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1、类中考几何题的探究 近年来， 中考题中出现了一类关于“ 外切的两圆内 切于某些几何图形的新颖题” 这类试题不仅综合性强， 而且涉及的知识面广， 因而对九年级学生来说有相当大 的难度， 为攻克难点， 寻找解法规律， 现以部分中考题为 例， 分类归纳介绍如下 ， 供九年级师生教与学时参考 一 、内切 于直角三角形的两个圆 例 1 如图 1 ， 已知 R t AA B C中， LA C B=9 0 。 ， A C= 6 ， B C=8 ， 若半径为 r的两个相等 ( 3 0 。 、 ( D O 2外切 ， 且 00 与 A C、 A B相切 ， 00 与 B C、 A B相切 ， 求半径 r 的 值
2、 解 ： 在 R t AA B C 中 ， AACB =90。， AC ：6， BC = 8 A B = v c +曰c = 1 0 连结 A O 1 、 B O 2 、 C O l 、 A C O 2 、 0 1 0 2 ， 作 C M_ L A B， 垂 足为 ， 交 0 0 2 于 C 图1 则 s 圳 A c r = 3 r ,s 圳 ： = c r = 4 等圆( D O l 、 oO 2 相外切， 0 0 = 2 r 且 0 ， 0 2 A B ，C M A B = A C B C ： 2 S C M = = 等 C N=C M r = _r ， 又 s ：= 1。 l O 2 C
3、N =( 警 ， ) = ( 2 r + l o ) r = ( r + 5 ) r ， s ： 6 8 ： 2 4 ， 鎏 蒸煎蠢 ： 查港 凰墼垂 S A A B c=S A A o l c+S c 0 l o 2+S D 2 c+S 梯 形 o l o 2 ， 因 2 4 = 3 r + ( 警_ ， ) r + 4 r + ( r + 5 ) r ， 即 2 4 = 孚 1 0 r 点评本题考查了三角形 内切圆、 直线与圆相切、 圆与圆相切以及直角三角形等知识的综合应用 ， 同时应 用三角形面积以及图形的分解与组合求解相关圆的半 径， 体现了数学的转化思想 ， 运用了数学中的相似思维
4、思考和解决问题 二、 内切于梯形的两个圆 例 2 如图2 ， 00内切于梯形 A B C D， E、 F、 G 、 H为 切点， 00 与梯形两边 A B、 B C和00相切 ， ， 、 ， 、 K是切 点 当 A=1 2 0 。 ， A H=1时， ( 1 ) 求 LE G H的度数； ( 2 ) 若 S 梯 形= 时， 求 +D H； ( 3 ) 求( 30 的半径 解 ： ( 1 ) 由切 线长定 理 和 A = 1 2 0 。 。可 得 LA H E=3 0 。 。 由弦切 角定 理可知 LE G H=3 0 。 ( 2 ) 由 A =1 ， LH A O =6 0 。 ， 可求出00
5、的半径 A H B 8 l F C 图2 H O = ， 于 是 胛= z Y 由 ( A D + B C ) = ， 得 A D+ B C= 9 由 曰=6 0 。 ， F= ， 得 A B= = 4， A B= A E“4 - B E= A H+B F ， 。 C F+D H=( A D+ B C)一( A H +BF =94 =5 +。+。+ 致学大世界 0 + 。 。 + 。 。 。 。 。 。 。 ( 3 ) 00 的半径为 r ， O F= 3， D = ， O 0 =r + ， B O ：B OO 0 = 一( r + ) = 一r 由 = 面B O ，得 寺 = 等， r ：争
6、 点评本题主要考查 了梯形 的内切 圆、 弦切角定 理 、 切线长定理、 梯形面积公式、 锐角三角函数、 平行线 切割线比例定理 、 勾股定理等知识的综合应用， 体现了 学数学及运用数学知识解决问题的思想， 同时在求圆半 径的过程中渗透了一元一次方程的思想 三、 内切于矩形 的两个 圆 例 3 如 图 3 ， 工人师傅在 一个长 2 5 c m， 宽 1 8 e m的 矩形铁皮上， 剪去一个和三边都相切的OO 后 ， 在余料 中再剪一个最大的圆00 ， 则0D 直径是( ) A V - c m B 8 e ra C 7 c m D 4 c m 解： 00 ，为余料 中剪 出 的最 大 的 圆
7、， 于 是 0D 的边 和 00 相 切 ， 如 图 3 ， 连 结 0 ， 0 ， 构造直角三角形求解 设 B C切 o0 I 、 0D 2于 E、 连结 0l 0 2 、 0 l E、 0 2 F， 过 0 2 作 0 2 G上0 ， E， G为垂足 。02 G =EF =BC B E F C ：2 5 9 一 r= 1 6一 r ， Ol G=0l E G E =Oj E 一02 F =9一 -0l 0 2 =0l G2+0 2 G 2 ， ( 9+ r ) =( 1 6一 r ) +( 9一 r ) 2 r = 4 点评本题首先主要考查 了两 圆相切 外 、 直线 与圆 相切及勾股定理
8、等知识， 其次， 要注意理解“ 最大” 的数 学意义， 找出最大的圆， 然后通过构造直角三角形， 运用 方程的方法求出其半径 四、 内切于正方形的两个圆 例 4 如图4， 00和00 外初， 并分别与边长为 3 的正方形的两对邻边相切 ， 求两个圆半径的和 解 ： 如图4作辅助线构造 等腰 R t AO H O ， 设 0O 的半 径为 r 。 ， OO的半径为 r ， 则 由勾股定理， 得 ( r 1 + 2 ) =2 3一( + r 2 ) ， 图4 两边开平方取 正值得 ， ( r ， + 2 )= 3一( r + r 2 ) ， 将r - + r2 看 作 整体， 求得 + r z _
9、 = ( 一1 ) = 6 3 2 - = 3 ( 2一 ) c m 点评本题 主要考查 了切线 的性 质 、 圆与正方形 的 对称性性质、 勾股定理等知识， 在运用勾股定理时， 充分 渗透了整体思想， 不需要分开求出 r 。和 r 2 ， 而是整体求 出( +i-2 ) ， 从而减少了运算量， 提高了解题速度 五、 内切于菱形的两个 圆 例 5如图 5 ， 外 切 于 半径 为 c m 的 6 3 0 的菱 形 A B C D中 ， LB= 6 0 。 ， 有6 3 0 与 A B、 B C边 和 o0相切 求 菱形的边 长和 6 3 0 的半径 解 ： 连结 O E 、 0 F， 则 O
10、EZA B、 0 F上A B ； 连结 o A 、 O D 、 0 B， 则 由切 线 B 长性质及 两圆外切性质 知 ， F B O =3 0 。 ， LE A O A C 图5 =6 0 。 ， 故 在 R t O E A 中， 由 O E= o m， 可求 得 A E= l c m， O A= 2 c m； 在 R t AB E O中， 求得 B O= 2 E O： Z c m， B E 2 ：( z Y ) 一( ) = 9 ， 故 B E= 3 c m， 从而菱形边 长 A B= A E+B E=4 c m 再作 O G上叩 ， 故 O G= 设 圆o， 的半径为 ， 则在 R t
11、AO G O ， 中， D c： 0， O， 即 一 r ： 告 ( + r ) ，解 之 得 ，r = 字 c m 点评本题主要考查切线长定理 、 两圆相外切性质 、 切线的性质定理、 3 0 。 角所对直角边等于斜边的一半及勾 盛 一一 一 一一 一 一 一一 ；。 ；：。 。+ +。+。 。+。 致掌大世界 。 。 熊 股定理等知识 ， 解题的关键是构造直角三角形和矩形 六 、 内切于圆的两个圆 例 6 如图 6， 已知 O0 l 与 0 D 2 外切于 P， 并 HO0 与00。 ， GO 2分别 内切 于 、 N， AO 。 0 0的周 长 为 1 8 c m， 求QO的周长 分析设
12、 0D与o( 。 ， ( 3 0 2的 半径分别为 R、 r j 、 r 2 ， 要求oO的周 长 ， 只须求 ， 因此要列出 尺， r ， 、 r 2 之问的关系， 并要与AO。 0 0的周 长联系起来 ， 因此， 想到作 出连心 线， 利用相切的性质列式 解 ： 方法 1 设0O与( 30 。 、 00 的半径分别为 R、 r l 、 r 2 ， O0 1 与00 2 外切， 0 l 0 2 ：r I r 2 ， 又 O0与 ( D Ol ， O0 2 均 内 切 ， 0 1 0=Rr ， O 0 2：Rr 2 ， 又 AO l 0 2 0的周长为 1 8 ， 0l 0+0 2 0+0 l
13、 0 2=( r l r 2 ) +( r J )+( 一r 2 )=1 5 ， 即 R= 9 ， 00的周长 为 1 8 r e m 方法 2连结 0I M， 0 2 N， 。 ( 9 0与 0O l 相 切 ， O0 与O0 ： 相 切 ， 则 0， M 经 过 O， 0 N也 经过 0， 又 0O 。 、 0 D 2 相切 9 - * 0l 、 P、 0 2 共线 ， 0I M =0 I P， 0 2 N=0 2 P， AO l 0 2 0的周长 = O Ol +O 0 2+0 I O 2 =O M +O N=2 R =l 8 ， R：9 oD的周 长为 1 8 c m 点评本题只要分清
14、楚两圆内切、 外切时， 圆心距 与两圆半径之间的关系即可， 解题关键是作出连心线， 联系AO 0 0的周长， 并利用相切的性质列式 综上所述 加强上述综合试题的研究 ， 利用融会贯 通所学知识， 对巩固学生所学课本内容、 提高“ 双基” 、 拓 宽视野、 启迪思维 、 提高运用数学知识解决实际问题的 能力 ， 均大有益处 故笔者认为： 加强中考综合问题的研究， 很有必要 练习题 ： 如图 7 ， O0内切于边长为6 e m的等边AA B C， O0 与 A B、 B C边相切并 与 ( D O外切 两 圆与 B C边 的切点 为 D、 E， O D=x c m， 0 E= y c m， 求： ( 1 ) x , y的值； ( 2 ) E D的长； ( 3 ) 阴影部分 的面积 答 案 =( 1 ) m ，孚 c m ( 2 ) 2 c m ( 3 ) ( 竽一 ) c m A B E D 图7 C ( 上接 3页) ( n一1 )X2= 一1 1 即 = 2 ， 原方 程也无解 综 上 ， 得 n 的 值 为 l 或 点评由上例知， 增根并不是方程无解的唯一原 因， 今后学习了可化为一元二次方程的分式方程后， 将 会出现实数根与增根同时出现的情况， 而只有当方程的 根都是增根时， 才能说原方程无解 练 习 ： 1 解 方 程 + 3 = 暑 一
