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1、 1 / 3利用利用 “几何画板几何画板”辅助圆锥曲线的教学辅助圆锥曲线的教学沈卫忠 李 莉（江苏省锡山高级中学）苏教版高中数学选修 2-1 圆锥曲线的情境很丰富，除了原人教版的平面截圆锥面、拉线得椭圆、拉链得双曲线等外，新增了章头图行星运动轨道及Dandlin 双球发现椭圆，还有操作题和“几何画板”辅助圆锥曲线的教学.一、用折纸折出圆锥曲线一、用折纸折出圆锥曲线例例 1.(选修 2-1P.29 第 7 题)准备一张圆形纸片(半径为 R)，在圆内任取不同于圆心的一点 F，将纸片折起，使圆周过点 F，然后将纸展开，就得到一条折痕 L(为了看清楚，可以把直线 L 画出来)，这样继续折下去，得到若干
2、折痕.这些折痕的轮廓形成什么曲线？如何证明？【解析】折痕 L 画得多一点，效果还是很好的，学生会惊喜地发现，众多折痕就是一个椭圆的轮廓.如图 1，将圆周过点 F 的点记为 F，连结 OF 、FF，设折痕所在直线 L 与 OF的交点为 P，PF=PF，又 PF=R，且 OFOF.点 P 是以 O、F 为焦点，R 为长轴的椭圆.链接折出椭圆观察发现：直线 L 与椭圆只有一个交点 P，联想直线与圆只有一个交点，称该直线 L 是圆的切线.若圆方程为，则切点为的切线方程为.若222xyR00(,)P xy2 00x xy yR椭圆方程为，点可以证明切线 L 的方程为22221xy ab00(,)P xy
3、00 221x xy y ab例例 2.(选修 2-1P.39 第 8 题)在纸上画一个圆 O(半径为 R)，在圆外任取一个定点 F，将纸片折起，使圆周过点 F，然后将纸展开，就得到一条折痕 L，这样继续折下去，得到若干折痕.这些折痕的轮廓形成什么曲线？如何证明？【解析】同例 1，折痕的轮廓形成双曲线(如图 2)，PF=PF，|PF-OF|=R，Q图 1图 22 / 3|PF-OF|=R，又 OFR,点 P 是以 O、F 为焦点，R 为实轴的双曲线.链接折出双曲线，直线 L 都与双曲线相切，若双曲线方程为，点22221xy ab可以证明切线 L 方程为00(,)P xy00 221x xy y
4、 ab例例 3.(选修 2-1P.50 第 11 题)将长方形纸片 ABCD 的一只角斜折，将纸片折起，使点 A 总是落在对边 CD 上，然后将纸展开，就得到一条折痕 L，这样继续折下去，得到若干折痕.这些折痕的轮廓形成什么曲线？如何证明？【解析】同例 1，折痕的轮廓形成抛物线(如图 3)，过作，交AA PDC直线 L 于 P，连结 AP，AP=AP,QAPMA PM点 P 是以 A 为焦点，DC 为准线的抛物线.链接折出抛物线，直线 L 都与形成的抛物线相切，若抛物线方程为，点22xpy 可以证明切线 L 方程00(,)P xy为00()x xp yy 二、用统一定义画圆锥曲线二、用统一定义
5、画圆锥曲线例例 4.选修 2-1P.51 利用“几何画板”探究到定点与定直线距离比分别为 0.5和 2 的轨迹是什么曲线，按下列简单画法，利用“几何画板” ，可作出任意离心率的圆锥曲线.【画法】1.如图 4，圆锥曲线的轴直线 HA；2.过 H作圆锥曲线的准线 L；3.HA 上取一个点 F(圆锥曲线的焦点)；4.滑块 e(圆锥曲线的离心率)；5.在直线 HA 上任取点 P，度量 PH记作 d，并过 P作准线 L 的平行线 L；6.计算 e d 并以 F 为圆心，d 长为半径画圆，与直线 L交点为 P 和 P“；7.过 P 作准线的垂线，垂足为 H，追踪点 P、P“，隐藏辅助线，拉动点 P(构造图
6、 4图 33 / 3点 P的动画)，则动点 P 到定点 F 的距离与定直线 L 的距离为常数 e；8.根据需要调整离心率 e 的取值，可任意作出圆锥曲线示意图；再调整焦点到准线的距离 HF，可精确作出任意给定条件的圆锥曲线图象(按 Ctrl+B 可擦除刚刚生成的轨迹).三、用三、用“几何画板几何画板”探究动点轨迹探究动点轨迹例例 5.设 B 是半径为 R 的定圆 A 内的一个定点，D 是圆上的动点，过线段 BD 的中点 E 作 BD 的垂线与半径 AD 交于点 P，求点 P 的轨迹【解析】由 PE 是 BD 的垂直平分线，所以BP=DP，又 AD 是圆的半径 R，即 AP+BP=RAB，即点
7、P 是以 A、B 为焦点 R 为长轴的椭圆.【探究 1】点 E 的轨迹？与点 P 轨迹的关系？点 E 的轨迹有的学生猜想是一个椭圆，经过讨论，多数学生认为是一个圆.从画板上作出图 5 的轨迹，可发现 OE=AD/2，即点 E 的轨迹是以 O 圆心，R/2为半径的圆且是椭圆的外切圆.【探究 2】如果将点 B 放在圆外，点P 与点 E 的轨迹各是什么？两者的关系又如何？运动点 D 可得图 6，PB=PD，PD-PA=PB-PA 所以|PB-PA|=RAB，所以点 P轨迹是以 A、B 为焦点，R 为实轴的双曲线；OE=AD/2，即点 E 的轨迹是以 O 为圆心，R/2 为半径的圆且与双曲线相切.利用“几何画板”使椭圆、双曲线、抛物线和谐地统一，使手工粗糙画的圆锥曲线得到优美的展现，使未知的曲线得以直观的呈现.图 5图 6
