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1、精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 独家原创 1 / 30初中数学第初中数学第 1717 章几何不等式与极值问题竞赛专题章几何不等式与极值问题竞赛专题复习复习( (人教版含答案人教版含答案) )第 17 章几何不等式与极值问题17.1.1一个凸行边形的内角中，恰好有 4 个钝角，求的最大值解析考虑这个凸行边形的个外角，有个角，故有（严格小于是由于 4 个钝角的外角和大于） ，因此，的最大值是7易构造这样的例子。如果恰好有个钝角，则的最大值是.17.1.2在中， ，为边的高上的一点，求证：.解析易知，又，故有评注读者不妨考虑是角平分线与中线的情况17.1.3 已知四边形，
2、 、交于，和的面积分别为 3、12，求四边形面积的最小值解析易知，故.从而，精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 独家原创 2 / 30且当（此时四边形为一梯形）时等号成立，所以此时四边形面积达到最小值 27.17.1.4已知：直角三角形中，斜边上的高（1）求证：；（2）求.解析，由条件，知，且，于是.注意：这同时解决了（1）和（2）.17.1.5设矩形， ， ，动点、分别在、上，且，求面积的最小值解析设， ，则。由。故.当时达到最小值17.1.6设是定角内一定点，过作动直线交两边于、 ，求证：面积最小时，为的中点解析如图，连结，设， ， ，由，得精品文档2016 全新精
3、品资料-全新公文范文-全程指导写作 独家原创 3 / 30。又左式，故。达到最小值时，须，故为之中点.17.1.7正三角形的边长为 1， 、 、分别在、 、上， ，求的最大面积。解析如图，设， ， ，则， ， ， 。，于是问题变为求的最小值，展开后约去，即求的最大值由不等式知，当时， ，此时的面积达到最大值。.17.1.8设是边长为 l 的正三角形，过顶点引直线，顶点、到的距离记为、 ，求的最大值解析如图，若穿过，则由“直角边小于斜边”知，取到等号时仅当.若不经过，取中点，作，在上，则，取到等号仅当.综上所述，的最大值为。17.1.9 在数 1、 、 、 、 、 、 、 、 、中，若任找三个数
4、能组成三角形的三边，则称这三个数是“好搭档” ，则总共有多少组“好精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 独家原创 4 / 30搭档”？解析此题可分类讨论。显然 1 不可能为边由于，故， ， ， ， ，中任三数可构成三角形的三边，一共有组。当最大边为时，次大边只能为，最小边为或，有 2 组。当最大边为时，次大边为或次大边为时，最小边，故可取；次大边为时，最小边，可取与共有 8 组当最大边为时，次大边为、 、 次大边为时，最小边，可取；次大边为时，最小边，可取；次大边为时，最小边，可取和。共有 11 组。综上所述，总共有 41 组17.1.10设， 、是上的两个定点，是上的一
5、个动点，问当在什么位置时，最小？解析如图，设， ， ，不妨设。则，故。精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 独家原创 5 / 30显然当时，最小。评注容易验证，此时为的中点在上的射影。17.1.11设直角中， ，求证：.解析如图，作关于的对称点，连结、 ，则.取等号仅当为等腰直角三角形。17.1.12是的边上一点，为的内心，是的内心，是的中点，求证：.解析如图，连结、 、 、 ，则， ，又，故，于是结论成立。评注三角形某边上的中线分别大于、等于、小于该边的充要条件是该边所对内角为锐角、直角或钝角，这是一个常见的结论17.1.13已知凸六边形中， ， ， ，求证：.解析如图
6、，作、 、 ，于是出现三组全等三角形。这样便有，精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 独家原创 6 / 30即.同理有.评注不破除对称性，此题就比较复杂（当然不是所有的题目都能带给你好运） 另外，用这种方法还能证明.17.1.14已知矩形， ， ，是上一点， 、延长后交于，直线垂直于，交于，若为中点，求.又条件同上，若的长度不固定，求的最小值解析如图，设，由，得，代入得。又，得， 。由，得，或，解得。若长度不固定，设其为， ， ，故由得，或，由得。可取的最小值是，此时为中点。17.1.15设为的内心，是内部的一点，满足.求证：，并说明等号成立的充分必要条件是.解析易知，因
7、此.故、 、 、四点共圆，即点在的外接圆上。精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 独家原创 7 / 30记的外接圆为，则的中心为的的中点，即为的平分线与的交点。在中，有，故.等号成立的充分必要条件是点位于线段上，即.17.1.16延长一凸四边形形的四边和对角线，得六条直线，任两条直线有一个不大于的夹角（这些线无两条平行） ，求这些夹角中最小的一个的最大值解析如图，标好各角，则，故总有一角，当为正三角形， 、时最小角达到最大值17.1.17凸四边形中，点、分别是、的中点，若，求证：。解析如图，连结、 ，易知又，因此，精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作
8、 独家原创 8 / 30即17.1.18在三角形中， ， ， 是平面上任意一点，求的最小值解析因为下面来求延长至，使得，连结，则，所以，故，所以，即，故所以，所求的最小值为17.1.19在锐角三角形中，求证：解析当时，显然有下面不妨设在上取点，使作角平分线、高，则垂直平分又作于，与交于，则17.1.20中，点为之中点，点、分别在、上，求证：解析如图，连结、 ，则由，得精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 独家原创 9 / 30而，故于是结论成立17.1.21设、 、为三角形三边长，则对任意实数、 、 ，有解析设， ，则，原式它的判别式于是17.1.22已知图中窗框总材料一
9、定，问何时窗的面积最大？（图中 6 个矩形全等）解析设， ，则总材料为（为常数） ，面积为于是，代入，得这个二次函数在时取到极大值，此时、均有实际意义取得窗的最大面积为17.1.23和都是边长为 1 的正方形，且两个正方形重叠部分的面积为，求两个正方形中心距离的最小值精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 独家原创 10 / 30解析如图，设的中心为，的中心为，过、分别作， ， 、交于又设两正方形重叠部分为矩形， ， ，则， ，同理，所以所以， 当，时等号成立故所求的最小值为17.1.24在锐角的边、 、上各有一动点、 、 ，求证：的周长达到最小当且仅当、 、为的三条高解析
10、如图，设关于、的对称点分别为、 ，与交于，与交于，则的周长这里为的高，为的外接圆半径又由对称性，除了外， 、也分别必须垂直于、时方能达到17.1.25直角三角形内切圆半径为 1，求其面积的最小值解析设该直角三角形直角边长为、 ，则易知其内切圆半径为，整理，得，或，此即由于每条直角边均大于内切圆直径 2，故，于是，直角三角精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 独家原创 11 / 30形最小面积为，此时该三角形为等腰直角三角形17.1.26梯形高为，上底，对角线交于，求用、表示与面积之和的最小值解析如图，作与、垂直，垂足分别是、 设，则， ，解得， ，于是设，则有解，故，即，
11、即，的最小值为，故最小面积为此时17.1.27设是的边的中点， 、分别在边、上， ，试比较与的大小关系解析如图，延长至使，由，知，故又垂直平分，故，易见，所以17.1.28一凸六边形每条边长均为 1，求证：、 、中至少有一个解析如图，由于，不妨设，作菱形，则， ，则是最小边， ，又，故17.1.29在正内，是一动点，求以在三边上的射影为顶点的三角形面积的最大值解析如图，内一点在、 、的射影分别为、 、 ，则精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 独家原创 12 / 30由熟知的不等式，及为常数（的高） ，得等式成立，仅当，此时为的中心17.1.30证明：四边形四边的平方和不
12、小于对角线的平方和，等号成立仅当该四边形为平行四边形时解析如图，设中点为，由中线长公式知，又由基本不等式，有，故用中线长公式代入，即得四边形四边平方和的不等式等号成立时、 、共线，且为中点，即、互相平分，于是四边形为一平行四边形评注又由托勒密不等式，知有，等号成立仅当四边形为矩形17.1.31设面积为 1 的锐角三条边分别是、 、 ，动点在上，在上的射影是，求面积的最大值（用、 、表示） 精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 独家原创 13 / 30解析如图，作于因为（常数） ，于是当，即或时，可为中点，此时，从而可得最大值为当，即时， 当落在上，达到最小，达到最大此时的
13、最大值为17.1.32设为定线段上一定点，为动点，的长度固定，求之最大值解析由斯图沃特定理，注意等式右端为定值又由柯西不等式（或展开后移项配方）有，于是的最大值是，此时，为的平分线17.1.33直角三角形的直角顶点在直角三角形的斜边上，而在的斜边上，如、 、 、分别等于 10、15、12、12，求凸四边形之面积的最大值解析如图，由四边形面积公式，知取等号须， 此时若将点位于中点，则由、的值易知在平分精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 独家原创 14 / 30线上，垂直平分，垂直平分，进而由、之值可知在上，满足要求所以的最大值为17.1.34凸四边形一内点到四个顶点的距离分别是1、2、3、4，求这样的四边形的最大面积解析设凸四边形内有一点， ， ， ，2，3，4，则等号成立，必须，比如， ， ， ，且、 、共线， 、 、共线， ，此时，取最大值17.1.35面积为 1 的三角形中，三条边长、 、满足，求的最小值解析如图，过作直线，又作于，延长一倍至，连结则这里显然有，于是仅当、 、共线，即，且时取等号，此时为等腰直角三角形17.1.36三角形两边长分别等于 10 和 15，证明：这两个边的夹角的角平分线小于 12解析如
