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1、 造 直 角 三 角 形 ， 而 结 合 本 题 给 定 角 的 条 件 应 选 后 两 种 方 法 ， 再 进 一 步 根 据 本 题 给 定 边 的 条 件 选 第 三 种 方 法 较 为 简单 例 2如 图3 ， 正 方 形 AB C D中 。 E 是 BC 边 上 的 中点 ， F 是AB_ E一 点 ， 且 F B： AB， 那 么 DE隈 4 直 角 三 角 形 吗 ?为 什 么? 【 再认识】 勾股定理的逆定理是判定直 角 三 角 形 的重 要 方 法 。 它 通 过 三 角 形 三 边 的 数 量 关 系 来 研 究 图 形 的 位 置 关 系 解 题 时 需 找 到 某 两
2、边 的 平 方 和 等 于 第 三 边 的 平 方 ， 从 而 将 数 转 化 为形 【 分 析 】 这道 题 中有许 多 隐藏条 件 ， 解 题 时 要 仔 细 读 题 ， 找 出 边 之 间 的 关 系 ： 由 1 F B = B可 以设 4B = 4 a ， 那 么B E = C E= 2 a ， 4 -3 口 曰 0 再 利 用 已 有 的直 角 三 角 形 分 别 表示 出 DE F 的各 边 的 平 方 ，最 后 利 用 勾 股 定 理 逆 定 理 去 判 断 DE 腥否 直 角 三 角 形 解 ： 设 B F= a ， 则 B E= EC= 2 a， AF= 3 a ， AB =
3、 4 a ， 在 直 角 B E F中 ， 根 据 勾 股 定 理 ， EF = BF B E2 = a 2 + 4 a 2 = 5 a 2 在 直 角 C E D中 ， 根 据 勾 股 定 理 ， D 2 = C E2 + C D = 4 a 2 +1 6 0 2 = = 2 O 在 直 角 ADF 中 。 根 据 勾 股 定 理 ， D ： AP+ ADZ = 9 a 2 +1 6 a 2 = 2 5 DIU= EI + DE 根 据 勾 股 定 理 的逆 定 理 D 9 0 。 DE F 是 直 角 三 角 形 【 变式 】 已知： B C 的三边分别为m 一n ， 2 mn ， m +
4、 n m， n 为 正 整 数 ， 且 m n ) ， 判 断 A C 是 否为直 角三 角形 【 分析】 本题是利用勾股定理的逆定理 来 判 定 直 角 三 角 形 只 要 证 明 + 6 2 _ c 即 可 我 们 把 能 够 构 成 直 角 三 角 形 的 三 边 长 的 三 个 正 整 数 称 为 勾 股 数 ， 勾 股 数 除 了m 1 7 一n ， 2 mn ， m + ( m， n 为 正 整 数 ， 且 m n ) 这 一组 数 外 ， 还 有 n 2 _ 1 ， 2 凡 ， + 1 ( n 2 ， n 为 正 整 数 ) ； 2 n + 1 ， 2 n 。 + 2 n， 2
5、n + 2 凡 + 1 ( n 为 正 整 数 ) 突破 点 2 ： 对 勾 股 定理 及 逆 定 理 的 再 应 用 椤 0 3( 1 )女， 图4 ， 图 ( 1 ) 是 由四 个 相 同 的 直 角三 角形 与 中间 的 小 正 方 形拼 成 的 一 个大正方形 若大正方形的面积为 1 3 ， 每个 直角三 角形 两条直角边的和是5 ， 求 中间小 正 方 形 的 面 积 ( 1 ) ( 2 ) 图 4 ( 2 )现 有 一 张 长 为 6 5 c m、 宽 为 2 c m的 纸 片 ， 如 图4 ( 2 ) ， 请你将 它分割 成6 块 ， 再拼 合 成 一 个 正 方 形 ( 要 求
6、 ： 先在 图4 ( 2 ) 中画 出分 割 线 ， 再 画 出拼 成 的 正 方 形 并 标 明相 应 数 据 ) 【 再应用】 用面积法验证勾股定理是认 识 和 理 解 勾 股 定 理 的 重 要 手 段 ， 通 过 对 图 形 的割 补 与 拼 接 ， 加 深 对 勾 股 定 理 的认 识 ， 提 高 解 决 问题 的 能 力 【 分析 】 本题第( 1 ) 问关键在于找到直 角 三 角 形 两 直 角 边 与 小 正 方 形 边 长 间 的 关 系 ， 并 且 利 用 两 直 角 边 满 足 的条 件 得 到 正 方 形 的 面 积 第 ( 2 ) 问 中 的 长 方 形 面 积 为
7、1 3 ， 在 割 补 拼 接 过 程 中面 积 不 变 ， 所 以 可 借 助 图4 ( 1 ) 来 寻 找 割 补 拼 接 的方 法 解 ： ( 1 )设 直 角 三 角 形 的 较 长 直 角 边 为 a 较 短 直 角 边 为 b ， 则 小 正 方 形 的边 长 为a b 根据题 意 ， 可得 ： a + b = 5 由勾股定理 ， 可得 ： + 6 = l 3 一 得2 a b = 1 2 ( 6) = a 2 + b 2 1 2 a b =l 3 1 2 = 1 所 求 的 中 间小 正 方 形 的 面 积 为 1 T n t e l l i g e n t ma t h e m
8、a t i c s 1 智 慧散 攀 瓣 S 鹅篓 S 5 i 勾股定理错题； 集 南通 市第一初 级 中学周 红娟 例 1 学校草 坪上 要 空 出一块 直 角三 角 形 的 地 种 花 ， 已知 这 个 直 角三 角 形 的 两 边 长分 别 为4 m和 5 m， 那 么这 块 直 角三 角形 空 地 的 面 积 为 mz 【 错 误解 答 】 因为 是 块 直 角 三 角 形 空 地 ， 由勾 股 定 理 可 得 3 + 4 。 = 5 ， 所 以 第 三 条 边 长 为 3 m， 此 时 直 角 三 角 形 空 地 的 面 1 积 ： x3 x 4 = 6( m ) 2 【 错因剖析
9、】 由于不能正确理解勾股定 理 的 内 涵 两 条 直 角 边 的 平 方 和 等 于 斜 边 的平 方 以及 受 勾 股 数 3 ， 4 ， 5 的影 响 ， 导 致 了错 误 在 直 角 三 角 形 中 ， 要 弄 清 哪个 是 直 角 。 从 而 确 定 哪 条 是 斜 边 ， 才 能写 出 正 确 的勾 股 定 理表 达式 【 正确解 答 】 此题要分两种情况 ： ( 1 )当 已知 的4 和 5 两 边 中有 一 条 为 斜 边 ， 则 5 是 斜 边 ， 由勾 股 定 理 另 一 直 角 边 的 1 长 为3 。 此 时 三角 形 空 地 的 面积 3 4 = 6 ： 2 ( 2
10、)当 已知 的4 和5 两 条 边 都 是 直 角 边 抟 希 不 乔 不 铞 不 乖 尔 筇 乔 不 ! 矫 筇 尔 不 ； 矫 ( 2 ) 长 方 形 的 面积 为6 5 x 2 = 1 3 ( o m ) ， 要拼成 的正方形 的面积也等于1 3 ( c m ) 所 以可 按 照 图4 ( 1 ) 制 作 由 ( 1 ) 知a + b = 5， 6 ：1 a = 3， b = 2 根 据 题 意 ， 每 个 直 角 三 角 形 的 较 长 直 角 边 只 能 在 纸 片 的 长 边 上 截 取 截 去 四个 直 角 三 角 形 后 余 下 的 面 积 恰 为 中 间 小 正 方 形 的
11、面积 于是 ， 得 到 以下 的分 割 拼 接 方 法 ： 2c m 3c m 3 c m 0 5 c ， 、 、 ： 、 I 、 广 、 、 、 ： 【 变式 】 已知 ： 如图5 ( 1 ) ， 长方形A B C D 被 分割 成四部 分 ， 其 中某些线段 的长度如 图 所 示 ， 已知 这 四部 分 可 以没 有 重 叠 、 没 有 空 隙地 拼 成 一 个 正 方形 ( 1 )求 出所拼 得正 方形的边 长 ，并 写 1 8 出计算过程 ； ( 2 )保持 五 边形D E F G H的位 置 不动 ， 在 图5 ( 2 ) 中用虚线补 全拼接后得 到的正方 形 ， 并标 出图 中所有
12、线段 的长( 在不添加新 线段的条件 下) E D ( 1 ) 图 5 ( 2 ) 【 分析 】 ( 1 ) 根据在拼接过程 中面积保 持 不 变 可 知 ， 所 拼 得 正 方 形 的 面 积 与 矩 形 AB C D的 面积 相 等 在 图5 ( 1 ) 中分别 利用 勾 股 定 理 在 R t AB G和 R t C G H中求 出 B、 C G 的 长 度 ， 从 而 求 出矩 形AB C D的面 积 。 ( 2 )由 ( 1 ) 可 知 ， 拼 接 后 得 到 的正 方 形 边 长 为 1 2 ， 应 以D E 为 一 边 拼 接 _ _ r n t e g e n t ma t h e ma t i c s 1 材慧数攀
