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1、“牛顿的独特天赋就是能够在脑中一直记住一个智力题，直至解出它。 ”Keynes牛顿在大学时自学了一些数学名著，包括欧几里德的几何原本 、笛卡尔的几何学 、沃利斯的无穷算术以及韦达和开普勒的著作。这些书都非常深奥难懂，即使是在这些书中的大部分内容已广为人知的今天。在那个只有少数人懂数学的时代，知晓这些著作的人少之又少。就我们知道的，牛顿自学这些著作时没有任何外界帮助，朋友中几乎也无人可以分享他的思想。这为他后来成为一位隐士般的天才创造了条件，他几乎不需要外界的灵感就能完成伟大的发现。1665 年，这一年牛顿 23 岁，当时瘟疫流行，学校不得不停课。对于大部分同学而言，这意味着学业的中断，甚至可能
2、毁坏他们未来的职业生涯，但对于牛顿正好相反。在家中的两年，他的思想自由驰骋，而他的宇宙观也在此期间逐渐形成。牛顿在数学上的第一个重要发现与无穷级数有关。很早，人们就知道的展开式中各项的系数构成了“帕斯卡三角形” ，对于，n 为 1、2、3、4、5正整数的情况，展开式为：1牛顿首先将帕斯卡三角形改写成“阶梯”的形式，展开后各项系数为：n=0 : 1 0 0 0 0 0 0 0 n=1 : 1 1 0 0 0 0 0 0 n=2 : 1 2 1 0 0 0 0 0 n=3 : 1 3 3 1 0 0 0 0 n=4 : 1 4 6 4 1 0 0 0 n=5 : 1 5 10 10 5 1 0 0
3、 n=6 : 1 6 15 20 15 6 1 0 牛顿发现了其中的规律：将每一行中的第 i 项与第 i-1 项相加即可得到下一行中的第 i 项。路径为：。为解决 n 为负数的情况，牛顿反其道而行之，即：将某行的第 i 项减去上一行的第 i-1 项可得上一行第 i 项的的值，路径为。因为每行的第一项都是 1，这样就得到了负整数的展开：n=-4 : 1 -4 10 -20 35 -56 84 -120 n=-3 : 1 -3 6 -10 15 -21 28 -36 n=-2 : 1 -2 3 -4 5 -6 7 -8 n=-1 : 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 n=0 : 1 0 0
4、0 0 0 0 0 n=1 : 1 1 0 0 0 0 0 0 n=2 : 1 2 1 0 0 0 0 0 n=3 : 1 3 3 1 0 0 0 0 n=4 : 1 4 6 4 1 0 0 0 可以看出，反向扩展的结果是：n 为负数时，展开有无穷多项。接下来，牛顿考虑 n 为分数的情况。牛顿仔细研究了其中数字的形式，直到可以读懂字里行间的意思。牛顿发现了其中规律：上面“阶梯”的第一列是：1第二列是：n第三列是：第四列是：第五列是：. . . .以此类推。牛顿大胆设想，当n为分数时仍然遵循这个规律。于是，他插入n=的行，计算出各项的系数为：1，1/2，-1/8，1/16，-5/128，7/256 。令a=1，b=x,于是得到了的展开式：牛顿并没有证明他得到的n为负数和分数时的展开式，他只是验证了一下。他将的展开式相乘（取前面有限的几项近似表示），令他欣慰的是，最终结果就是（由于上面取的近似，仅差一个很小的项）。但是，牛顿没有考虑收敛性，因为当时还没有收敛和极限的概念，但他意识到一点：要保证展开式正确，x必须足够小。后来，牛顿将他的推广二项式展开表示为：其中，A表示第一项，即，B表示第二项，以此类推。牛顿在1665年得到了这一公式。同年，他用自己发明的公式对进行展开，并令，得到了e的一个著名公式：利用二项式展开这一重要工具，牛顿随后发明了微积分。
