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1、375 教育资源网 http:/ 中小学试卷、教案、课件免费下载375 教育资源网版权所有2009 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试第一试一、选择题（本题满分一、选择题（本题满分 42 分，每小题分，每小题 7 分）分）1. 设，则 （ ）71a 32312612aaaA.24. B. 25. C. . D. .4 7104 7122在ABC 中，最大角A 是最小角C 的两倍，且 AB7，AC8，则 BC （ ）A. B. . C. . D. .7 2101057 33用表示不大于的最大整数，则方程的解的个数为 （ ） xx22 30xxA.1. B.
2、 2. C. 3. D. 4.4设正方形 ABCD 的中心为点 O，在以五个点 A、B、C、D、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出 两个，它们的面积相等的概率为 （ ）A. B. . C. . D. .3 143 71 24 75如图，在矩形 ABCD 中，AB3，BC2，以 BC 为直径在矩形内作半圆，自点 A 作半圆的切线 AE，则CBE （ D ）sinA. B. . C. . D. .6 32 31 310 106设是大于 1909 的正整数，使得为完全平方数的的个数是 （ ）n1909 2009n n nA.3. B. 4. C. 5. D. 6.二、填空题（本题满分二、填空题（
3、本题满分 28 分，每小题分，每小题 7 分）分）1已知 是实数，若是关于的一元二次方程的两个非负实根，则t, a bx2210xxt 的最小值是_.22(1)(1)ab2 设 D 是ABC 的边 AB 上的一点，作 DE/BC 交 AC 于点 E，作 DF/AC 交 BC 于点 F，已知 ADE、DBF 的面积分别为和，则四边形 DECF 的面积为_.mn3如果实数满足条件，则_., a b221ab22|1 2| 21ababa ab4已知是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对共有_对., a b15152()ab( , )a bDABCE375 教育资源网 http:/ 中小学试卷、教
4、案、课件免费下载375 教育资源网版权所有第一试答案：第一试答案： ACCBDB；3，1，72 mn第二试第二试 （A）一一 （本题满分（本题满分 20 分）分）已知二次函数的图象与轴的交点分别为 A、B，与轴的2(0)yxbxccxy交点为 C.设ABC 的外接圆的圆心为点 P. （1）证明：P 与轴的另一个交点为定点.y（2）如果 AB 恰好为P 的直径且，求和的值.2ABCSbc解解: （1）易求得点的坐标为，设，则，.C(0, )c1A( ,0)x2B(,0)x12xxb 12x xc设P 与轴的另一个交点为 D，由于 AB、CD 是P 的两条相交弦，它们的交点为点 O，所以yOAOB
5、OCOD，则.121x xcOA OBODOCcc因为，所以点在轴的负半轴上，从而点 D 在轴的正半轴上，所以点 D 为定点，它的坐标为0c Cyy(0,1). （2）因为 ABCD，如果 AB 恰好为P 的直径，则 C、D 关于点 O 对称，所以点的坐标为，C(0, 1)即. 1c 又，所以222 121212()4()44ABxxxxx xbcb，解得. 2114 1222ABCSAB OCb 2 3b 二二 （本题满分（本题满分 25 分）分）设 CD 是直角三角形 ABC 的斜边 AD 上的高，、分别是ADC、BDC 的内心，1I2IAC3，BC4，求.1I2I解解 作EAB 于 E，
6、FAB 于 F.1I2I在直角三角形 ABC 中，AC3，BC4，.22AB =AC +BC5又 CDAB，由射影定理可得，故，2AC9AD =AB516BD = AB AD5. 2212CD =ACAD5因为E 为直角三角形 ACD 的内切圆的半径，所以.1I1I E13(AD CD AC)25连接 D、D，则 D、D分别是ADC 和BDC 的平分线，所以DCDADC1I2I1I2I1I1I2IFEI1I2DBAC375 教育资源网 http:/ 中小学试卷、教案、课件免费下载375 教育资源网版权所有DB45，故D90，所以DD，. 2I1I2I1I2I1 1 13 I E3 25DIsi
7、nADIsin455同理，可求得，. 所以. 24I F524 2DI51I2I22 12DIDI2三三 （本题满分（本题满分 25 分）分）已知为正数，满足如下两个条件：, ,a b c32abc1 4bcacababc bccaab 证明：以为三边长可构成一个直角三角形.,abc证法证法 1 1 将两式相乘，得，()()8bcacababcabcbccaab 即， 222222()()()8bcacababc bccaab即，222222()()()440bcacababc bccaab即， 222222()()()0bcacababc bccaab即，()()()()()()0bca b
8、cacab cababc abc bccaab 即，() ()()()0bcaa bcab cabc abcabc 即，即，222()20bcaababcabc 22()() 0bcacababc 即， ()()()0bcacab cababc 所以或或，即或或.0bca 0cab0cabbaccabcba因此，以为三边长可构成一个直角三角形. ,abc证法证法 2 2 结合式，由式可得，3223223221 4abc bccaab变形，得 222110242()4abcabc又由式得，即，2()1024abc22210242()abcabbcca代入式，得，即. 11024210242()4
9、abbccaabc16()4096abcabbcca3(16)(16)(16)16()256() 16abcabcabbccaabc375 教育资源网 http:/ 中小学试卷、教案、课件免费下载375 教育资源网版权所有， 34096256 32 160 所以或或.16a 16b 16c 结合式可得或或.baccabcba因此，以为三边长可构成一个直角三角形. ,abc第二试第二试 （B）一一 （本题满分（本题满分 20 分）题目和解答与（分）题目和解答与（A）卷第一题相同）卷第一题相同. 二二 （本题满分（本题满分 25 分）分） 已知ABC 中，ACB90，AB 边上的高 线 CH 与A
10、BC 的两条内角平分线 AM、BN 分别交于 P、Q 两点.PM、QN 的 中点分别为 E、F.求证：EFAB. 解解 因为 BN 是ABC 的平分线，所以.ABNCBN 又因为 CHAB，所以，CQNBQH90ABN90CBNCNB 因此. CQNC又 F 是 QN 的中点，所以 CFQN，所以，因此 C、F、H、B 四点共圆. CFB90CHB 又，所以 FCFH，故点 F 在 CH 的中垂线上. FBH =FBC 同理可证，点 E 在 CH 的中垂线上. 因此 EFCH.又 ABCH，所以 EFAB. 三三 （本题满分（本题满分 25 分）题目和解答与（分）题目和解答与（A）卷第三题相同
11、）卷第三题相同. 第二试第二试 （C）一一 （本题满分（本题满分 20 分）题目和解答与（分）题目和解答与（A）卷第一题相同）卷第一题相同. 二 （本题满分（本题满分 25 分）题目和解答与（分）题目和解答与（B）卷第二题相同）卷第二题相同. 三三 （本题满分（本题满分 25 分）分）已知为正数，满足如下两个条件：, ,a b c32abc1 4bcacababc bccaab 是否存在以为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角.,abc解法解法 1 1 将两式相乘，得，()()8bcacababcabcbccaab 即， 222222()()()8bcacababc bccaabF
12、QEPHNMACB375 教育资源网 http:/ 中小学试卷、教案、课件免费下载375 教育资源网版权所有即，222222()()()440bcacababc bccaab即， 222222()()()0bcacababc bccaab即，()()()()()()0bca bcacab cababc abc bccaab 即，() ()()()0bcaa bcab cabc abcabc 即，即，222()20bcaababcabc 22()() 0bcacababc 即， ()()()0bcacab cababc 所以或或，即或或.0bca 0cab0cabbaccabcba因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为 90.,abc解法解法 2 2 结合式，由式可得，3223223221 4abc bccaab变形，得 222110242()4abcabc又由式得，即，2()1024abc22210242()abcabbcca代入式，得，即. 11024210242()4abbccaabc16()4096abcabbcca3(16)(16)(16)16()256() 16abcabcabbccaabc， 34096256 32 160 所以或或.16a 16b 16c 结合式可得或或.baccabcba因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内
