《第一章_集合与函数概念__复习讲义 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第一章_集合与函数概念__复习讲义 （20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 第一章第一章 集合与函数概念集合与函数概念 一、集合的基本概念与运算 (一)元素与集合 1.集合的定义 一般地，我们把研究对象统称为元素。把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)。通常用大写字母 A，B，C，D，表示集合，用小写拉丁字母 a，b，c，表示元素。 2.集合中元素的特征 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。例如， “中国的直辖市”构成一个集合，北京、上海、天津、重庆在这个集合中，杭州、南京、广州不在这个集合中。 “身材较高的人”不能构成集合；因为组成它的元素是不确定的。 (2)互异性：一个给定集合中
2、的元素是互不相同的(或说是互异的)，也就是说，集合中的元素是不重复出现的。相同元素、重复元素，不论多少，只能算作该集合的一个元素。 (3)无序性：在一个集合中，不考虑元素之间的顺序只要元素完全相同，就认为是同一个集合。 3、集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。 2 4、元素与集合的关系 如果 a 是集合 A 的元素，就是说 a 属于集合 A，记作 aA；如果 a 不是集合 A 中的元素，就说 a 不属于集合 A，记作 a A。 5、常见的数集及记法 全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集） ，记作N； 所有正整数组成的集合称为正整数集（在自然数集中排
3、除 0 的集合） ，记作 N*或 N+； 全体整数组成的集合称为整数集，记作 Z； 全体有理数组成的集合称为有理数集，记作 Q； 全体实数组成的集合称为实数集，记作 R。 例例 已知已知 的值求 且yxQPxxyxQyxP,1 ,2解析 , 1,2xyxy由2,1,yxyx 或解得 x=y=1 这与集合中元素的互异性相矛盾。 解得 x= -1 或 1(舍去) 拓展与提示：（1）无序性常常作为计算时验证的重要依据。 （2）注意 N 与 N*的区别。N*为正整数集，而 N 为非负整数集，即 0N 但 0 N*。 （3）集合的分类 按元素个数 素的集合叫做无限集无限集：含有无限个元素的集合叫做有限集
4、有限集：含有有限个元按元素的特征可分为：数集，点集，形集等等。 特别地，至少有一个元素的集合叫做非空集合；不含有任何元素的集合叫做空集（ ） ，只含有一个元素的集合叫做单元素集。 3 这时 y=0 x= -1，y=0 6、集合的表示方法 (1)列举法：把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法。 适用条件：有限集或有规律的无限集有限集或有规律的无限集 形式： naaaa，,321(2)描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围；再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具
5、有的共同特征。 适用条件：一般适合于无限集，有时也可以是有限集。一般适合于无限集，有时也可以是有限集。 形式：，其中 x 为元素，p(x)表示特征。 )(xpDx(3)韦恩图法：把集合中的元素写在一条封闭曲线(圆、椭圆、矩形等)内。 例例 用适当的方法表示下列集合，并指出它是有限集还是无限集：用适当的方法表示下列集合，并指出它是有限集还是无限集： (1)由所有非负奇数组成的集合； (2)由所有小于 10 既是奇数又是质数的自然数组成的集合； (3)平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合； (4)方程 x2+x+1=0 的实数根组成的集合。 拓展与提示：如果集合中的元素的范围已经很明确，那么
6、 xD 可以省略，只写其元素x，如可以表示为。 10xRx10xx4 解析 (1)由所有非负奇数组成的集合可表示为： ，A 是无限集。 NnnxxA, 12(2)满足条件的数有 3，5，7，所以所求集合为：，集7 , 5 , 3B合 B 是有限集。 (3)所求集合可表示为：，集合 C 是无限集。 00),(yxyxC且(4)因为方程 x2+x+1=0 的判别式的 f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数，如下图(2)所示。 如果函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间。 2
7、、函数单调性的判断方法 (1)定义法。用定义法判断函数单调性的步骤为 第一步：取值。设 x1、x2是该区间内的任意两个值，且 x10，则 f(x)在(a,b)上递增；若当 x(a,b)时，f(x)0，即时，上式0，即 f(x2)f(x1)。 21a当时，在(-2，+)上为减函数 21a21)(xaxxf当时，在(-2，+)上为增函数 21a21)(xaxxf3、复合函数的单调性 对于复合函数 y=fg(x) ，若 t=g(x)在区间(a,b)上是单调函数，则 y=f(t)在区间(g(a),g(b)或(g(b),g(a)上是单调函数；若 t=g(x)与y=f(t)单调性相同(同时为增或减)，则
8、y=fg(x)为增函数，若t=g(x)与 g=f(x)单调性相反，则 y=fg(x)为减函数，简单地说成“同增异减” 。 y=f(t) 增 减 增 减 t=g(x) 增 减 减 增 Y=fg(x) 增 增 减 减 (二)函数的最大(小)值 1、定义 一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满： (1)对于任意的 xI，都有 f(x)M； (2)存在 x0I，使得 f(x0)=M. 18 那么，我们称 M 是函数 y=f(x)的最大值。 同样地：如果存在实数 M 满足： (1)对于任意 xI，都有 f(x)M； (2)存在 x0I，使得 f(x0)=M. 那么我们称 M 是
9、函数的最小值。 2、二次函数在闭区间上的最值 二次函数 f(x)=ax2+bx+c，当 a0 时，在闭区间m,n上的最值可分如下讨论： 若时，则最大值为 f(n)，最小值为 f(m)； mab2若时，则最大值为 f(m)，最小值为 f(n)； nab2若时，则最大值为 f(m)或 f(n)，最小值为. nabm2)2(abf 例 已知，若 f(x)=ax2-2x+1，在1，3上最大值为131 aM(a)，最小值为 N(a)，令 g(a)=M(a)-N(a),求 g(a)的函数表达式。 解析 . aaxaxf111)(2 ，. 131 a311a又 1，3. x当， 时ax1f(x)min=N(
10、a)= a11当，即时， 211a121 af(x)max=M(a)=f(3)=9a-5. 拓展与提示：(1)函数的最大(小)值是函数的图象的最高点(最低点)对应的纵坐标。 (2)一个连续不断的函数在闭区间a,b上一定有最大值和最小值。 (3)求函数最值的常见方法为构造二次函数；单调性法；导数法。 19 当时， 21 31, 312aa即f(x)max=M(a)=f(1)=a-1 .21 31, 21, 121, 619 )()()( aaaaaa aNaMag(三)函数的奇偶性 1、定义 偶函数：一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(-x)=f(x)，那么函数 f(
11、x)就叫做偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(-x)=-f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数。 2、函数奇偶性的性质 (1)若函数 f(x)是偶函数，那么： 对任意定义域的 x,都有 f(-x)=f(x)； 函数 f(x)的图象关于 y 轴对称； 函数 f(x)在两个半对称区间上的单调性是相反的。 (2)若函数 f(x)是奇函数，那么： 对任意定义域内的 x，都有 f(-x)=-f(x)； 函数 f(x)的图象关于坐标原点对称； 函数 f(x)在两个半对称区间上的单调性是相同的。 3、函数奇偶性的判定方法 拓展与提示：并不是所有的函数都具备奇偶
12、性，这些既不是奇函数又不偶函数的函 数称为非奇非偶函数；既是奇函数又是偶函数的函数只有一个，就是 f(x)=0。 判断函数奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称，否则称为非奇非偶函数。 20 (1)定义法 f(x)是奇函数 0)()()()(xfxfxfxff(x)是偶函数 ()( )()( )0fxf xfxf x(2)利用图象的对称性 f(x)是奇函数的图象关于原点对称。 )(xff(x)是偶函数的图象关于 y 轴对称。 )(xf例 设函数 f(x)对任意 x、yR，都有 f(x+y)=f(x)+f(y)，且 x0时，f(x)0 时，f(x)0，f(x2-x1)0，即 f(x2)-f(x1)0 f(x2)f(x1)，f(x)在 R 上为减函数 f(x2)在-3，3上，当 x=-3 时，f(x)取最大值，即 f(x)max=f(-3)=-f(3)=-3f(1)=6； 当 x=3 时，f(x)取最小值，即 f(x)min=f(3)=-6. 21
