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1、空间直角坐标系中的虚数函数王锺谋大家都知道我们现在知道的二次函数（也就是指，)0(2acbxaxy),(Rcba在这里，我将平面函数称为一级函数）是一个平面图形，那么二次函数活跃于空间呢？你 一定在奇怪吧，一个没有厚度的平面图形要怎么活跃于三维空间呢，而且函数解析式只有两个量和，换句话说，任何一个一级二次函)0(2acbxaxy),(Rcbaxy数都只有两个方向，那么第三个方向，也就是第三个量从何而来呢？现在我们将一个一级二次函数多加一个条件，也就是说加一个，在这里)(Rmmz是第三个量，也是第三个方向，也就是过关于的平面直角坐标系的原点做一条垂直zyx0于该平面直角坐标系的实数数轴，这样)0
2、(2acbxaxy)(Rmmz就可以在空间坐标系运动了，但这个函数在空间运动时，只能做上下，前后，),(Rcba左右地运动，但却不能够旋转（一次函数在平面可以旋转） 。例如，我们取这个函数的对称轴左边的一个点为)0(2acbxaxy)(Rmmz),(Rcba，这个点关于对称轴对称的一个点为，现在我们可以试一试将运动到点的右MNMN边，但这要怎么做呢？这个函数只能做上下，前)0(2acbxaxy)(Rmmz后，左右地运动，但却不能够旋转，但要使将运动到点的右边，就必须作点关于MNM的对称点（就算你改变的值也是没用的） ，N)0(2acbxaxy)(Rmmza也就是说，必须在空间中做一个旋转地运动
3、，但这样要怎么做呢？（在这里，我们将存在 于这种空间直角坐标系中的函数称为二级函数） 大家都知道虚数坐标系，它其实就是一个实数数轴和一个虚数数轴互相垂直于原点组成的（现在令横轴为实数轴，纵轴为虚数轴） ，现在我们任取平面上的一点，其P)(bia中（） ，如果现在我们将乘以虚数 的话，我面很容易就能发现Rba,i1)(biai点绕原点顺时针旋转了，反之，如果现在我们将乘以虚数的话我们就可P090)(biai以发现点绕原点逆时针旋转了。现在有了这一点提示，我们就有可能使函数在空间P090直角坐标系中做旋转运动了我们先建一个平面直角坐标系（两条数轴都是实数轴） ，之后， 我们过原点作一条虚数数轴垂直
4、于平面直角坐标系，这样，我们就构造了一个空间直角坐标系。现在，我们构造一个，在这里，)0(2acbxaxy),(Rcba)(Rmmz是虚数，因为在这里，这两个量，表示的是两个实数数轴上的值，所以在这里，myx,取的值，一定要是实数。但是，我们发现yx,)0(2acbxaxy),(Rcba的值虽然取的是虚数，但和轴，轴其中之一上的轴上对应的值形成)(Rmmzzxy一个形如（）的联系，换句话说)(biaRba,)0(2acbxaxy),(Rcba（是虚数）中的值和)(mz mm中的值的几何意义是一样，都不)0(2acbxaxy),(Rcba)(Rmmzm能起到使函数图像作旋转运动，只能使函数图像做
5、上下运动。 那么，我们怎样才能使函数在空间直角坐标系做旋转运动（竖直和水平方向）呢？ （一次函数可以在三个实数轴组成的空间直角坐标系和有两个实数轴和一个虚数轴组成的 空间直角坐标系中做旋转运动，但他仍不能做竖直方向的旋转运动）如果我们能做到这一 点，我们就能做到去函数上的任意一点，将这个点运动到空间中的任意一点。 现在，我们试着建立一个平面直角坐标系，但在这里，轴，轴都是虚数数轴，之xy 后我们过原点做一条实数轴垂直于平面直角坐标系（在水平方向，指向左右的是轴，zx指向前后的是轴） 。建立了一个由两个虚数数轴和一条实数轴组成的空间直角坐标系（在y这里，我将存在于这种空间直角坐标系中的函数称为三
6、级函数） 。现在，我们来写一写在这个空间直角坐标系的函数值（注意，此时)0(2acbxaxy为复数）cba,(为复数） ，你可能要问值呢？我来告诉你吧，在这个空间直角坐标系中是不用特意cba,z去表示值的，等会你就知道为什么了。因为这里轴是虚数数轴，所以值是虚数。现zxx在为了让大家搞清楚这是怎么一回事，我们就令这个函数为，我们现在将322xxy代入进去，就成了，大家可以看到因为有ix 322iiy423212ii的存在，在带入虚数值时，就会同时产生一个实数（就算取 0 也一样，因为，2xxRc所以就以定会有实数出现） ，也就会产生第三个量，也就有了第三个方向，之后产生的这个实数和值相加的总值
7、，就是第三方向上对应的量，之后我们就可在平面上找到对应cyz0的点，在结合轴上的值，就可以找到对应的空间直角坐标系上的点。经过多次代入后，x 我们就可以发现，它的形状是抛物线，对称轴是轴（对于任意一个三级函数z都过轴，因为可以取 0）之后我们来证明这)0(2acbxaxy为复数）cba,(zx是一个抛物线。首先，让我们看看一级函数中的抛物线)0(2acbxaxy，和一级函数中的一次函数，现在我们令),(Rcba)0( kbkxy),(Rbk中的值分别为，所以现在)0( kbkxy),(Rbkbk,cb,)0( kbkxy就成了，现在，我们可以发现和抛物线),(Rbkcbxycbxy的不同之处，
8、抛物线比一次函数多了一个的值，)0(2acbxaxy),(Rcba2ax换句话说，一次函数上的每个点向竖直方向平移个单位（时，向上移，cbxy2ax0fa时，向下移）就成了抛物线上的每一个点，也0pa)0(2acbxaxy),(Rcba就是说上的每个点向竖直方向平移个单位就是抛物线cbxy2ax。这个理论在三级函数中也一样，将一级函数)0(2acbxaxy),(Rcba上升到三级函数的角度（不要忘了，此时的值是虚数）之后将它图像上的每cbxyx一个点竖直移动个单位（不要忘了，此时的值是虚数） ，就变成了三级函数2axx，也就是说，三级函数)0(2acbxaxy为复数）cba,()0(2acbx
9、axy的形状一定是抛物线。现在，让我们回归函数，当时，为复数）cba,(322xxyix 值是，和虚数直角坐标系一样，我们将值乘上就的话就是以面对平面，y42 iyizoy射线延长方向为准，以点为旋转中心将整体向右旋转，不过此时都为oz)0 , 0(090cba,虚数，此时图像解析式为。在这里，我们很容易就能证出来，当值是iixixy322a负数时，开口方向是朝下的，值是正数时，开口方向是朝上的；值越大，在水平方向ab 就会离轴越近；升高或降低值，也就是是这个函数作上下平移地运动，移动的单位是yc 值的变化量。现在，让我们来看一看，这个三级函数能不能水平方向旋转。我们将三级c函数的一次变量加上
10、一个绝对值，就成了，我们可以发322xxyx322xxy现无论取何值，的值一定等于中为正虚数时所对应x322xxyy322xxyx的值是一样的，因为。所以我们就可以发现三级函数的一次变量yii 322xxy加上一个绝对值，就等于将它的图像（值中的虚数值的符号为负的图像）作了一个关xy于平面的对称，也就是作了一个水平方向的旋转。如果我们将三级函数zx0的一次项系数前加一个符号，就等于将这个三级函数图像作了一个关于平322xxy面的对称，也是作了一个水平方向的旋转。三级函数中的一次函数和三级函数中的二zx0 次函数的规律也大同小异，因为大家别忘了，刚才已经证明出二次函数是由一次函数平移 得到的。 这就是目前我发现的三级函数的性质。
