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1、2010 级高三数学级高三数学 第第 1 页页三角恒等变换和解三角形基本知识回顾三角恒等变换和解三角形基本知识回顾 （20092009 年年 1111 月月 1919 日）日）1 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： sinsincoscossinsin22sincos令 2222222coscoscossinsincos2cossin2cos11 2sintantan1+cos2tancos1tantan2 1 cos2sin2 2tantan21tan令 mm如（如（1 1）下列各式中，值为下列各式中，值为的是的是 A、 B、1 21
2、515sincosooC、 D、 （答：（答：C）；）；22 1212cossin222 5 122 5tan. tan.oo130 2coso（2 2）命题命题 P：，命题，命题 Q：，则，则 P 是是 Q 的的 0tan( AB)0tan AtanB A、充要条件、充要条件 B、充分不必要条件、充分不必要条件 C、必要不充分条件、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件（答：、既不充分也不必要条件（答：C）；）；（3 3）已知已知，那么，那么的值为的值为_（答：（答：3 5sin()coscos()sin2cos）；）；（4 4）的值是的值是_（答：（答：4）；）；7 2513 1080s
3、insinoo(5)(5)已知已知，求，求的值（用的值（用 a 表示）甲求得的结果是表示）甲求得的结果是，乙求得，乙求得0tan110a0tan503 13a a 的结果是的结果是，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是_（答：甲、乙都对）（答：甲、乙都对）21 2a a2.2. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先是：一角二名三结构。即首先 观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！角的变换是三角函数
4、变换的核心！第二第二 看函数名称之间的关系，通常看函数名称之间的关系，通常“切化弦切化弦”；第三观察代数式的结构特点。；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有基本的技巧有: : （1 1）巧变角）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、 两角与其和差角的变换两角与其和差角的变换. . 如如，()()2()()，等），等），2()()22222如（如（1 1）已知已知，那么，那么的值是的值是_（答：（答：2tan()51tan()44tan()4）；）；（2 2）已知已知，且，且，求，求3 22021
5、29cos() 2 23sin()的的值（答：值（答：）；）；（3 3）已知已知为锐角，为锐角，cos()490 729, sin,cosxy，则，则与与的函数关系为的函数关系为_（答：（答：3cos()5 yx2010 级高三数学级高三数学 第第 2 页页）23431(1)555yxxx (2)(2)三角函数名互化三角函数名互化( (切化弦切化弦) )，如（如（1 1）求值求值（答：（答：1 1）；）；sin50 (13tan10 )oo（2 2）已知已知，求，求的值（答：的值（答：）sincos21,tan()1 cos23 tan(2 )1 8 (3)(3)公式变形使用公式变形使用（。t
6、antantan1tantanm如（如（1 1）已知已知 A、B 为锐角，且满足为锐角，且满足，则，则tantantantan1ABAB_（答：（答：）；）；cos()AB2 2(2)(2)设设中，中，则，则ABC33tan AtanBtan AtanB3 4sin Acos A 此三角形是此三角形是_三角形（答：等边）三角形（答：等边）(4)(4)三角函数次数的降升三角函数次数的降升( (降幂公式：降幂公式：，与升与升21 cos2cos221 cos2sin2幂公式：幂公式：，) )。如如(1)(1)若若，化简，化简21 cos22cos21 cos22sin3 2(,)为为_（答：（答：
7、）；）；（2 2）函数函数111122222cossin2255 3f( x)sinxcos xcos x的单调递增区间为的单调递增区间为_（答：（答：）532( xR)5 1212k,k(kZ )(5)(5)式子结构的转化式子结构的转化( (对角、函数名、式子结构化同对角、函数名、式子结构化同) )。如（如（1 1） tan(cossin)（答：（答：）；）；（2 2）求证：求证：；（3 3）化简：化简：sintan cotcsc sin 21tan1 sin21 2sin1tan22 （答：（答：）42212cos2cos22tan()sin ()44xxxx1cos22x(6)(6)常值
8、变换主要指常值变换主要指“1”“1”的变换的变换（221sincosxx22sectantancotxxxx等），等），如如已知已知，求，求（答：（答：tansin42Ltan222sinsincos3cos）. .3 5 (7)(7)正余弦正余弦“三兄妹三兄妹”的内存联系的内存联系“知一求二知一求二”，如如sincos sin cosxxxx、（1 1）若若 ，则，则 _（答：（答：) )，特别提醒特别提醒：这里：这里sincosxxtsin cosxx 21 2t ；（2 2）若若，求，求的值。（答：的值。（答：2,2t 1(0, ),sincos2tan）；）；（3 3）已知已知，试用，
9、试用表示表示的的47 32sin22sin 1tank ()42ksincos值（答：值（答：）。）。1 k2010 级高三数学级高三数学 第第 3 页页3 3、辅助角公式中辅助角的确定、辅助角公式中辅助角的确定：(其中其中角所角所22sincossinaxbxabx在的象限由在的象限由 a, b 的符号确定，的符号确定，角的值由角的值由确定确定)在求最值、化简时起着重要作用。在求最值、化简时起着重要作用。tanb a如（如（1 1）若方程若方程有实数解，则有实数解，则的取值范围是的取值范围是_.（答：（答：sin3cosxxcc 2,22,2）；）；（2 2）当函数当函数取得最大值时，取得最
10、大值时，的值是的值是_(答：答：23ycos xsinxtanx)；（3 3）如果如果是奇函数，则是奇函数，则=(答：答：2)；3 2 sin2cos()f xxxtan（4 4）求值：求值：_(答：答：32)20sin6420cos1 20sin32 224 4、求角的方法求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择， 其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。值）。如（如（1 1）若若
11、，且，且、是方程是方程的两根，则求的两根，则求,(0, ) tantan2560xx的值的值_（答：（答：）；）；（2 2）中，中，3 4ABC，则，则_（答：（答：）；）；（3 3）若若3sin4cos6,4sin3cos1ABBAC3且且，求，求的的020sinsinsin0coscoscos值（答：值（答：）.2 35 5、. . 三角形中的有关公式三角形中的有关公式： (1)(1)内角和定理内角和定理：三角形三角和为：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不 能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总
12、互余能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余. .锐角三角锐角三角 形形三内角都是锐角三内角都是锐角三内角的余弦值为正值三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任两角和都是钝角任意两边的平方任意两边的平方 和大于第三边的平方和大于第三边的平方. .(2)(2)正弦定理正弦定理：( (R 为三角形外接圆的半径为三角形外接圆的半径).).注意注意：正弦正弦2sinsinsinabcRABC定理的一些变式：定理的一些变式：； sinsinsini a b cABC sin,sin,sin22abiiABCRR；已知三角形两边一对角，求解三已知三角形两边一对角，求解三2c R
13、 2 sin,2 sin,2 siniii aRA bRB bRC角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解. .(3)(3)余弦定理余弦定理：等，常选用余弦定理鉴等，常选用余弦定理鉴2222222cos ,cos2bcaabcbcAAbc定三角形的形状定三角形的形状. .(4)(4)面积公式面积公式：（其中（其中为三角形内切圆半径）为三角形内切圆半径）111sin()222aSahabCr abcr. .如如中，若中，若，判断，判断的形状（答：直的形状（答：直ABC CBABA22222sinsincoscossin ABC 角三角形）。角三角形
14、）。 特别提醒特别提醒：（：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意）求解三角形中的问题时，一定要注意这个特殊性：这个特殊性：ABC；（；（2）求解三角形中含有边角混合）求解三角形中含有边角混合,sin()sin,sincos22ABCABCABC关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如（如（1 1）中，中，A、B 的对的对ABC边分别是边分别是，且，且，那么满足条件的，那么满足条件的 A、 有一个解有一个解 ab、A=60 6 4, a, boABCB、有两个解、有两个解 C、无解、无解 D、不能确定（答：、不能确定（答：C C）；）；（2 2）在在中，中，AB 是是ABC
