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1、线性变换（线性变换（A 卷）卷）（特征值与特征向量）一、填空题一、填空题( () )35151. 设是 3 阶矩阵，特征值是 1, 2, 3，则的特征值是 ，的特征A2AE 2AE 值是 ，的特征值是 *2(2 )AE 2. 设是 n 阶矩阵，则必有特征值 ，且其重数至少是 A( )R An A3. 已知-2 是的特征值，则 022 22 226Ax x 4. 设，则矩阵 A 有非零特征值是 ，(1,2,3,4) ,(4,3,2,1) ,TTTA对应的特征向量可取为 5. 已知矩阵有两个线性无关的特征向量，则 a 12123001Aa 二、选择题二、选择题( () )3515 1. 设 n 阶
2、矩阵 A 与 B 相似，则 ( )(A) (B) EAEBEAEB(C) (D) A 和 B 都相似于一个对角阵EAEB:2. 设是可逆矩阵的一个特征值，则的一个特征值是 ( )2A211()3AE(A) (B) (C) (D) 7 31 37 45 2 3. 下列矩阵中不能不能相似对角化的是 ( )(A) (B) (C) (D) 120 203 030 000 000 123 000 010023 000 100023 4. 下列矩阵中，与矩阵相似的是( ) 000030003A (A) (B) (C) (D) 003 030 000 010 031 003 300 000 003 010
3、003 030 5. 设是 3 阶矩阵，是 AX O 的一个基础解系，是属于特征值的特征向A12, 31量， ( )一定不是的特征向量A(A) (B) (C) (D) 123121332三、计算题与证明题（三、计算题与证明题（）65301. 已知，求的特征值和特征向量，并判断能否对角化，说明理121 230 002A AA由 2. 已知，求的伴随矩阵 A*的特征值与特征向量122 212 221A A3. 已知是 3 阶不可逆矩阵，-1 和 2 是的特征值，,AA22BAAE 求 B 的特征值，问 B 能否相似对角化？说明理由4. 若可逆，证明：(1) A 的特征值不是零；(2)若是的一个特征
4、值，则是的一AA1 1A 个特征值.5. 已知，证明：不能相似对角化2,AO AO A四、()已知可对角化，求可逆阵 P 及对角阵，使84100 130 31A x 1P AP 五、()设 3 阶矩阵的特征值对应的特征向量依次为12A1231,2,3，(1)将向量用线性1(1,1,1)T2(1,2,4)T3(1,3,9)T(1,1,3)T123, 表示； (2)求. nA六、()已知三阶矩阵的特征值为，对应的特征向量为，12A2,1, 1 (1,0, 1)T，试求矩阵(1, 1,0)T(1,0,1)TA七、()已知是 A 的特征值，是相应的特征向量且线性无关，若8123, 123, 仍是 A
5、的特征向量，证明：133123线性变换（线性变换（A 卷）参考答案卷）参考答案（特征值与特征向量）一、填空题 1. 3，4，5； 2，5，10； 16，1，0 2. 0 ，n-r(A) 3. -4 ；4. ； 5. -1 20,(1,2,3,4)T二、选择题 1. B； 2. C； 3. D ； 4. C ；5. C 三、计算题与证明题1. ；的特征向量，的特征向1232,1 1211(5, 2,9) (0)Tkk231 量，二重特征根只对应一个线性无关特征向量，故 A 不可对22( 1,1,0) (0)Tkk1 角化.2. A*的特征值为 1，-5，-5； 的特征向量，的特1111(1,1,1) (0)Tkk 235 征向量 (k2, k3不全为零)23( 1,1,0)( 1,1,0)TTkk3. B 的特征值，且 B 可以相似对角化.1230,2 4- 5.略.四、 2051 101,1 0132P 五、(1) ；(2); 六、;七、(略) 1232212132223223223nnnnnn 21 23 2301023 21 21
