六年级奥数-第八讲行程问题(二)教师版

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1、第八讲 行程问题（二） 教学目标：1 能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点；2 能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题；3 变速变道问题的关键是如何处理“变”；4 掌握寻找等量关系的方法来构建方程，利用方程解行程题知识精讲： 比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活 性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于 工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。 我们常常会应用比例的工具分

2、析 2 个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用来表示，大体可分为以下两种情况：,vvtts s乙乙乙甲甲甲，；1.当 2 个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就 等于他们的速度之比。，这里因为时间相同，即,所以由svtsvt 甲甲甲乙乙乙ttt乙甲ssttvv甲乙 乙甲 乙甲，得到，甲乙在同一段时间 t 内的路程之比等于速度比sstvv甲乙乙甲sv sv甲甲乙乙2.当 2 个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2 个物体所用的时间之 比等于他们速度的反比。，这里因为路程相同，即，由svtsvt 甲

3、甲甲乙乙乙sss乙甲svtsvt乙乙乙甲甲甲，得，甲乙在同一段路程 s 上的时间之比等于速度比的反比。svtvt乙乙甲甲vt vt甲乙乙甲行程行程问题问题常用的解常用的解题题方法有方法有公式法公式法 即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括 公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件； 图图示法示法 在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具示意图包括线段图和折线图图 示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往 往也是

4、最有效的解题方法；比例法比例法 行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值更重要的是，在一些 较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题；分段法分段法 在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段， 在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来；方程法方程法 在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知 数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解例题精讲：模块一、时间相同速度比等于路程比【例例 1】甲、乙二人分别

5、从甲、乙二人分别从 A、 B 两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是 4 : 3，二人相遇后，二人相遇后 继续行进，甲到达继续行进，甲到达 B 地和乙到达地和乙到达 A 地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第 一次相遇的地点一次相遇的地点 30 千米，则千米，则 A、 B 两地相距多少千米？两地相距多少千米？ 【两个人同时出发相向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇时所走过的路 程比为 4 : 3第一次相遇时甲走了全程的 4/7；第二次相遇时甲、乙两个人共走了 3 个全

6、程，三个全程中甲走了个全程，与第一次相遇地点的距离为个全程所以 A、 453177 542(1)777B 两地相距 (千米)2301057【例例 2】B 地在地在 A，C 两地之间甲从两地之间甲从 B 地到地到 A 地去送信，甲出发地去送信，甲出发 10 分后，乙从分后，乙从 B 地出发到地出发到 C 地去送地去送 另一封信，乙出发后另一封信，乙出发后 10 分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从 B 地出发骑车去地出发骑车去 追赶甲和乙，以便把信调过来已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的追赶甲和乙，以便把信调过来已知甲、乙的速度相

7、等，丙的速度是甲、乙速度的 3 倍，丙从倍，丙从 出发到把信调过来后返回出发到把信调过来后返回 B 地至少要用多少时间。地至少要用多少时间。 【根据题意当丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了此时甲、乙位置如下：10分 分10分 分10分 分CBA因为丙的速度是甲、乙的 3 倍，分步讨论如下：1 若丙先去追及乙，因时间相同丙的速度是乙的 3 倍，比乙多走两倍乙走需要 10 分钟，所 以丙用时间为：10（31）=5（分钟）此时拿上乙拿错的信5分 分5分 分 10分 分10分 分10分 分CBA当丙再回到 B 点用 5 分钟，此时甲已经距 B 地有 10105530（分钟），同理丙追及 时间为 30（3

8、1）=15（分钟），此时给甲应该送的信，换回乙应该送的信 在给乙送信，此时乙已经距 B 地：10551515=50（分钟）， 此时追及乙需要：50（31）=25（分钟），返回 B 地需要 25 分钟 所以共需要时间为 5515152525=90（分钟）2 同理先追及甲需要时间为 120 分钟【例例 3】 (“(“圆明杯圆明杯”数学邀请赛数学邀请赛) ) 甲、乙两人同时从甲、乙两人同时从、两点出发，甲每分钟行两点出发，甲每分钟行米，乙每分钟米，乙每分钟AB80 行行米，出发一段时间后，两人在距中点的米，出发一段时间后，两人在距中点的处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了处相遇；如果甲出发后在途中某

9、地停留了分钟，分钟，60C7 两人将在距中点的两人将在距中点的处相遇，且中点距处相遇，且中点距、距离相等，问距离相等，问、两点相距多少米？两点相距多少米？DCDAB 【甲、乙两人速度比为，相遇的时候时间相等，路程比等于速度之比，相遇时甲走了全80:604:3程的，乙走了全程的第二次甲停留，乙没有停留，且前后两次相遇地点距离中点相等，所以4 73 7第二次乙行了全程的，甲行了全程的由于甲、乙速度比为，根据时间一定，路程比等于4 73 74:3速度之比，所以甲行走期间乙走了，所以甲停留期间乙行了，所以、两点33 744331 7744AB的距离为(米)1607=16804【例例 4】甲、乙两车分别

10、从甲、乙两车分别从 A、 B 两地同时出发，相向而行出发时，甲、乙的速度之比是两地同时出发，相向而行出发时，甲、乙的速度之比是 5 : 4，相，相 遇后甲的速度减少遇后甲的速度减少 20%，乙的速度增加，乙的速度增加 20%这样当甲到达这样当甲到达 B 地时，乙离地时，乙离 A 地还有地还有 10 千千 米那么米那么 A、B 两地相距多少千米？两地相距多少千米？【两车相遇时甲走了全程的，乙走了全程的，之后甲的速度减少 20%，乙的速度增加 20%，此5 94 9时甲、乙的速度比为 ，所以甲到达 B 地时，乙又走了5 (120%):4 (120%)5:6，距离 A 地，所以 A、 B 两地的距离

11、为 (千米)468 9515581 9154511045045【例例 5】早晨，小张骑车从甲地出发去乙地下午早晨，小张骑车从甲地出发去乙地下午 1 点，小王开车也从甲地出发，前往乙地下午点，小王开车也从甲地出发，前往乙地下午 2 点时两人之间的距离是点时两人之间的距离是 15 千米下午千米下午 3 点时，两人之间的距离还是点时，两人之间的距离还是 l5 千米下午千米下午 4 点时点时 小王到达乙地，晚上小王到达乙地，晚上 7 点小张到达乙地小张是早晨几点出发？点小张到达乙地小张是早晨几点出发？ 【从题中可以看出小王的速度比小张块下午 2 点时两人之间的距离是 l5 千米下午 3 点时，两 人之

12、间的距离还是 l5 千米，所以下午 2 点时小王距小张 15 千米，下午 3 点时小王超过小张 15 千米，可知两人的速度差是每小时 30 千米由下午 3 点开始计算，小王再有 1 小时就可走 完全程，在这 1 小时当中，小王比小张多走 30 千米，那小张 3 小时走了 15 30 45 千米，故 小张的速度是 45 3 =15 千米/时，小王的速度是 15 30 =45 千米/时全程是 45 3 =135 千米， 小张走完全程用了 135 15= 9 小时，所以他是上午 10 点出发的。【例例 6】从甲地到乙地，需先走一段下坡路，再走一段平路，最后再走一段上坡路。其中下坡路与上坡从甲地到乙地

13、，需先走一段下坡路，再走一段平路，最后再走一段上坡路。其中下坡路与上坡 路的距离相等。陈明开车从甲地到乙地共用了路的距离相等。陈明开车从甲地到乙地共用了 3 小时，其中第一小时比第二小时多走小时，其中第一小时比第二小时多走 15 千千 米，第二小时比第三小时多走米，第二小时比第三小时多走 25 千米。如果汽车走上坡路比走平路每小时慢千米。如果汽车走上坡路比走平路每小时慢 30 千米，走下千米，走下 坡路比走平路每小时快坡路比走平路每小时快 15 千米。那么甲乙两地相距多少千米？千米。那么甲乙两地相距多少千米？ 【由于 3 个小时中每个小时各走的什么路不明确，所以需要先予以确定 从甲地到乙地共用

14、 3 小时，如果最后一小时先走了一段平路再走上坡路，也就是说走上坡路的路 程不需要 1 小时，那么由于下坡路与上坡路距离相等，而下坡速度更快，所以下坡更用不了 1 小 时，这说明第一小时既走完了下坡路，又走了一段平路，而第二小时则是全在走平路这样的话， 由于下坡速度大于平路速度，所以第一小时走的路程小于以下坡的速度走 1 小时的路程，而这个 路程恰好比以平路的速度走 1 小时的路程(即第二小时走的路程)多走 15 千米，所以这样的话第一 小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于 15 千米，不合题意，所以假设不成立，即第三小时全部在走上坡路 如果第一小时全部在走下坡路，那么第二小时走了一段下坡

15、路后又走了一段平路，这样第二小时 走的路程将大于以平路的速度走 1 小时的路程，而第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的 少于 15 千米，也不合题意，所以假设也不成立，故第一小时已走完下坡路，还走了一段平路所以整个行程为：第一小时已走完下坡路，还走了一段平路；第二小时走完平路，还走了一段上坡 路；第三小时全部在走上坡路 由于第二小时比第三小时多走 25 千米，而走平路比走上坡路的速度快每小时 30 千米所以第二小时内用在走平路上的时间为小时，其余的小时在走上坡路；5253061 6因为第一小时比第二小时多走了 15 千米，而小时的下坡路比上坡路要多走61千米，那么第一小时余下的下坡路所用的时间为小时，所以在130157.561157.5152第一小时中，有小时是在下坡路上走的，剩余的小时是在平路上走的112 26331因此，陈明走下坡路用了小时，走平路用了小时，走上坡路用了小时32157 36617166因为下坡路与上坡路的距离相等，所以上坡路与下坡路的速度比是那么下坡路的2 7:4:73 6速度为千米/时，平路的速度是每小时千米，上坡路的速度是每73015105741051590小时千米903060那么甲、乙两地相距(千米)2771059060245366模块二、路程相同速度比等于时间的反比【例例 7】甲、乙两人同