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1、1如何求三角函数的周期三角函数的的周期是三角函数的重要性质，对于不同的三角函数式，如何求三角函数的周期也是 一个难点，下面通过几个例题谈谈三角函数周期的求法 1、定义法、定义法例例 1 求下列函数的周期 , xy2sin ) 1 (32tan )2(xy (1)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数，对于函数定义域内的每一个值Tx都能使成立，同时考虑到正弦函数的周期是xTx2sin)(2sin，xysin2解：解： , 即 )(2sin)22sin(2sinxxxxx2sin)(2sin 当自变量由增加到时，函数值重复出现，因此的周期是xxxy2sin(2) 分析：根据周期函数的定
2、义，问题是要找到一个最小正数，对于函数定义域内的每一个T值都能使 成立，同时考虑到正切函数的周期是x32tan)(32tanxTxxytan解：解： , 即 )23(32tan)32tan(32tanxxx 32tan)23(32tanxx 函数的周期是32tanxy 23例例 2 2. 求函数（m0）的最小正周期。解：解：因为所以函数（m0）的最小正周期例例 3 3. 求函数的最小正周期。解：解：因为2所以函数的最小正周期为。例例 4.4.求函数ysinxcosx的最小正周期.解解: :sinxcosx)(xfsinxcosxcos(x)sin(x)2 2sin(x)cos(x)2 2)2(
3、xf对定义域内的每一个x，当x增加到x时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是.2 2注意注意：1、根据周期函数的定义，周期是使函数值重复出现的自变量的增加值，Tx如周期不是，而是； 2、是定义域内的恒等式，),2()2(xfTxfTT21”“)()(xfTxf即对于自变量取定义域内的每个值时，上式都成立x直接利用周期函数的定义求出周期。2、公式法、公式法对于函数或的周期公式是，BxAy)sin(BxAy)cos(|2 T对于函数或的周期公式是BxAy)tan(Bxy)cot(|T例例 1求函数的周期)623sin(3xy解：解： 34232T例例 2 2 求函数的最小正周期。解：解：因为所
4、以函数的最小正周期为。3例例 3 3 求函数的最小正周期。解：解：因为，所以函数的最小正周期为。3、 同角函数法同角函数法 例例 4 求函数的周期 xxxy2sin2cossin32解：解：12cos2sin3sin2cossin322xxxxxy1)62sin(21)2cos212sin23(2xxx 22T例例 5 5 求函数的最小正周期。解：解：因为所以函数的最小正周期为。例例 5 已知函数求周期),3cos3(sin3sin)(xxxxf解：解：32sin21)32cos1 (21 3cos3sin3sin)(2xxxxxxf4)432sin(22 21)32cos32(sin21 2
5、1xxx 3322T4、转化法：、转化法：遇到绝对值时，可利用公式 , 化去绝对值符号再求周期2|aa 例例 6. 求函数 的周期|cos|xy 解： 22cos1cos|cos|2xxxy 22T例例 7 求函数的周期|cos|sin|xxy解：解：xxxxxxy2sin1|2sin|1|cos|sin|cos|sin|22)4cos1 (21124cos11xx 函数的最小正周期 |cos|sin|xxy242T5、最小公倍数罚、最小公倍数罚: 若函数，且，都是周期)()()(21xfxfxfykL)(,),(),(21xfxfxfkL函数，且最小正周期分别为，如果找到一个正常数, 使，k
6、TTTL,21TkkTnTnTnTL2211(均为正整数且互质)，则就是的最小正周期 knnn,21LT)()()(21xfxfxfykL例例 1 求函数的周期xxy21cossin解：解： 的最小正周期是， 的最小正周期是xsin21Tx21cos42T 函数的周期 ，把代入得 ，即，y2211TnTnT21TT，214 2nn212nn 因为为正整数且互质， 所以 21,nn1 , 221nn函数的周期 xxy21cossin42211TnT例例 2 求函数的周期xxy43cos32sin5解：解： 的最小正周期是，的最小正周期是，x32sin33221Tx43cos384322T由， ，
7、 (为正整数且互质), 2211TnTn21383nn2189nn 21,nn得 9 , 821nn所以 函数的周期是 xxy43cos32sin243811TnT例例 3.3. 求函数的最小正周期。解：解：因为 csc4x 的最小正周期，的最小正周期，由于和的最 小公倍数是。所以函数的最小正周期为。例例 4.4. 求函数的最小正周期。解：解：因为的最小正周期，最小正周期，由于和的 最小公倍数是，所以函数的最小正周期为 T。例例 5.5. 求函数的最小正周期。解：解：因为 sinx 的最小正周期，的最小正周期，sin4x 的最小正周期，由于，的最小公倍数是 2。所以函数的最小正周期为 T。例例
8、 6.6.求函数ysin3xcos5x的最小正周期.解：设 sin3x、cos5x的最小正周期分别为T1、T2，则，所以52,3221TTysin3xcos5x的最小正周期T212.例例 7.7.求ysin3xtan的最小正周期.52x6解：sin3x与 tan的最小正周期是与，其最小公倍数是10.52x 32 25 110ysin3xtan的最小正周期是 10.52x注：1. 分数的最小公倍数的求法是：（各分数分子的最小公倍数）（各分数分母的最大公约数）。2. 对于正、余弦函数的差不能用最小公倍数法。6 6、图像法、图像法 利用函数图像直接求出函数的周期。例例 1.1. 求函数的最小正周期。解：解：函数的图像为图 1。图 1由图 1 可知：函数的最小正周期为。例例 2 2. .求ysinx的最小正周期.解：解：由ysinx的图象： 可知ysinx的周期T.
