《几何图形面积求解方案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《几何图形面积求解方案（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、公务员考试解决方案系列 不规则图形面积求解方案 不规则图形面积求解方案 华图公务员考试研究中心 沈 栋华图公务员考试研究中心 沈 栋 我们这里所要谈的不规则图形，是指非我们常见的标准几何图形如正方形、长方形、圆 形、扇形、特殊三角形等。因为图形不规则，使得没有现成的求解公式可供我们使用，这也 正是题目的考察点所在：即看你能否将一个不规则图形转化为常规图形来求解。 在阅读下面关于不规则图形面积求解方案之前，你必须十分熟悉下面的面积公式 常用面积公式 正方形面积；长方形面积2Sa=?Sab=?；圆形面积2SR=三角形面积1 2Sa=hh； 平行四边形面积Sa=?； 梯形面积()1 2Sa=+梯形b
2、 h； 扇形面积2 360nSR=扇形在掌握了上述公式之后，对不规则图形，我们主要有如下求解原则： 一、割补法 所谓割补法， 即通过对图形进行分割及重新拼补的办法将不规则图形转化为常规图形进 行求解。割补法是几何模块考察的一个重要内容，对思维要求较高。在考试中，你只要注意 下面两点原则就可以了： 1、先将熟悉的常规图形分割出来、先将熟悉的常规图形分割出来 2、如果图形中存在对称，则取其对称性的最小单位来研究、如果图形中存在对称，则取其对称性的最小单位来研究 这两条是关于分割的原则， 其中第二条的意思也即存在对称时， 沿对称线将图形一分为 二，这样我们只要求出分割后的一半图形，则原图形面积可得。
3、通过分割，很多问题已经可 以求解， 在考试中， 如果再注意一些适当的拼补技巧， 可以使得求解的速度更快。 对于拼补， 注意 3、观察各图形边线是否存在相同的部分、观察各图形边线是否存在相同的部分 这是因为我们拼补实际就是将不同的图形拼成一副规则图形， 因此边线相同的图形才有 可能拼接在一起。 【例 1】半径为 5 厘米的三个圆弧围成如右图所示的区域，其中 AB 弧与 AD 弧为四分之一圆弧，而 BCD 弧是一个半圆弧，则此 区域的面积是多少平方厘米? 【国 2004A-41】 A.25 B.5 C.50 D.50+5 【解析】这显然是一个非常规图形，按照我们上面的分割原则。首先注意到这个图形的
4、 上半部分是一个半圆，这是我们熟悉的常规图形，因此先将其分割出来。对于剩下的下 半部分，会注意到这个图形是左右对称的，因此根据 2，将其按照中线一分为二，这样 我们原来的图形就分割为三部分， 其中下面的两个部分面积是相等的。 过程如下图所示： 经过这样分割以后，上面的灰色半圆面积可求，下面的不规则蓝色部分，从下图可以看 出它的面积实际由一个正方形减去一个 90的扇形即可得出。 当然，到此为止仍全部为分割的办法求解。通过适当的拼补可以加快求解速度。此时， 你只要注意到下面的蓝色不规则图形之弧线与上面半圆弧线的右侧部分相同， 那么即有 如下的拼补方案 这样就把原来的不规则图形转化为一个长方形。 【
5、注释】上面关于蓝色块不规则图形的面积求解是逆向考虑的办法，稍后有阐述。 【例 2】下图中阴影部分的面积为（ ）cm2A. 24 B. 12 C. 4 D. 14 【解析】对于上面的阴影部分，显然容易看出 4 个阴影瓣都是完全相同的，因此我们只 需要求出一个瓣的面积即可。而对于一个瓣而言，又是关于对角线对称的，因此又可以 一分为二，只需要求出一个瓣的一半即可。图形分割程序如下 对于分割后的最小单位阴影部分，其面积为一个 90扇形的面积减去一个直角三角形 的面积，如下图所示： 二、重叠法 所谓重叠法， 即考察阴影图形是由哪些规则图形怎样放置得到的， 能够在脑海中想象出 一个图形形成的过程， 则根据
6、这个过程可以得到面积的简单求解方法。 通常都是一些图形面 积减去另外一些图形面积。重叠法实际是逆向思维的一个应用。 【例 3】下图中阴影部分的面积为（ ）cm2A. 24 B. 12 C. 4 D. 14 【解析】对上面这个图形，我们可以这样考虑，在脑海中先有一个正方形。这个正方形 的四条边上各有一个以其边长为直径的半圆形， 然后我们将这四个半圆依次折叠到正方 形上面。在这个折叠的过程中，四个半圆形恰好覆盖了整个正方形，并且在四个半圆相 互有一些重叠，而重叠的部分恰好就是阴影部分。如下图所示 因此阴影的面积就是四个半圆的面积减去正方形的面积即可得到。 【注释】由此可知，找出阴影部分是怎么重叠而
7、成的是解决问题的关键。 【例 4】国际奥委会的会旗上的图案是由代表五大洲的 五个环组成 （如右图） ， 每个环内外直径分别为 8 和 10， 图中每个小曲边四边形（黑色部分）的面积都相等。若五个环覆盖总面积为，则每个小曲边四边形的面 积为（ ） 39A. 2B. 3 4C. D. 6 【解析】显然容易看出，黑色部分是由五个圆环相互有重叠形成的，因此其总的面积是 五个圆环的面积减去题目给出的五个环覆盖的总面积。 另外特别注意题目要求的是每个 小曲四边形的面积，而不是所有黑色部分的面积。 三、不变图形法 有一些求阴影的题目，其阴影部分是由几何图形旋转得到的。对这类题目，求解的关键 在于抓住旋转过程
8、中的不变图形。 也即切入点不是在阴影图形的形状上， 而在阴影图形是如 何形成的，切入点是这个形成过程中的不变图形。 【例 5】如图，左侧直角三角形 ABC，A30，AC 20 厘米， 以 C 为定点将三角形旋转到 AC 与 BC 成一直线， 求图中阴影部分面积。 （ ） A. 512cm2 B. 208cm2 C. 314cm2 D. 382cm2【解析】对这个图形，阴影部分的形状很不规则，当然其可以通过逆向考虑，这里我们 注意到整个图形的形成是由ABC 旋转而成。因此在这个形成过程中，ABC 是保持不 变的，这是切入点。如下图所示标记数字 1-4，分别表示每一块的面积。显然我们知道： 1+2
9、=左侧ABC 的面积，而 3+4=右侧ABC 的面积，注意到ABC 保持不变，并注意到 2=3，于是可得 1=4。于是我们把 1 位置的阴影补到 4 位置，则整个阴影转化为下图所 示 这个图形是圆环的一部分，面积易求。 60o6cm【例 6】右图中阴影部分的面积为（ ）cm2A. B. 2 C. D. 6 3【解析】在本题中，注意到整个旋转过程中不变的图形是半圆。标记如下左图，可以看 出 1+2 表示半圆的面积，2+3 也表示半圆的面积，因此 1=3。因此把 1 位置的阴影补到 3 位置，得转化为下右图。 四、逆向考虑法 所谓逆向考虑法，是指在求面积的时候，不直接去看图形是什么形状，而是考察其
10、为哪 些规则图形的差额。 上面的重叠法实际是逆向考虑的一种情况， 此外割补法中分割图形后求 每一块图形面积时也常用到逆向考虑， 也即用一个规则图形的面积减去另外一个规则图形的 面积。下面是一些常见例子： 左图黄色部分面积为 90扇形面积减去直角三角形面积 中图绿色部分面积为正方形面积减去 90扇形面积 右图橙色部分面积为圆形面积减去正方形面积 现看前面的例 5，就可以看成下图所示来求解 阴影部分面积为整个图形的面积（也即大扇形 ACA 与左侧ABC 之和）减去紫色部分 和蓝色部分。 （当然注意到蓝色部分恰好也是ABC，因此阴影面积等于大扇形 ACA 减去 小扇形 BCB） 最后， 作为练习，
11、我们应用上面所说的方法来求下图的绿色部分面积。 你可以先尝试下， 然后再看后面的解析 【解析】割补法 分割如下左图，并按箭头指示方向，分别移动各绿色块，可得到下右图，而下右图求解即为圆形减去正方形即可。 分割法 单纯的只用割法，可以看出整个图形可以先求其 1/4 图形面积，即下左图。而此部分仍 然对称，又可以只求其一半，也即下右图。 而对于上右图，具体求解则需要逆向考虑，做一蓝色辅助线如下图所示 左侧绿色块为整个 45扇形（含红色边者）减去下面 90扇形（含蓝色边者）及右侧 直角三角形（与 90扇形共用蓝色边） 。右侧绿色块求法前面已说。 重叠法 如果采用重叠法，首先注意到中间的四瓣形状即我们例 3 中的图形，其面积可求。而这 个四瓣图形同时也是本题中四个小圆形的重叠部分， 因此四个圆的面积之和减去这个四 瓣图形面积所得即为四个圆形真正覆盖的面积。 注意到外围的绿色图形实际是大圆图形 中没有被四个小圆覆盖到的部分， 因此大圆面积减去四个小圆覆盖到的面积即为外围绿 色部分的面积。至此，两部分面积均可得到。
