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1、概率论与数理统计一、选择题 (每小题 3，共 30 分)(1) 以 A 表示事件“甲击中目标而而乙没有击中目标”则事件为（ D ）A (A)甲没有击中目标而而乙击中目 (B) 甲、乙都都击中目标 (C)甲没有击中目标 (D) 甲没有击中目标或或乙击中目(2) 设 A，B 为任意两个事件，则下式成立的为（ B ） 0)(,BPBA（A） （B）B)|()(APAPB)|()(APAP（C） （D）B)|()(APAPB)|()(APAP(3) 设为随机事件，则（ D ）BA,3 . 0)(, 7 . 0)(BAPAP)(ABP（A）； （B）； （C）； （D）；0.10.40.50.6(4)
2、设随机事件 A、B， ，则（ C ）()0.2P AB ()P ABAB（A）0.3 （B）0.5 （C）0.7 （D）0.9()0.9P AB(5) 设，则随着的增大，则 (C)XN X)(XP（A）单调递增 （B）单调递减 （C）无法确定 （D）保持不变(6) 若随机变量满足，则必有（ B ）XY、()()D XYD XY（A）独立 (B) 不相关XY、XY、(C) (D) ()0D X ( )0D Y (7) 设二维随机变量联合概率密度为，(, )X Y01,01( , )0axyxyf x y 其他则（ D ） a （A） （B）12（C） （D）1 24(8) 甲袋中装有三个白球，两
3、个黑球，乙袋中装有两个白球、三个黑球，由甲袋中取 出一球放入乙袋，再由乙袋中取出一球，则取到白球的概率为( B )(A) (B) (C) (D) 6 1513 301 27 15(9) 设随机变量，则（ C ）(1,10),( 2,5)XNYN 2XY:(A) (B) (3,15)N(4,45)N(C) (D) (0,45)N(0,25)N(10) 掷一颗骰子 600 次，求“一点” 出现次数的数学期望（ B ）。 （A）50 （B）100 （C）120 （D）150二、填空 (每小空 1 分，共 20 分)1、某人掷骰子，掷 6 次，则 6 次中出现六个相同点数的概率，而六次点数516互不相
4、同的概率。55!62、某人射击，若命中靶子的概率为 0.90，若此人连续击中 10 枪，问第 11 枪击中靶子的概率为 0.90 ，又问出现连续 11 枪击中的概率。110.9 3、已知，则 0.9 ，而( )0.3P A ( )0.4P B ()0.5P AB ()P AB0.2 ， 0.5 。()P BA()P AB4、一袋中有 3 只红球、3 只黑球，随机地从袋中取球，取三次就将袋中黑球全部取出的概率，取四次才将袋中全部黑球取出的概率。1203205、离散型随机变量的联合分布律为：,X YY X12301/41/81/811/801/8201/121/123001/12判断是否独立 不独
5、立 ， 1/2 ，XY、(0)P Y (03)P YX3/10 ， 5/3 。2()E Y6、随机变量都满足分布，且为 1 时的概率为，若相互独立，令,X Y0 1p,X Y，则，。ZXYZ (2, ) bp( )E Z 2 p( )D Z 2 (1) pp7、随机变量为独立同分布，且数学期望值皆为，方差为，则：,X Y2(2 )E XY， 3 2D XY25 2D D XY 0 。22EXY2259三、设随机变量为相互独立且满足泊松分布的离散型随机变量，YX,12(),()XY :即：1212()!()!kkeP Xkk eP Ykk证明：。12()XY :证明：令，则：ZXY1212121
6、20012012 012 0()(,)() ()!1!1!1!kkmmmk mkmk mk mmk mk mmP ZkP Xm YkmP Xm P Ykmee mkmem kmkekm kmek 12() 12 12!k ke k显然：12()XY :三、计算(1) 设 A,B 是两个事件，且 ，问( )0.6, ( )0.7P AP B求：(1) 在什么条件下取得最大值，最大值是多少？（3 分）()P AB(2) 在什么条件下取得最小值，最小值是多少？（3 分）()P AB(3) 在什么条件下取得最大值，最大值是多少？（4 分）(|)P A B解：根据概率运算关系：()( )( )()P A
7、BP AP BP ABU所以：()( )( )()P ABP AP BP ABU(1) 若最大，则最小，显然，时，最小，此时：()P AB()P ABUAB()P ABU ()( )( )()( )( )( )( )0.6P ABP AP BP ABP AP BP BP AU(2) 若最小，则最大，若 A,B 不相容，则，显()P AB()P ABU()1.31P AB U然，若 A,B 是相容的，若最大，此时：()P ABU()1P AB U()( )( )()1.3 10.3P ABP AP BP ABU(3) 而条件概率：()(|)( )P ABP A BP B显然最大时最大，由此得：(
8、)P AB(|)P A Bmax max()(|)( ) 0.660.77PABPA BP B2、 (15 分) 设事件 A 在每一次试验中发生的概率为为 0.6，作 10 次独立重复试验， 求：（l）若定义 A 事件发生的次数为 X，则 X 满足什么分布律；（3 分） （2）发生两次以上的概率；（5 分）（3）求。 （7 分）(),()1010XXED解：(1)显然，该试验为 10 重 Bernoulli 试验，则：(10,0.6)Xb:10 10()0.40.6kkkP XkC(2)由(1)显然有：109828(2)1(2)1(0)(1)(2)1 0.410 0.40.645 0.40.6
9、1 18.6 0.40.9878P XP X P XP XP X (3)若将定义为第 i 次试验的随机变量，且，则：iX1, 0,iAXA 101i iXX由于之间为独立随机变量，则：iX10101111()101010()0.6ii iiXEXEEX101011101()0.6 0.411()10100100 1 10.6 0.40.1 024000ii iiiXDDXD X3、(15 分) 设随机变量的概率密度为 YX,2,01,0,0,Axxyxf x y 其他求：(1) ；（5 分）A（2）；（5 分）11,22P XY（3）。 （5 分）E XY解：(1) 由概率密度的性质有：，则：
10、( , )1dyf x y dx1200130( , )14xdyf x y dxAx dxdyAx dxA由此得：4A (2) 由概率密度的性质有：1/21/211(,22, )dyf x y dP XYx而：1/211/221/21/20( , )411141382 712dyf x y dxx dxdy(3) 由数学期望的性质有： E XYE XE X而：1300140()( , )4445xE Xdyxf x y dxx dxdyx dx 1200140( )( , )4225xE Ydyyf x y dxx dxydyx dx 所以：6 5E XY4、(10 分) 设某灯泡厂出厂的灯
11、泡的寿命（小时）满足正态分布，若抽2(1000,100 )N取 10 只灯泡，求：求: (1) 求有两只寿命小于 800 小时的概率；(2) 10 只灯泡寿命之和大于 10000 小时的概率。解：(1) 令为第 i 只灯泡的寿命，则iX2(1000,100 )iXN:则一只灯泡寿命小于 800 小时的概率为：222(1000)8002 100221(800)100 21( 2)0.02282xixpP Xedxedx 所以，有两只小于 800 小时的概率为：282 1082(1)45(1 0.023)0.0230.019PCpp(2) 令，由于，且之间相互独立，则：101i iZX2(1000,100 )iXN:iX2(10 1000,10 100 )ZN:则，10 只灯泡寿命之和大于 10000 小时的概率为：222(10000)100002 10*100021(10000)100 10 210.52xxpP Zedxedx 所以，10 只灯泡寿命之和大于 10000 小时的概率为。50%
