《北京市北京师范大学附属中学2018届高三上学期期中考试数学(理)试题+word版含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京市北京师范大学附属中学2018届高三上学期期中考试数学(理)试题+word版含解析（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、北京师大附中北京师大附中 20182018 届上学期高中三年级期中考试数学试卷届上学期高中三年级期中考试数学试卷（理科）（理科）本试卷共本试卷共 150150 分，考试时间分，考试时间 120120 分钟分钟. .一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分. .在每小题给出的四个选在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项中，只有一项是符合题目要求的. .请将答案填写在答题纸上请将答案填写在答题纸上. .1. 已知集合，则集合中元素的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】由得，解得：，
2、即，则集合中元素的个数为 2，故选 B.2. 设命题，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：根据命题的否定和全称命题的否定是特称命题，可知命题 ：，则为.考点：命题的否定.3. 已知为等差数列，为其前 n 项和.若，则=（ ）A. 6 B. 12 C. 15 D. 18【答案】A【解析】设等差数列的公差为 ，解得，则，故选 A.4. 设函数，则“”是“函数为奇函数”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：当时，函数，此时函数为奇函数；反之函数为奇函数，则，所以“”是“函数为奇函数”的
3、充分必要条件.考点：1.充分必要条件的判断；2.函数的奇偶性.5. 设函数的图象为 C，下面结论中正确的是（ ）A. 函数的最小正周期是B. 图象 C 关于点对称C. 图象 C 可由函数的图象向右平移 个单位得到D. 函数在区间上是增函数【答案】B【解析】试题分析：的最小正周期，图象 关于点对称，图象 可由函数的图象向右平移 个单位得到，函数的单调递增区间是，当时， ，函数在区间上是先增后减.考点：三角函数图象、周期性、单调性、图象平移、对称性.6. 若则 a，b，c 的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】，则，的大小关系是，故选 D.7. 设 D 为不等式组表示的平面区
4、域，点 B（1，b）为坐标平面 xOy 内一点，若对于区域 D 内的任一点 A（x，y） ，都有成立，则 b 的最大值等于（ ）A. 1 B. 2C. 0 D. 3【答案】A【解析】由作出平面区域 D 如图，联立，解得，联立，解得，联立，解得，由，得，即，即 的最大值为 1，故选 A.点睛：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了平面向量数量积的坐标运算，是中档题；作出不等式组所表示的区域，根据当目标函数为线性时，其最值一定在交点处取得列出不等式组，解出即可.8. 已知函数，。若函数恰有 6 个不同的零点，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D点睛：本题考
5、查了分段函数的图象与性质、含绝对值函数的图象、对数函数的图象、函数图象的交点的与函数零点的关系，考查了推理能力与计算能力、数形结合的思想方法、推理能力与计算能力，此题最大的难点在于讨论与 1 的关系，得到的解析式.二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分. .请将答案填写在答题纸请将答案填写在答题纸上上. .9. 若等比数列满足，则前 n 项和=_.【答案】【解析】等比数列满足，解得，前 项和，故答案为.10. 若，且，则的最小值是_.【答案】64【解析】，即，由，当且仅当时等号成立，即的最小值是 64，故答案为 64.点
6、睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆” “拼” “凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正” “定” “等”的条件11. 已知向量 a，b 不共线，若，则实数=_.【答案】【解析】向量， 不共线，由，则存在非零实数 ，使，即，解得：，故答案.12. 设向量，向量，向量，若 且，则与的夹角大小为_.【答案】【解析】根据题意，向量，若 ，则有，解可得，若，则有，解可得；则，；设与的的夹角为，则有，又，即与的夹角大小为，
7、故答案为.13. 在ABC 中，C=120，则_【答案】214. 对有限数列，定义集合，集合 S 中不同的元素个数记为（1）若，则=_；（2）若有限数列是单调递增数列，则最小值为_【答案】 (1). 6 (2). 【解析】 （1）当时，有限数列为，故，由的意义可知，故答案为 6；（2）由的定义可知，当是等差数列时，最小，集合，集合 中的元素个数，故答案为.三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分分. .写出必要的文字说明、证明过程或演写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤算步骤. .15. 设函数，其中向量，且的图象经过点.（I）求实数 m 的值；（II
8、）求函数的最小值及此时 x 值的集合.【答案】()1；()的最小值为，x 值的集合为.【解析】试题分析：（）利用向量的数量积化简函数的表达式，通过函数的图象经过点，求实数 的值；（）通过（）利用两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后求函数的最小值及此时 值的集合.试题解析：（I），由已知，得.（II）由（I）得，当时，的最小值为，由，得 x 值的集合为.点睛：本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即
9、，然后利用三角函数的性质求解.16. 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且.（1）求角 C；（2）若,ABC 的面积为，D 为 AB 的中点，求 sinBCD.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）首先根据正弦定理边化为角，得到 ，求得 ;（2）由条件可知三角形为等腰三角形，并且顶角为，这样根据面积可求得三角形的边长，在内可根据余弦定理求得 ,最后根据正弦定理求.试题解析：（1）由，得，由正弦定理可得，因为，所以，因为，所以 （2）因为，故为等腰三角形，且顶角， 故， 所以，在中，由余弦定理得，所以，在中，由正弦定理可得，即，所以【点睛】解三角形问题，是高考考
10、查的重点，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化，一般多根据正弦定理把边转化为角 ,或是 ;第三步：求结果.17. 已知数列的前 n 项和，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前 n 项和.【答案】(1)，.(2)【解析】试题分析：（1）利用当时，验证时也适合，可得数列通项公式；（2）分为 为奇数和 为偶数两种情形，利用并项求和得数列的前项和.试题解析：（1）
11、由，当时，.当时，而，所以数列的通项公式，.（2）由（1）可得，当 为偶数时，当 为奇数时，为偶数，.综上，点睛：本题主要考查了等差数列概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，并项求和主要用于正负相间的摆动数列，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.18. 已知函数，且.（1）求 b 的值；（2）判断对应的曲线的交点个数，并说明理由.【答案】(1)；(2)对应的曲线只有 1 个交点，理由见解析.【解析】试题分析：（1）由得：函数的对称轴为，故可得的值；（2）令，对
12、函数进行二次求导，先判断先减后增，在处取得最小值 0，故可得 单调递增，且，由以上可得交点个数.试题解析：（1）由已知可得的对称轴是，因此（2）考虑，列表可知，仅有一个根 x=0，先减后增，在处取得最小值 0，即.因此单调递增，注意到，可得对应的曲线只有 1 个交点19. 设函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间上恒成立，求 a 的最小值.【答案】().().【解析】试题分析：（）设切线的斜率为 ，利用导数求解切线斜率，然后求解切线方程；（2）要使：在区间在恒成立，等价于：在恒成立，利用函数的导数，通过当时，利用，说明不满足题意当时，利用导数以及单调性函数的最小值，求解即可.试题解
13、析：（I）设切线的斜率为 ， 因为，切点为.切线方程为，化简得：.（II）要使：在区间恒成立，等价于：在恒成立，等价于：在（0，+）恒成立因为当时，不满足题意当时，令，则或（舍）.所以时，在上单调递减；时，在上单调递增；当时当时，满足题意所以，得到的最小值为20. 现有 m 个（）实数，它们满足下列条件：，记这 m 个实数的和为，即.（1）若，证明：；（2）若 m=5，满足题设条件的 5 个实数构成数列.设 C 为所有满足题设条件的数列构成的集合.集合，求 A 中所有正数之和；（3）对满足题设条件的 m 个实数构成的两个不同数列与，证明：.【答案】(1)证明见解析；(2)256；(3)证明见解
14、析.【解析】试题分析：（1）由为等比数列可得或，当时，数列前项和在各项取正数时取最大值，经计算的最大值为不满足题意，而当时，同理计算的最小值为，满足题意；（2）结合（1）中结论，而，共种情形，根据其规律得 A 中正数之和为；（3）不失一般性设使得， ，计算得结论成立.试题解析：（1）证明：由题意知，所以或.当时，数列前项和在各项取正数时取最大值，所以的最大值为.不合题意，舍去.当时，.所以，.（2）解：若，由（I）知，.由题意知，.所以满足题意的所有数列为 1,2,4,8,16；-1,2,4,8,16；1，-2,4,8,16；1,2，-4,8,16；共 16 个.在这 16 个数列中，除最后一项外，其他各项正、负各取 8 次，求和时正负相抵.从而，A 中正数之和为 1616=256.（3）证明：设使得， ，则，所以.
