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1、 鼎吉教育（Dinj Education）中小学生课外个性化辅导中心资料 初中数学竞赛专题培训讲练学习地址：佛山市南海区南海大道丽雅苑中区雅广居 2 D 第 1 页 咨询热线：0757-86307067 13760993549（吉老师）初中数学竞赛专题培训初中数学竞赛专题培训 第三十讲第三十讲 生活中的数学生活中的数学( (四四)买鱼的学问买鱼的学问鱼是人们喜欢吃的一种高蛋白食物，所以谁都希望买到物美价廉的鱼假定现在商店里出售某种鱼以大小论价，大鱼 A 每斤1.5 元，小鱼 B 每斤 1 元如果大鱼的高度为 13 厘米，小鱼的高度为 10 厘米(图 2-171)，那么买哪种鱼更便宜呢？有人可能
2、觉得大鱼 A 和小鱼 B 高度之比为 1310，差不了许多，而小鱼的价格却比大鱼便宜许多，因此，买小鱼比较合算这种想法是合理的吗？我们还是用数学来加以分析吧！在平面几何中，我们已经知道以下定理定理定理 1 1 相似形周长的比等于相似比定理定理 2 2 相似形面积的比等于相似比的平方例例 1 1 已知：ABCABC，并且AB=2c，BC2a，AC=2b，AB3c， BC=3a，AC=3b求证：ABC 和ABC周长的比是 23(图 2-172)证证 ABC 的周长是2a2b2c=2(abc)，ABC的周长是3a3b+3c=3(abc)，所以ABC 和ABC的周长的比是2(a+b+c)3(abc)=
3、23例例 2 2 图 2-173 是两个相似矩形，如果它们的相似比是34，求证：它们面积的比是 3242证证 矩形 ABCD 的面积是 3a3b=32ab，矩形 ABCD的面积是 4a4b=42ab，所以矩形 ABCD 和矩形 ABCD的面积之比是32ab42ab=3242从定理 1 和定理 2，我们自然会想到：相似的两个立体的体积之比与它们的相似比有什么关系呢？为此，我们看下面的例子例例 3 3 图 2-174 是两个相似的长方体，它们的相似比为35，求它们的体积之比解解 长方体(a)的体积是 3a3b3c=33abc，长方体(b)的体积是 5a5b5c=53abc，所以长方体(a)与长方体
4、(b)的体积的比是33abc53abc3353例例 4 4 图 2-175 是两个相似圆柱，它们的相似比为 23，求它们的体积之比解解 小圆柱的体积是鼎吉教育 遵循：“授人以鱼，不如授人以渔”的教育理念 秉承：以人为本，质量第一，突出特色， 服务家长 以鲜明的教育理念启发人 以浓厚的学习氛围影响人 第 2 页 以不倦的育人精神感染人 以优良的学风学纪严律人(2a)22b23a2b，大圆柱的体积是(3a)23b33a2b，所以小圆柱与大圆柱的体积之比为2333定理定理 3 3 相似形的体积之比，等于它的相似比的立方有了上面的知识，我们回到本题，是买小鱼便宜呢？还是买大鱼便宜呢？我们假定同一种鱼的
5、体形是相似形，对于鱼 A 和鱼B 来说，A 与 B 的相似比为 1310，因此，根据定理 3，A 与 B的体积之比为由于 A 鱼的价格是 1.5 元，B 鱼的价格是 1 元，所以价格比是 1.51=1.5，我们可以看到，A 的体积是 B 的体积的 2.197 倍，可是 A 的价格却是 B 的价格的 1.5 倍，所以买大鱼 A 比买小鱼 B更合算下面我们进一步考虑一下鱼的高度和体积的关系，为此，我们先规定标准：设 M 鱼高 1 厘米时，体积是 2 厘米3，那么 N 鱼高是 x 厘米时，体积是 y 厘米3由于 M 和 N 是相似形，所以由相似形体积之比与相似根据上式，当 x 的值变化时，y 的值相
6、应地跟着变化，于是，我们就得到表 30.1从表中可以看到：当 x=1 时，x3=1，y=2x3=2这就是 M 鱼的身高与体积的关系当 x 的长度由 1 厘米增长到 2 厘米，即增长 2 倍时，其体积y 相应地由 2 厘米3增长到 16 厘米3，即增长了 8(23)倍当 x 的长度由 1 厘米增长到 3 厘米，即增长 3 倍时，其体积y 相应地由 2 厘米3增长到 54 厘米3，即增长了 27(33)倍一般地，当 x 增长 n 倍时，则体积 y 相应地增长 n3倍根据上表中的 x 和 y 的对应数值，可以画出 y=2x3的图像(图 2-176)例例 5 5 利用 y=2x3的图像(图 2-176
7、)，解答下列问题：(1)当 x=2.75 时，y 的值是多少？(2)当 y=10 时，x 的值是多少？解解 (1)在 x 轴上，对应于 x2.75 取一个点，通过这一点作y 轴平行线交 y=2x3的图像上的某一点，过这一点再作 x 轴的平行线交 y 轴于一点，这一点对应的数值是 40，这样，就在 y 轴上得到了 x=2.75 时对应的 y 值，即 y=40这就说明，当鱼 N 的高度为 2.75 厘米时，它的体积约为 40 厘米3(2)在 y 轴上对应于 y=10 取一点，过此点作 x 轴的平行线，交 y=2x3的图像于某点，再过这点作 y 轴的平行线，在 x 轴上得到了 y=10 对应的 x
8、值 1.75这说明当 N 的体积为 10 厘米3时，高度约为 1.75 厘米上面我们研究了鱼的身高和体积的图像，下面我们进一步考虑鱼的身高和价格的关系为此，引用前面的条件，设鱼 B 的身高为 10 厘米，价格是每斤 1 元，其体积假定为 50 厘米3由于鱼是相似的，在买鱼的时候，考虑到价格的便宜，假设鱼的价格和体积成正比例，那么鱼的身高和价格之间有着怎样的关系呢？为此，设鱼 C 的身高为 x 厘米，体积是 y 厘米3，价格是 z 元，那么我们列出表 30.2首先，由于“鱼的体积与其身高的三次方成正比例”，所yax3， 考虑到鱼 B 的身高和体积，即 x=10 时，y=50，代入式，就有 50=
9、a103，所以 a=0.05于是式就成为 y=0.05x3 其次，根据“鱼的价格和体积成正比例”的假定，对于鱼 C则有 z=by， 鼎吉教育（Dinj Education）中小学生课外个性化辅导中心资料 初中数学竞赛专题培训讲练学习地址：佛山市南海区南海大道丽雅苑中区雅广居 2 D 第 3 页 咨询热线：0757-86307067 13760993549（吉老师）由于式对于鱼 B 也是成立的，即 y=50 时，z=100，代入式，有 100=b50，所以 b=2，这样式就成为 z=2y 再把代入，就得到 z=20.05x3，所以 z=0.1x3 这就是鱼的身高和价格的关系表达式利用式就可以计算
10、下面的问题例例 6 6 设鱼的身高为 13 厘米，它的价格每斤是多少元？解解 把 x=13 代入式，z0.11330.12197=219.7=220(分)=2.2(元)即每斤约二元二角如果把式中 x 和 z 的关系用数值来表示，就有表 30.3这个表中，以 x=10 时，z=100 作标准，联系到前面表中的结果，可以看出：(1)鱼的身高增到 1.5 倍，价格便增到 3.375 倍(1.53倍)；(2)鱼的身高增到 2 倍，价格便增到 8 倍(23倍)；(3)鱼的身高增到 2.5 倍，价格便增到 15.625 倍(2.53倍)；(4)鱼的身高增到 3 倍，价格便增到 27 倍(33倍)一般地，鱼
11、的身高增到 n 倍，其价格便增到 n3倍，根据表中 x 和 z 的对应数值，画出 z=0.1x3的图像，就得到图 2-177.练习三十练习三十1根据图 2-177 回答：(1)鱼的身高为 20 厘米时，它的每斤的价格是多少元？(2)鱼的价格是每斤 4 元时，其身高是多少厘米？2两张照片是同一张底片拍出的如果两张照片对应边长的比是 12，并且第一张照片的面积是 96 厘米2，那么第二张照片的面积是多少平方厘米？3设桌子正上方有一盏电灯，距离桌面 100 厘米，桌子高30 厘米，如果桌子的长为 60 厘米，宽为 35 厘米，那么桌面被电灯照射后的影子是多少平方厘米？又影子周长是多少厘米？鼎吉教育 遵循：“授人以鱼，不如授人以渔”的教育理念 秉承：以人为本，质量第一，突出特色， 服务家长 以鲜明的教育理念启发人 以浓厚的学习氛围影响人 第 4 页 以不倦的育人精神感染人 以优良的学风学纪严律人一个半径为 2 厘米的银球，乙有五个半径为 1 厘米的银球，乙要用他的五个银球换甲的那一个银球，如果交换成功，甲乙谁合算呢？
