类数 列求 和问 题 _ J 中学数学教学参考 ： 上 旬 ， 2 0 1 2 ( 1 1 ) ： 6 8 3 陆学政 挖 掘公式 推导 过程 的“ 显性 价值 ” 以“ 等 比 数列求和 公式 ” 为 例 j 中 国数 学 教育 ： 高 中 版 ， 2 O l 3 ( 1 1 )： 1 2 - 1 4 4 章 建 跃 发 挥 数学 的 内在 力量 ， 为学 生 谋 取 长 期利 益 J 数学通报 ， 2 0 1 3 ( 2 ) ： 1 - 6 ， 1 0 一
