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1、2 0 1 3 年第 1 0 期 数学教学 l o 一 3 3 一道测试题的一般结论及其嬗变 2 2 3 8 0 0 江苏省宿迁市马陵中学 范金泉 徐州市 2 0 0 8 2 0 0 9学年第一学期高二期 末数学试卷中的最后一道填空题为“ 一只球放 在桌面上不动， 桌面上一个点 的正上方有 一点光源 0， O A与球相切， 光源 (= ) 不动， 让 点 A在桌面上移动， O A始终与球相切， O A形 成一个轴截面顶角为 3 0 。的圆锥面的一部分， 则点 运动轨迹的离心率为 ” 由已知得， 点 A 运动的轨迹是一个椭圆， 不妨记椭圆的长轴为 AB( N 图1 ) ， 设 A B=2 a ，
2、 则 O B =4 a ， O A = 2 v -3 a 记球心为点 尸， 球 P 与 O A的切点为点 ， 与桌面的切点为点 D， 可以证明点D是椭圆的一个焦点 在R t (二 ) AB 中， A D ： A C ： _A B+OA-O B ：( 一 1 ) a 在椭圆中， AD= a -c ， 即 ac= ( 、 3 1 ) a 所以C =f 2 一v a ， 离心率e =2 一、 3 D C 图 1 我们知道， t a n l 5 。=2一、 3 ， 它与离心率 相等， 这二者之间有必然的联系么?是不是在 一般的情形下， 若 (= ) B=2 o ( 0 。04 5 。 ) ， 都有椭圆
3、的离心率为 t a n 0 7 1 轴截面是直角三角形的一般结论 如 图 2 ，过 椭 圆 的长轴 J E 与 光源 点 ( = ) 作轴截面 0 ， OA B=9 0 。 ， 设 二 ) B= 2 ， 令 O A=h ， J J AB = t a n 2 0 ，O B= 又 因 为 (= ) B 是 直 角 三 角 形，故 AD= OA+A B-一OB，所 以对椭 圆而 言，半焦距 c ： AB一OA+ AB一-OB：OB - OA，故 离 c 一 一= = = 一，瞅 同 一 心率e： 一O B-O A ： h： 0 C 图 2 2 轴截面是任慝三角形的一股结论 如图 3 ， 过椭圆的长轴
4、 A B与光源点 0作 轴截面 AA OB, 若 AA OB 为斜三角形，设 Z AOB ： 2 0 ， Z OAB = 2 a ， 令 OA ： h ， 则 由 正弦定理得 AB = 五 s i n 2 0 记球心 Sl nI Z 十 0 为点 P， 连结 (= ) P、 P， 则 AO P=0 ， Z OA P = ，所以 P=五 s i n 0 ， AD = P c 。 s = 故离心率 A BAD AD 一 2 AD f ) A 一 e 一= = ： s i n 2 0 一2 s i n 0 c o s a i ， s i n ( 2 +2 ) s i n ( + ) 一 s i n
5、2 s i n ( 2 0 +2 a 1 ” s i n2 0 4 s i n 0 C O S c o s ( O + ) s i n2 0 C O S 0 2 C O S c o s ( O + ) C O S 0 c o s ( O +2 a ) 1 0 - 3 4 数学教学 2 0 1 3 年第l 0 期 图 3 这一结论， 我们可以从以下几个方面讨论： f 1 )当 2 a = 9 0 。即 ( 二 ) B = 9 0 。时， e：一 c o s ( O + 9 0 )： ： t a n 0， 显然满 一 一 一 一 t - r卅 C OS 0 C O S 0 足 1中的结论 ( 2
6、)当 +2 a=9 0 。时， ( = ) A = OB， e=0 ， 此时球在桌面 ( 或地面) 的投影为圆， 而圆的离 心率为 0 ( 3 )当 0+O L = 9 0 。 时， 投 射线 DJ E 与 桌 面 ( 或地面) 平行， 此时球的投影为抛物线， 其 离心率为 1 ( 4 ) 当 9 0 。 0 +O L 1 8 0 。时， 投射线 D B 的反向延长线与桌面 ( 或地面)相交， 如图 4 ， 此时球 的投 影为双 曲线 的一 支记投射 线 O B 的反 向延 长 线 与 桌 面( 或 地 面)交 于 点 E， 则线 段 E 是双 曲线 的实轴 记球 与桌 面 ( 或 地面)切
7、于点 D，设 A A O B ： 2 ， (= ) D ： 2 a ，令 (= ) A = h ，则 E = s i n ( - 一2 0 1 ， s i n 2 0 ， 、 - = 凡= =一 面 记 球 心 为点 J F ) ，连 结 ( = ) P、AP，则 ( 二 ) P= ， A O A P= ， 所 以 P = s i n 0 h， AD = APc o s ： s i n 0 c o s ah 故离心率 s i n f 0+ O L 1 。 + D E + 2 AD f)一 = ， 一一一 一 E 一 ， 4 2 一 s i n 2 02 s i n ( O s i n f 2
8、+2 ) + ) s i n 2 0 ， s i n ( 2 0 +2 a ) 凡 一s i n 2 一4 s i n 0 C O S c o s ( O+ ) 一- _- - - _ _ _ -_ _- -_ _ _ _ _ _ _ -_- _-_ _ -_ _ _ _ _ _ _一 s i n2 0 一C O S 0 2 C O S O L c o s ( O + ) 一 一 c o s ( O +2 a ) C O S 0 D 图4 就是说， 这一结论亦适用于双曲线 综上所述， 一个球放在地面上， 球与地面 的切 点 为 D， 球 外 有一 点 光源 ( = ) ，记球 心 为 点 P，
9、当 D、O、P 三 点共 线时， 球在地 面的 投影是圆： 当 D、(二 ) 、P 三点不共线时， 球在 地面的投影是圆锥曲线 当 D、(= ) 、P 三点不 共线时， 过 D、O、P三点作轴截面， 落在轴 截 面上 的光 线记 为 OA 和 OB其 中至少有 一条与地面相交， 记与地面 的交点为点 A 若 0 B=2 0 ， O A D= 2 a ， 则所成的圆锥曲 线的离心率为 一c o s ( O+ 2 a ) ( 5 ) +2 又有何实际意义呢?如图 5与 图 6 ， 记光源 点 0 与球心 P 的连线交地面 于点 E， 则 0EB： +2 故有离心率 e= 其中直线 OP 是光源点与球心的 连线， 也 就是 圆锥 面 的轴 ，因此 ZPOA 就 是 母线与轴所成的角， 而 O EA就是轴与地面 所成的角 D 0 A H DE B H A D E B 图 5 图 6 这就是说， 置球所截圆锥曲线的离心率等 于对顶 圆锥面 的轴与地面所成 的锐角的余 弦值 比上轴与母线所成角的余弦值
